If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:12:00

Transkrypcja filmu video

Szczęśliwie wiemy już, co to jest równanie różniczkowe, więc spróbujmy jakieś rozwiązać. Pierwsza klasa równań różniczkowych, którą przedstawię, jest nazywana równaniami o zmiennych rozdzielonych. Myślę, że odkryjesz, że nie uczymy się niczego nowego. Używając tylko Twoich pierwszorocznych umiejętności różniczkowania i całkowania, będziesz w stanie rozwiązać równanie o zmiennych rozdzielonych. Powód, dla którego nazywają się one rozdzielone jest taki, że możesz faktycznie rozdzielić wyrażenia od x i od y, i scałkować je oddzielnie, tak by uzyskać rozwiązanie równania różniczkowego. Więc to są równania rozdzielone. Równania o zmiennych rozdzielonych. Zróbmy parę przykładów - sądzę, że zrozumiesz o co chodzi. Są to w rzeczywistości bardziej ćwiczenia na algebrę niż na cokolwiek innego. Tak więc pierwsze równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych jest: dy po dx jest równe x w kwadracie przez 1 minus y do kwadratu. Obecnie jest dobry czas, żeby przypomnieć sobie naszą terminologię. Przede wszystkim, jaki jest rząd tego równania różniczkowego? Najwyższa pochodna w równaniu jest pierwszą pochodną, więc rząd jest równy 1. Jest to więc równanie pierwszego rzędu. Jest to równanie zwyczajne, ponieważ mamy tylko zwykłą pochodną, i żadnej pochodnej cząstkowej. Dalej, jest to równanie liniowe czy nie? Pierwsze co mówisz - dobrze - Ty wiesz, że wygląda na liniowe. Nie mnożę pochodnej przez nic innego. Ale jeśli przyjrzysz się uważnie, dzieje się coś ciekawego. Przede wszystkim, jest y w kwadracie. A y jest zmienną zależną. y jest funkcją x. Tak więc y w kwadracie, czyni je nieliniowym. I nawet gdyby to było tylko y, gdybyś pomnożył obie strony równania przez 1 minus y, i otrzymał postać, którą pokazałem Ci w poprzednim równaniu, miałbyś 1 minus y w kwadracie. Faktycznie, jest to pierwszy krok, który musimy robić w każdym przypadku. Zapiszmy to. Jeśli mnożę obie strony równania przez 1 minus y w kwadracie, dostaję 1 minus y w kwadracie razy dy po dx jest równe x kwadrat. Widzisz natychmiast, że nawet gdyby nie było tu kwadratu, mnożyłbyś y przez dy po dx, co także czyni równanie nieliniowym, ponieważ mnożysz zmienną zależną przez jej pochodną. Tak więc to także czyni równanie nieliniowym. Ale w każdym razie, wróćmy do rozwiązywania. To jest pierwszy krok. Po prostu mnożę obie strony przez 1 minus y kwadrat. Prawdziwym celem końcowym jest rozdzielenie igreków od iksów i następnie scałkowanie obu stron. Jestem tuż tuż. Więc to co chcę teraz zrobić to pomnożyć obie strony tego równania przez dx, tak, że będę miał dx tutaj i pozbędę się tego dx tam. Przejdę tutaj, nie chcę marnować zbyt wiele miejsca. Masz więc 1 minus y w kwadracie dy jest równe x kwadrat dx. Rozdzieliłem zmienne x i y oraz różniczki. Wszystko co zrobiłem to pomnożyłem obie strony tego równania przez dx by dojść tutaj. Teraz, mogę po prostu scałkować obie strony. Zróbmy to. Cokolwiek robisz z jedną stroną równania musisz zrobić z drugą. Jest to prawda zarówno dla zwykłych równań jak i dla równań różniczkowych. Będziemy całkować obie strony. Jaka jest całka tego wyrażenia względem y? Zobaczmy. Całka z 1 jest y, całka z y kwadrat, jest równa minus y do trzeciej przez 3. Dopiszę tutaj plus c, żeby coś