Równania różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu cz. 2 — film z polskimi napisami

Zróbmy jeszcze jedno równanie różniczkowe jednorodne, czy raczej równanie różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu, aby odróżnić je od jednorodnych liniowych równań różniczkowych, którymi zajmiemy się później. Wracając do zadania, które mamy tutaj. To jest pochodna y względem x równa się-- to wygląda jak y-- równa się x kwadrat dodać 3 y kwadrat. Piszę dość małe znaki, aby nie skończyło mi się miejsce. Podzielone przez 2xy. W tych wszystkich równaniach jednorodnych-- rzecz jasna nie wiemy jeszcze, że jest ono jednorodne. Musimy spróbować zapisać to jako funkcję od y przez x. Wygląda na to, że będziemy mogli to zrobić, jeżeli podzielimy górę oraz dół przez x kwadrat. Jeśli więc pomnożymy-- zrobię to w innym kolorze-- 1 przez x kwadrat, lub x do minus 2, przez 1 przez x kwadrat. W istocie mnożymy jedynie przez 1. Następnie, czemu to się równa? 1 dodać 3 y kwadrat przez x kwadrat podzielone przez 2-- jeśli podzielisz x przez x kwadrat dostaniesz 1 przez x-- stąd 2 razy y przez x. Albo możemy po prostu przepisać to wszystko i to równa się 1 dodać 3 y przez x do kwadratu, podzielone przez 2 razy y przez x. Tak więc owszem, to jest równanie jednorodne. Ponieważ byliśmy w stanie zapisać je jako funkcję od y dzielonego przez x. Teraz możemy zrobić podstawienie z v. Mam nadzieję, że zaczyna to powoli wchodzić Ci w krew. Możemy więc zrobić podstawienie: v jest równe y przez x - albo inaczej możemy to zapisać tak: y jest równe xv. Następnie, oczywiście pochodna y względem x, albo jeśli weźmiemy pochodną względem x z obu stron tego, to się równa pochodna x, czyli 1 razy v, to jedynie wzór na pochodną iloczynu, dodać x razy pochodna v względem x. Teraz możemy podstawić - pochodna y względem x to po prostu to. A prawa strona równania jest tym. Ale możemy podstawić v za y przez x. Zróbmy to. Dostajemy v dodać x. Zamiast dv dx póki co napiszę v prim, po to aby nie zająć zbyt dużo miejsca. v prim równa się 1 dodać 3 v kwadrat - robimy podstawienie v równa się y przez x. Wszystko to przez 2v. Popatrzmy teraz co możemy zrobić. Dochodzimy teraz do miejsca, w którym zakładamy nasz kapelusz pełen algebry i próbujemy to upraszczać aż dostaniemy równanie o zmiennych rozdzielonych. Zabierzmy się za to. Pomnóżmy obie strony tego równania przez 2v. Dostajemy 2 v kwadrat dodać 2 xv v prim-- 2v razy x, ta to jest 2xv v prim-- równa się 1 dodać 3 v kwadrat. A teraz odejmijmy sobie 2 v kwadrat od obu stron tego. Zostanie nam 2xv v prim równa się 1 dodać-- zobaczmy, odejmujemy 2 v kwadrat od obu stron. Tak więc zostaje nam tutaj 1 dodać v kwadrat, prawda? 3 v kwadrat odjąć 2 v kwadrat to v kwadrat. Chcemy, aby to było o zmiennych rozdzielonych, więc przenieśmy wszystkie v na lewą stronę. Dostajemy 2xv v prim dzielone przez 1 dodać v kwadrat równa się 1. Podzielmy obie strony przez x. Przenosimy x na drugą stronę. Dostajemy 2v-- i teraz zmienię z powrotem na inną notację. Zamiast v prim napiszę dv dx. 2v razy pochodna v względem x podzielone przez 1 dodać v kwadrat równa się-- dzielę obie strony przez x - zauważ, że nie napisałem x po tej stronie-- to się równa 1 przez x. Następnie, jeżeli pomnożymy obie strony tego przez dx, to rozdzielimy dwie zmienne i możemy scałkować obie strony. Weźmy się za to. Idźmy tu na