Przykłady równań o zmiennych rozdzielonych — film z polskimi napisami (starsza wersja)

Myślę, że rozsądnie jest zrobić jeszcze jedno zadanie dotyczące równania o zmiennych rozdzielonych. Zróbmy je. Pochodna y względem x jest równa y cosinus x podzielone przez 1 plus 2y do kwadratu. Zadany warunek początkowy mówi, że y od 0 jest równe 1. Lub gdy x jest równe 0, to y jest równe 1. Wiem, że zrobiliśmy już parę zadań, ale inny sposób myślenia o równaniach o zmiennych rozdzielonych jest w rzeczywistości braniem pochodnej funkcji złożonej w przeciwną stronę. Inny sposób myślenia o tym jest taki, że kiedykolwiek bierzesz pochodną uwikłaną, końcowy wynik jest równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych. Szczęśliwie jest to w miarę spójne. W każdym razie, zróbmy to. Musimy rozdzielić igreki od iksów. Pomnóżmy obie strony przez 1 plus 2y kwadrat. Otrzymujemy 1 dodać 2y kwadrat razy dy po dx jest równe y cosinus x. Wciąż nie rozdzieliliśmy w pełni igreków od iksów. Podzielmy obie strony przez y i zobaczmy, co wyjdzie. Dostajemy 1 nad y dodać 2y kwadrat podzielone przez y, to jest po prostu 2y razy dy po dx jest równe cosinus x. Mogę po prostu pomnożyć obie strony przez dx. 1 przez y plus 2y razy dy jest równe cosinus x dx. Teraz możemy scałkować obie strony. Tak więc jaka jest całka 1 nad y względem y? Wiem, że instynktowną reakcją jest logarytm naturalny z y, co jest poprawne, ale istnieje nieco ogólniejsza funkcja, której pochodna jest równa 1 nad y, niż ta, i jest to logarytm naturalny z wartości bezwzględnej y. Jest to tylko nieco ogólniejsza funkcja, ponieważ jej dziedzina zawiera liczby dodatnie i ujemne, wyklucza tylko 0, podczas gdy logarytm naturalny uwzględnia tylko liczby większe niż 0. Tak więc logarytm naturalny z modułu y jest dobry, i jest prawdą, że we wszystkich punktach poza zerem, jego pochodna jest równa 1 przez y. To jest tylko nieco obszerniejsza funkcja. Więc to jest antypochodna 1 nad y. Udowodniliśmy, że, co najmniej udowodniliśmy, że pochodna logarytmu naturalnego jest równa 1 nad y. Dodać, jaka jest antypochodna 2y względem y? Jest to y w kwadracie, jest równe - dodam stałą c po tej stronie. Czyją pochodną jest cosinus x? Sinusa x. Następnie moglibyśmy dodać stałą c. Możemy położyć plus c tutaj. I jaki był nasz warunek początkowy? y od 0 jest równe 1. Tak więc gdy x jest równe 0, y jest równe 1. Więc ln z wartości bezwzględnej 1 plus kwadrat jest równe sinus zera plus c. Logarytm naturalny z jedynki, e do jakiej potęgi jest równe 1? Tak, 0, plus 1 jest - sinus 0 jest zero - jest równe c. Dostajemy c jest równe 1. Tak więc rozwiązanie tego równania różniczkowego, u góry, jest, nie muszę nawet go przepisywać, dowiedzieliśmy się, że c jest równe 1, więc możemy skreślić tylko to, i położyć 1. Logarytm naturalny wartości bezwzględnej y plus y kwadrat jest równe sinus x plus 1. Rzeczywiście, jeśli miałbyś wykreślić tę funkcję, zobaczyłbyś, że y nigdy nie zanurza się poniżej, ani nawet nie uderza, w oś iksów. Możesz się więc pozbyć wartości bezwzględnej tutaj. Ale w każdym razie, to jest tylko mały techniczny szczegół. A to jest niejawna forma rozwiązania dla tego równania różniczkowego. Ma to sens, ponieważ równanie o zmiennych rozdzielonych są w rzeczywistości tylko uwikłanymi pochodnymi branymi wstecz. I w ogólności, jedna rzecz, w pewnym sensie zabawna, na temat równań różniczkowych, ale też niesatysfakcjonująca, jest taka, że jest cała gama różnych narzędzi do rozwiązywania różnych typów równań. Nie ma tylko jednego narzędzia lub jednej teorii, która rozwiązywałaby wszystkie równania różniczkowe. Jest za to kilka, które rozwiązują pewne klasy równań różniczkowych, ale nie ma tylko jednej zgodnej metody rozwiązywania wszystkich. Nawet dzisiaj, istnieją nierozwiązane równania różniczkowe, gdzie jedynym sposobem, w jaki umiemy zdobyć rozwiązanie, jest użycie komputera do rozwiązania numerycznego. Pewnego dnia zrobię film na ten temat. Istotnie, dowiesz się, że w większości aplikacji, na czym z pewnością skończysz, ponieważ większość równań różniczkowych, spotykanych w nauce lub w każdym innym rodzaju nauki, niezależnie czy jest to ekonomia, fizyka, czy inżynieria, są one w większości nierozwiązywalne, ponieważ mogą zawierać drugą lub trzecią pochodną pomnożone przez siebie. To znaczy, one mogą być naprawdę skomplikowane, bardzo trudne do rozwiązania analitycznego. Faktycznie będziesz rozwiązywał je numerycznie, co zazwyczaj jest znacznie prostsze. W każdym razie, mam nadzieję, że w tym momencie masz całkiem dobre wyczucie równań o zmiennych rozdzielonych. Są one tylko uwikłanymi pochodnymi branymi wstecz i nie jest to w rzeczywistości nic nowego. Naszą następną rzeczą, której się nauczymy są zupełne równania różniczkowe, następnie pójdziemy w stronę coraz większej ilości metod. Mam nadzieję, że po obejrzeniu tych filmów, będziesz miał dobry zestaw narzędzi różnych sposobów rozwiązywania co najmniej rozwiązywalnych równań różniczkowych. Do zobaczenia w następnym filmie.