Równania różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu — film z polskimi napisami

Zapoznam Cię teraz z ideą jednorodnych równań różniczkowych. Jednorodny (homogeniczny) - to to samo słowo, którego używamy odnośnie mleka, gdy mówimy, że cały tłuszcz w nim zawarty się rozpuścił. Ale zastosowanie tu-- ja przynajmniej nie widzę powiązania. Równanie różniczkowe jednorodne. Później zobaczymy, że nawet pośród równań różniczkowych jest inny typ równań różniczkowych jednorodnych. Zwą się one równaniami różniczkowymi liniowymi jednorodnymi, ale oznaczają coś trochę innego. Tak czy inaczej, pokażę Ci równania różniczkowe jednorodne. Będziemy zajmować się równaniami pierwszego rzędu. Co oznacza równanie różniczkowe jednorodne? Powiedzmy, że miałbym zwykłe równanie różniczkowe pierwszego rzędu, które mógłbym zapisać następująco. dy dx równa się jakiejś funkcji od x i y. I powiedzmy, że próbujemy to zrobić i to nie jest równanie o zmiennych rozdzielonych, ani zupełne. Dowiadujemy się, że jeśli to może być jednorodne, jeśli to jest równanie różniczkowe jednorodne, to możemy zrobić postawienie zmiennych. I to podstawienie pozwoli zrobić z tego równania równanie o zmiennych rozdzielonych. Ale wcześniej muszę Ci pokazać co się kryje pod pojęciem równania jednorodnego. Cóż, jeżeli jestem w stanie przekształcić prawą stronę tego równania, tak że mogę to przepisać. Zamiast funkcji od x i y, jeśli mógłbym przepisać to równanie różniczkowe w ten sposób, że dy dx równa się jakiejś funkcji - nazwijmy ją G, albo nie - F. Jeśli mogę to przekształcić tak, że to jest funkcja od y podzielonego przez x. Wtedy mogę zrobić podstawienie, które zrobi z tego równanie o zmiennych rozdzielonych. Póki co, to wszystko wydaje się niejasne. Pokażę przykład. Po prostu pokażę przykłady, pokażę Ci parę rzeczy i po prostu zrobimy podstawienia. Powiedzmy, że moim równaniem różniczkowym jest pochodna y względem x równa się x dodać y przez x. I możesz, jeśli chcesz, spróbować rozdzielić zmienne, ale to nie jest takie trywialne. Albo przynajmniej - patrzę na rozwiązanie i nie wygląda na trywialne. Jak widzimy o tu - mamy pochodną. Jest ona równa pewnej funkcji od x i y. Moje pytanie do Ciebie: czy mogę tak to przekształcić, że stanie się to funkcją od y przez x. Jasne, jeśli podzielimy oba te wyrazy na górze przez x. To to samo co x przez x dodać y przez x. To równanie jest tym samym czym dy przez dx równe temu. Co jest tym samym co przepisanie tego całego równania-- losowo zmienię sobie kolor-- jako to, dy przez dx równa się x podzielone przez x równa się 1, gdy założymy, że x jest różne od 0. Dodać y przez x. Prawdopodobnie zastanawiasz się o co mi chodziło z funkcją od y przez x. Cóż, tutaj możesz to zobaczyć. Wystarczyło przekształcić to równanie i dostałem 1 dodać y przez x. Jeśli powiedziałbym, że y przez x równa się jakiejś trzeciej zmiennej, to to jest funkcją tej trzeciej zmiennej. I tak właśnie teraz zrobię. Zróbmy podstawienie dla y przez x. Powiedzmy, że v-- i napiszę v w innym kolorze-- powiedzmy, że v równa się y przez x. Inaczej - jeśli pomnożysz obie strony przez x, możesz napisać, że y równa się xv. Podstawimy v pod y przez x, ale musimy również podstawić coś pod dy przez dx. Zastanówmy się czym to jest w terminach pochodnych v. Pochodna y względem x równa jest-- czym jest pochodna tego względem x? Jeśli założymy, że v jest także funkcją od x, skorzystamy ze wzoru na pochodną iloczynu. Tak więc, pochodna x to 1, razy v dodać x razy pochodna v względem x. Teraz możemy podstawić to i to z powrotem do tego równania i dostajemy-- więc dy przez dx równa się temu. Dostajemy więc v dodać x dv dx, pochodna v względem x równa się-- to jedynie lewa strona-- równa się 1 dodać y przez x. Ale podstawiamy v równe y przez x. Zrobimy więc 1 dodać v. Teraz to powinno być dość proste. Zobaczmy, możemy odjąć v od obu stron tego równania. I co nam wtedy zostaje? Mamy x dv dx równa się 1. Podzielmy obie strony przez x. Dostajemy: pochodna v względem x równa się 1 przez x. Być może staje się powoli jasne jakie jest tutaj rozwiązanie, ale idźmy dalej. Jeżeli pomnożymy obie strony przez dx dostajemy dv równe 1 przez x razy dx. Teraz możemy wziąć antypochodną obu stron, scałkować obie strony. I wtedy zostajemy z: v równa się naturalnemu logarytmowi z wartości bezwzględnej z x dodać c. I w zasadzie skończyliśmy, ale byłoby miło dostać to rozwiązanie jako coś zależne jedynie od y i x i nie mieć tej trzeciej zmiennej v. Ponieważ nasze wyjściowe zadanie było zapisane jako coś tylko od x i y. Zróbmy to. Czym było v? Zrobiliśmy podstawienie v równa się y przez x. Zróbmy teraz podstawienie odwrotne. Dostajemy y przez x równa się naturalnemu logarytmowi z x dodać c, jakaś stała. Mnożymy obie strony przez x. I mamy y równa się x razy naturalny logarytm z x, dodać c. I koniec. Rozwiązaliśmy to równanie różniczkowe, w którym, wydawać by się mogło, nie dało się rozdzielić zmiennych, dzięki zauważeniu, że jest jednorodne oraz podstawieniu v równego y przez x. To dało nam równanie o zmiennych rozdzielonych względem v. Następnie rozwiązaliśmy je. I podstawiliśmy z powrotem. I otrzymaliśmy rozwiązanie równania różniczkowego. Możesz sprawdzić, że y równa się naturalnemu logarytmowi z wartości bezwzględnej z x dodać c. Oh, w zasadzie to popełniłem błąd. y przez x równa się naturalnemu logarytmowi z x dodać c. Jeśli pomnożę obie strony tego równania przez x, to jakie jest rozwiązanie? To nie jest jedynie naturalny logarytm z x. To również muszę pomnożyć przez x, nieprawdaż? Rozdzielność-- to był szkolny błąd. Poprawnym rozwiązaniem tego jest więc y równe x naturalny logarytm z wartości bezwzględnej z x dodać x razy c. Gdybyś chciał wiedzieć jakie jest c musiałbym dać Ci jakieś warunki początkowe. Wtedy mógłbyś znaleźć c. I to byłoby rozwiązanie szczególne dla tego równania różniczkowego. W następnych filmiku, zrobię parę kolejnych zadań tego rodzaju. Do zobaczenia.