górę. Zmienię na inny kolor, abyś wiedział, że piszę w innej kolumnie. Pomnóżmy obie strony przez dx. Dostaję 2v przez 1 dodać v kwadrat dv równa się 1 przez x dx. Teraz możemy zwyczajnie scałkować obie strony tego równania. To jest równanie o zmiennych rozdzielonych - v i x. A jaka jest całka z tego? Z początku możesz pomyśleć: kurde bele, to skomplikowane. To jest trudne, może to jakaś funkcja trygonometryczna. Ale zobaczysz, że to swego rodzaju odwrotna reguła łańcuchowa. Mamy tutaj funkcję - 1 dodać v kwadrat, takie wyrażenie. A dokładnie tu siedzi jego pochodną. Stąd antypochodna tego-- i możesz zrobić podstawienie jeśli chcesz.. Możesz powiedzieć, że u równa się 1 dodać v kwadrat, wtedy du równa się 2v dv. Następnie cóż, powiedziałbyś, że antypochodną tego jest po prostu logarytm naturalny z u. Czy też, w tym wypadku, antypochodną tego jest po prostu logarytm naturalny z 1 dodać v kwadrat. Nie musimy nawet pisać tam wartości bezwzględnej. Gdyż to zawsze będzie dodatnie. A więc logarytm naturalny z 1 dodać v kwadrat. I mam nadzieję, że nie namieszałem Tobie. Tak ja o tym myślę. Mówię sobie - jeśli mam wyrażenie - i mam jego pochodną, przez którą mnożę, wtedy mogę po prostu wziąć antypochodną całego wyrażenia. I nie muszę się martwić tym co jest w środku. Jeśli to byłoby 1 przez x albo 1 przez u, wtedy to jest logarytmem naturalnym z tego. Stąd wiedziałem jaka będzie antypochodna. Jeśli mi nie wierzysz, skorzystaj z reguły łańcuchowej i weź pochodną tego - dostaniesz to. Mam nadzieję, że teraz to jest logiczne. Tak czy owak, to jest lewa strona i jest ona równa-- No, to jest proste. To jest logarytm naturalny z wartości bezwzględnej z x. Moglibyśmy powiedzieć - dodać c, ale po to aby uprościć to nieco, dowolną stałą c możemy zwyczajnie zapisać jako logarytm naturalny z wartości bezwzględnej z jakiejś innej stałej c. W końcu to nadal jest dowolna stała c. Możemy całe to równanie przepisać jako logarytm naturalny z 1 dodać v kwadrat równa się-- gdy dodajesz logarytmy naturalne możesz w istocie po prostu pomnożyć te dwie liczby, które logarytmujesz-- logarytm naturalny z, możemy powiedzieć, wartości bezwzględnej z cx. I tak - logarytm naturalny z tego jest równy logarytmowi naturalnemu z tego. Możemy więc powiedzieć, że 1 dodać v kwadrat jest równe cx. I możemy zrobić podstawienie odwrotne. Wiemy, że v równa się y przez x, więc zróbmy to. Dostajemy 1 dodać y przez x kwadrat równa się cx. Przewinę trochę na dół. Pomnóżmy obie strony równania przez x kwadrat. Moglibyśmy przepisać to jako y kwadrat przez x kwadrat. Tak więc mnożymy obie strony przez x kwadrat, dostajemy x kwadrat dodać y kwadrat równa się c x do trzeciej. I to w zasadzie koniec. Jeżeli chcemy wszystkie zmienne wyrazy umieścić po lewej stronie to powiemy, że to się równa x kwadrat dodać y kwadrat, odjąć c x do trzeciej równa się 0. I ta niejawnie zdefiniowana funkcja, czy krzywa, czy jakkolwiek chcesz to nazwać - to jest właśnie rozwiązaniem naszego wyjściowego równania różniczkowego jednorodnego pierwszego rzędu. I to by było tyle. Widzimy się w następnym filmiku. I tam w końcu coś zrobimy. Zaczniemy zajmować się równaniami różniczkowymi wyższego rzędu. I tak naprawdę są one bardziej przydatne i, w pewnym sensie, prostsze do rozwiązania niż jednorodne i zupełne równania, które robiliśmy do tej pory. Do zobaczenia w następnym filmiku.