pokazać, ale normalnie nie musisz pisać stałej c po obu stronach równania. Dodam tutaj stałą pochodzącą od y. Od całkowania y. Nie zobaczysz tego nigdy podczas ćwiczeń z rachunku różniczkowego i całkowego, ale chciałbym podkreślić tu pewną rzecz. Jest równe. Chciałem tylko pokazać, że nasze dodać c nie znikło, po wzięciu naszych zwykłych antypochodne. I jaka jest antypochodna tego? Więc jest to x do trzeciej przez 3. x do trzeciej przez 3. I tutaj także dodamy stałą c, pochodzącą od zmiennej x. Powodem, dla którego tę magentową stałą zrobiłem magentową i oznaczyłem ją w ten sposób, jest to, że w rzeczywistości wystarczy pisać stałą c tylko na jednej stronie równania. Jeśli nie widzisz w tym większego sensu, odejmij stałą c z obu stron, dostaniesz y minus - pozwólcie mi przewinąć w dół trochę, moje y wygląda jak g. y minus y do trzeciej przez 3 jest równe x do trzeciej przez 3 dodać stała, kiedy weźmiemy antypochodną względem x, minus stała antypochodnej brana od y. Ale te dwie stałe, są tylko stałymi. To znaczy, nie wiemy czym są. Są arbitralnymi stałymi. Możemy więc napisać tutaj ogólne c. Mógłbyś mieć tylko - musisz mieć stałą, ale nie musi ona być po obu stronach równania, bo te stałe one dowolne. Cx minus Cy, to jest wciąż inna stała. Dalej, jeżeli chcemy jeszcze bardziej uprościć równanie, możemy pomnożyć obie strony przez 3, tak by wyglądało ładniej. Dostajesz 3y minus y do trzeciej jest równe x do trzeciej - mógłbym napisać 3c tutaj. Ale znowu, c jest dowolną stałą. Tak więc 3 razy dowolna stała, jest tylko kolejną stałą. Napiszę więc c tutaj. To wszystko. Rozwiązaliśmy to równanie różniczkowe. Chociaż jest to forma niejawna, i jest dość ciężko wydostać rozwiązanie z tej uwikłanej postaci. Możemy położyć c na jednej stronie, tak że rozwiązanie jest postaci: 3y minus y do trzeciej minus x do trzeciej jest równe c. Niektórzy wolą mieć taką postać. Ale to jest rozwiązanie. Zauważ, że rozwiązanie, podobnie kiedy bierzesz antypochodną, rozwiązanie jest klasą niejawnych funkcji, w tym przypadku. Dlaczego to jest cała klasa? Bo tutaj mamy tę stałą. W zależności od liczby którą wybierzesz tutaj, dostaniesz inne rozwiązanie. Ale dowolna stała tutaj będzie spełniała pierwotne równanie różniczkowe, które było tu na górze. To było pierwotne równanie różniczkowe. Jeśli chcesz znaleźć stałą, ktoś musi zadać Tobie warunek początkowy. Ktoś musi powiedzieć, no, kiedy x jest 2, y jest 3. I wtedy możesz znaleźć c. W każdym razie, zróbmy inny przykład z zadanym warunkiem początkowym. Tak więc ten jest trochę - zacznę od nowa. Czysty obraz, inne kolory, tak by mieć optymalną przestrzeń. W tym przypadku mamy pierwszą pochodną y względem x równą 3x do kwadratu dodać 4x dodać 2 przez 2 razy y minus 1. To są nawiasy, a nie wartość bezwzględna. Mamy zadany warunek początkowy. Mówią nam, że y od 0 jest równe minus 1. Kiedy rozwiążemy to równanie różniczkowe, a to jest równanie o zmiennych rozdzielonych, będziemy mogli użyć warunków początkowych, kiedy x jest 0 y jest 1, żeby znaleźć stałą. Najpierw rozdzielmy to równanie. Pomnóżmy równanie obustronnie przez 2 razy y minus 1. Otrzymasz 2 razy y minus 1 razy dy po dx jest równe 3x do kwadratu dodać 4x dodać 2. Pomnóżmy obie strony przez dx. Jest to po prostu ćwiczenie na algebrę. Mogę wymnożyć także ten nawias, dostajesz 2y minus 