Czynniki całkujące, cz. 2 - film z polskimi napisami

W poprzednim filmiku zajmowaliśmy się tym równaniem różniczkowym. Wyglądało jakby mogło być zupełne. Ale gdy wzięliśmy pochodną cząstkową z tego wyrażenia, które mogliśmy nazwać M, względem y, okazała się ona być różna od pochodnej cząstkowej z tego wyrażenia, które nazywamy N w świecie równań różniczkowych zupełnych. Było różne od N względem x. I powiedzieliśmy: motyla noga, to nie jest równe. Ale zapytaliśmy, a co jeśli moglibyśmy pomnożyć obie strony tego równania przez jakąś funkcję, taką że stałoby się to zupełne? I nazwaliśmy tę funkcję mi. I w poprzednim filmiku znaleźliśmy mi. Powiedzieliśmy sobie: cóż, jeżeli pomnożymy obie strony tego równania przez mi od x równe x - to powinno zrobić z tego równanie różniczkowe zupełne. Warto zauważyć, że może istnieć pewna funkcja od y, taka że obustronne pomnożenie przez nią również dałoby równanie zupełne. Może istnieć funkcja od x i y, która załatwiłaby sprawę. Ale naszym jedynym celem jest uczynienie tego zupełnym. Nie ma znaczenia którą wybierzemy, który czynnik całkujący-- to nazywamy czynnikiem całkującym-- który czynnik całkujący wybierzemy. Tak czy siak, zróbmy to. Rozwiążmy to zadanie. Pomnóżmy obie strony tego równania przez mi - i mi od x to po prostu x. Mnożymy obie strony przez x. Zobacz, gdy pomnożysz ten wyraz przez x, dostajesz 3x kwadrat y dodać xy kwadrat-- teraz mnożymy te wyrazy przez x-- dodać x do trzeciej, dodać x kwadrat y y prim równa się 0. Teraz, przede wszystkim upewnijmy się, że to jest równanie zupełne. Jaka jest pochodna cząstkowa tego wyrażenia, jakby pod-funkcji, względem y? Coż, jest to 3x kwadrat-- to po prostu swego rodzaju stała stojąca przed y-- dodać 2xy - to właśnie pochodna cząstkowa z tego wyrażenia, względem y. Weźmy teraz pochodną cząstkową z tego względem x. Dostajemy 3x kwadrat dodać 2xy. I mamy co chcieliśmy. Pochodna cząstkowa z tego względem y jest równa pochodnej cząstkowej tego względem x. Mamy więc teraz równanie zupełne, którego rozwiązanie powinno być takie same jak tego. Jedyne co zrobiliśmy to pomnożyliśmy obie strony tego równania przez x. To naprawdę nie powinno zmienić rozwiązania tego równania, czy tam równania różniczkowego. To jest zupełne. Znajdźmy rozwiązanie tego równania. Jak to robimy? Skoro pokazaliśmy, że to jest zupełne wiemy, że istnieje pewna funkcja psi, taka że pochodna cząstkowa psi względem x jest równa temu wyrażeniu, o tutaj. Jest więc równa 3x kwadrat dodać x y kwadrat. Weźmy antypochodną z obu stron względem x i dostajemy, że psi równa się czemu? x do trzeciej y, dodać 1/2 x kwadrat y kwadrat. I oczywiście to psi jest funkcją od x i y, więc gdy bierzesz pochodną cząstkową względem , gdy idziesz w tę stronę, mogłeś po drodze stracić pewną funkcję, która jest funkcją jedynie od y. Zamiast plus c, mogła to być cała funkcja, którą straciliśmy. Także dodajemy ją gdy bierzemy antypochodną. To jest nasze psi. Ale jeszcze nie skończyliśmy, ponieważ musimy jakoś rozgryźć co to za funkcja od y. Zrobimy to w następujący sposób: posłużymy się wiedzą, że pochodna cząstkowa tego względem y powinna równać się temu. Rozpiszmy to. Jaka jest pochodna cząstkowa tego wyrażenia względem y? Mógłbym napisać, że pochodna cząstkowa psi względem y równa się x do trzeciej dodać 2 razy 1/2-- to jest więc x kwadrat y, dodać h prim od y. To jest pochodna cząstkowa funkcji jedynie od y względem y. Następnie, to musi się równać naszemu nowemu N, czy też nowemu wyrażeniu, które dostaliśmy po pomnożeniu przez czynnik