2, to jest po prostu to, dy. Pomnożyłem obie strony przez dx, więc to jest równe 3x kwadrat plus 4x plus 2 dx. Rozdzieliłem zmienne w równaniu. Rozdzieliłem zmienne niezależne od zależnych, i ich względnych różniczek, tak więc teraz mogę całkować. Mogę całkować w magencie. Jaka jest antypochodna tego wyrażenia względem y? Zobaczmy. Jest to y kwadrat minus 2y. Nie napiszę tutaj plus c, zrobię to tylko na prawej stronie. Równa się 3x kwadrat. Tak, antypochodna jest równa x do trzeciej, dodać 2x kwadrat, dodać 2x dodać c. Wystarczy tutaj tylko ta stała c, zamiast stałych po obu stronach równania, mam nadzieję, że rozumiesz dlaczego z poprzedniego przykładu. Możemy znaleźć c używając warunku początkowego: y od 0 jest równe minus 1. Zobaczmy. Kiedy x jest 0, y jest minus 1. Połóżmy y jako minus 1, dostajemy minus 1 w kwadracie minus 2 razy minus 1, to jest wartość y, jest równe, kiedy x jest równe 0. Tak więc kiedy x jest równe 0, to jest 0 do trzeciej plus 2 razy 0 kwadrat plus 2 razy 0 plus c. Jest to dość proste. Te wszystkie, to wszystko jest 0. A to jest, zobaczmy, minus 1 kwadrat, jest równe 1. Minus 2 razy minus 1, to jest plus 2, jest równe c. Zatem c jest równe 3. Zatem, uwikłane, dokładne rozwiązanie, rozwiązanie naszego równania różniczkowego - pamiętaj, teraz to nie jest klasa, ponieważ dostaliśmy warunki początkowe - jest y do kwadratu minus 2y jest równe x do trzeciej plus 2x do kwadratu plus 2x plus 3. Dowiedzieliśmy się jakie jest c. Faktycznie, jeśli chcesz, mógłbyś zapisać to w jawnej formie, za pomocą dopełnienia do kwadratu. W tym momencie to jest już algebra. Skończyliśmy. To jest forma uwikłana. Jeśli chciałbyś ją rozwikłać, mógłbyś dodać jeden do obu stron. Tylko dopełniam do kwadratu. Tak więc y kwadrat minus 2y plus 1. Jesli dodam 1 do tej strony, muszę dodać 1 do tej, więc dostaję x do trzeciej dodać 2x kwadrat dodać 2x dodać 4. Dodałem tylko 1 do obu stron równania. Dlaczego to zrobiłem? Bo chciałem, żeby ta strona była dokładnym kwadratem od czynników zależnych od y. Mogę teraz przepisać tę stronę jako y minus 1 do kwadratu jest równe x do trzeciej dodać 2x kwadrat dodać 2x dodać 4. Potem mógłbym powiedzieć, że y minus 1 jest równe plus minus pierwiastek x do trzeciej dodać 2x kwadrat dodać 2x dodać 4. Mogę dodać 1 do obu stron, i wtedy otrzymuję, że y jest równe 1 plus minus pierwiastek x do trzeciej dodać 2x kwadrat dodać 2x dodać 4. I jest tu plus minus, gdybyśmy mieli wybrać jedną z możliwości, musielibyśmy wrócić do warunku początkowego. Nasz warunek początkowy mówi nam, że y od 0 jest równe minus 1. Jeśli więc położymy 0 zamiast x, otrzymujemy, że y jest równe 1 plus lub minus 0 plus 4. Więc 1 plus lub minus 4. Jeśli więc y ma być równe minus 1, dostajemy, że y jest równe 1 plus lub minus - przepraszam, 2. Jeśli to ma być równe minus 1, to musi to być 1 minus 2. Tak więc jawna postać rozwiązania spełnia nasz warunek początkowy, stajemy się tutaj trochę nudni, mógłbyś pozbyć się plusa, to jest 1 minus ten cały wyraz. To spełnia nasz warunek początkowy. Mógłbyś sprawdzić, w jakiej dziedzinie spełnione jest nasze równanie. Więc, jest to prawda, kiedy wyrażenie jest dodatnie, to staje się ujemne, i staje się niezdefiniowane w liczbach rzeczywistych i to wszystko. W każdym razie, skończył mi się czas. Do zobaczenia w następnym filmie.