całkujący. To będzie się równać właśnie temu. Mam nadzieję, że to wydaje Ci się logiczne. To powinno być równe x do trzeciej dodać x kwadrat y. Co ciekawe, oba te wyrazy są po tej stronie. Odejmijmy więc te obydwa wyrazy od obu stron. Tak więc x do trzeciej, x do trzeciej - x kwadrat y, x kwadrat y. I zostało nam h prim od y równe 0. Równoważnie mógłbyś powiedzieć, że h od y jest równe jakiejś stałej. Tak naprawdę nie ma więc żadnego y w tej dodatkowej funkcji od y. Jedynie jakaś stała. Na nasze potrzeby, możemy powiedzieć, że psi jest równe temu. Ponieważ to jest jedynie stała, a my i tak będziemy brać antypochodną - i dostaniemy stałą po prawej stronie. W poprzednich filmikach stałe łączyły się w jedną. Założymy więc po prostu, że to jest nasze psi. Wiemy, że to równanie różniczkowe, tu na górze, może być przepisane jako pochodna psi względem x, i to wynika po prostu z reguły łańcuchowej dla pochodnych cząstkowych. Pochodna psi względem x równa się 0. Gdybyś wziął pochodną psi względem x, powinna być ona równa tej całej rzeczy, po prostu korzystając z reguły łańcuchowej dla pochodnych cząstkowych. Wiemy czym jest psi. Możemy więc napisać-- w zasadzie nawet nie musimy. Możemy użyć tego faktu by stwierdzić, że jeśli scałkujemy obie strony, to rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest psi równe c. Po prostu wziąłem antypochodną z obu stron. Tak więc rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest psi równe c. Stąd psi równa się x do trzeciej y, dodać 1/2 x kwadrat y kwadrat. I moglibyśmy tutaj dodać c, ale wiemy, że rozwiązaniem jest psi równe c, więc po prostu napiszemy to tu. Mogłem napisać tutaj dodać c, ale wtedy masz dodać c także tu. Masz tu inną stałą. I możesz je po prostu odjąć od obu stron. I łączą się one w inną, konkretną stałą. Tak czy inaczej, mamy co chcieliśmy. Mieliśmy równanie różniczkowe, które, przynajmniej na pierwszy rzut oka, wyglądało na zupełne. Wyglądało na zupełne, ale sprawdziliśmy jego zupełność i okazało się, że nie jest. Ale pomnożyliśmy je przez czynnik całkujący. I w poprzednim filmiku odkryliśmy, że możliwym czynnikiem całkującym jest pomnożenie obu stron przez x. Następnie zrobiliśmy to, sprawdziliśmy. I owszem, było zupełne. Jako że było zupełne, wiedzieliśmy że istnieje pewne psi, którego pochodna względem x równa się całemu temu wyrażeniu. Mogliśmy więc przepisać nasze równanie różniczkowe o tak. Wiedzieliśmy, że rozwiązaniem jest psi równe c. Aby znaleźć psi mówimy po prostu, dobra - pochodną cząstkową psi względem x będzie to coś. Antypochodna z obu stron i jest jakaś stała od y. Nie stała, jakaś funkcja od y, h od y, którą mogliśmy zgubić gdy braliśmy pochodną cząstkową względem x. Aby odkryć co to jest bierzemy to wyrażenie. Bierzemy pochodną cząstkową względem y i piszemy, że równa się to naszemu wyrażeniu N. Robiąc to odkryliśmy, że tą funkcją od y jest po prostu jakaś stała. Mogliśmy to napisać tutaj. Mogliśmy napisać to dodać c. Mogliśmy nazwać je c1 czy coś takiego. Ale wiemy, że rozwiązaniem naszego wyjściowego równania różniczkowego jest psi równe c. Tak więc, rozwiązaniem naszego równania różniczkowego jest psi x do trzeciej dodać 1/2 x kwadrat y kwadrat równa się c. Mogliśmy dopisać tutaj to c1, następnie odjąć od obu stron. Ale myślę, że wspomniałem o tym tyle razy, że rozumiesz dlaczego, gdy h od y jest jedynie stałą c, możesz je w pewnym sensie zignorować. To wszystko póki co, widzimy się w następnym filmiku. Wiesz już małe co nieco na temat czynników całkujących. Do zobaczenia wkrótce.