Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:18:59

Transkrypcja filmu video

Wstęp do splotu W tym filmiku, zapoznam Cię z pojęciem splotu. Jest to jeden z przypadków, gdy matematycy nazwali coś słowem odpowiadającym jego właściwemu znaczeniu. Dosłownie splatacie funkcje. W tym filmie nie będę zagłębiał się w intuicje splotu, ponieważ jest wiele różnych sposobów patrzenia na to. Splot ma dużo różnych zastosowań, więc jeśli zostaniesz inżynierem, zobaczysz spot w wersji dyskretnej i ciągłej oraz na kilka innych sposobów. Jednak w tym filmie, chcę żebyś poczuł się komfortowo z ideą splotu, szczególnie w kontekście brania transformaty Laplace'a. Więc twierdzenie o splocie - cóż, właściwie zanim do tego przejdziemy, zdefiniujmy czym jest splot. Powiedzmy, że mam pewną funkcję f od t. Więc, jeśli splotę f z g - to oznacza branie splotu funkcji f i g - to wynik będzie także funkcją t. To, co napisałem nie powinno być zrozumiałe dla Ciebie, ponieważ nie zdefiniowałem, co to oznacza. To tak, jak zadania na maturze, gdzie operacja aΔb:=(a+b)/3 jeśli stoisz na jednej nodze, czy coś takiego. Więc muszę zdefiniować splot w jakiś podobny sposób. Zapomnijmy o tym niemądrym napisie, który napisałem. Zatem definicja splotu. Będziemy splatać względem... Coż, jest kilka definicji, które możesz znaleźć, ale tę którą my będziemy używać - jest także inna w ciągłej wesji - to całka od 0 do t z f od t minus tau, razy g od t. Pozwólcie, że napiszę. Przepraszam powinno być: razy g od tau różniczka tau. To może wydawać się bardzo dziwną rzeczą. I pewnie chcesz zapytać, Sal, jak mam policzyć choćby jedną z tych rzeczy? Więc, by trochę Ci pomóc, policzmy splot. Powiedzmy... Właściwie, trudno jest znaleźć funkcję której splot łatwo policzyć analitycznie. Przekonasz się, że trzeba będzie korzystać z tożsamości trygonometrycznych by policzyć tę całkę. Ale jeśli powiem... zdefiniuję f od t jako sinus of t, i zdefiniuję cosinus od t - napiszę pomarańczowo - czy też zdefiniuję g od t jako równe cosinusowi Teraz splećmy te dwie funkcje. Zatem splot f z g, i to będzie funkcja t, równa się... Pokażę Ci, jak to policzyć. Więc ta całka - napiszę to fioletowo- całka od do t z f od t minus tau. To jest moje f od t. Więc to będzie sinus t minus tau razy g od tau. Cóż, to jest moje g od t, więc g od tau jest cosinusem tau, d tau. Więc to jest nasza całka. By ją policzyć, musimy użyć trochę trygonometrii. Więc zróbmy to. To jest bardzo dobre powtórzenie z trygonometrii i całkowania. Obliczmy to. Ale chciałem to pokazać w filmie, by pokazać Ci, że splot nie jest czymś abstrakcyjnym, że są do policzenia, Pierwszą rzeczą, którą chcę zrobić- nie znam funkcji pierwotnej. Kuszące jest, że sinus i cosinus, może są one nawzajem pochodnymi, ale to jest sinus t minus tau Więc przepiszmy ten sinus t minus tau, używając tożsamości na sinus sumy. Czyli mamy: sinus t razy cosinus tau minus sinus tau razy cosinus t. Właściwie, właśnie skończyłem film o tożsamościach trygonometrycznych, aby powtórzyć je dla siebie i by film był w lepszej jakości. Więc dokonajmy tego podstawienia, które znajdziesz na okładce każdej książki z całkami, i dostaniemy spot f i g to: -napiszę tylko f gwiazdka g- wynosi całka od 0 do t, zamiast sinus t minus tau napiszę nasz wzór. Więc napiszę sinus od t razy cosinus tau minus sinus tau razy cosinus t i wszystko razy cosinus tau. Muszę być uważny na tau i t, zobaczmy, t i tau, tau i t. Wszystko na razie działa. Zobaczmy, więc teraz to dt. Przepraszam, dtau. Muszę być uważny tutaj. Teraz wymnóżmy ten cosinus tau co dostaniemy? To się równa - więc f splecione z g, f gwiazdka g-równa się całce od 0 do t sinus t razy cosinus tau razy cosinus tau. Wymnożyliśmy cos tau. Więc to cosinus tau do kwadratu, i potem minus-przepiszmy cosinus t najpierw. Robię to, ponieważ całkujemy względem tau. Więc najpierw napiszę mój cosinus t. Zatem cosinus t razy sinus tau razy cosinus tau dtau. I teraz, mamy całkę z różnicy, więc zamieńmy to wyrażenie na różnicę dwóch całek. Więc to się równa całce od 0 do t, sinus t razy cosinus tau kwadrat minus całka od 0 do t, cosinus t razy sinus tau cosinus tau dtau. Teraz, jak to policzyć? By to uprościć, pamiętajmy, że całkujemy względem-muszę być uważny. Całkujemy względem tau. Napisałem tam t. Całkujemy względem tau. Więc to wszystko, cosinus t , to tutaj jest stała. Sinus t jest stały. Dla mnie, t mogło być równe 5. Nie jest ważne, że jedna z granic całkowania to też t. To t byłoby równe 5, więc również byłoby stałe. Całkujemy tylko względem tau, więc jeśli cosinus 5, to stałam możemy wziąć to za całkę. Więc to jest równe sinus t razy całka od 0 do t cosinus tau kwadrat minus cosinus t to tylko stała, wyciągamy ją za całkę. Razy całka od 0 do t sinus tau cosinus tau dtau. Jej funkcja pierwotna jest dość prosta. Możesz dokonać podstawienia. Zróbmy to tutaj zamiast robić to w pamięci. To jest skomplikowany problem, więc nie chcemy niczego pomijać. Niech u będzie sinus tau, wtedy du/dtau to cosinus tau, pochodna sinusa Lub możemy napisać du jest równe cosinus tau dtau Wróćmy do starych zmiennych, by móc użyć granic całkowania. To była zagadka. Nie znam funkcji pierwotnej cosinusa tau kwadrat. Nie jest oczywiste, co to jest. Aby ją znaleźć, wykorzystamy więcej tożsamości trygonometrycznych. W filmie, który dopiero nagrałem, może nie być ostatnim w playliście pokazałem, że cosinus tau kwadrat-używam tau jako przykład-jest równe 0,5*(1+cos 2tau). Ponownie, to jest tożsamość, którą znaj- dziesz na okładce twojej książki z całkami Więc robimy to podstawienie, robimy to podstawienie tutaj i zobaczmy, jak nasza całka wygląda teraz. Więc pierwsza z nich, napiszę tutaj. Dostajemy sinus t razy całka od 0 do t tego wyrażenia tutaj. Wyciągnijmy 0.5 spod całki, by było prościej. Zatem wyciągam 0.5 tutaj. To jest to 0.5 Zatem 1 plus cosinus tau kwadrat i to wszystko jest równe dtau. To jest ta całka tutaj. Tutaj mamy tę całkę minus cosinus t razy całka od-napiszmy to jasno-to jest tau=0 do tau=t. I tutaj zrobiłem podstawienie. Jeśli u jest równe sinus t, wtedy to staje się u. Pokazaliśmy, że du jest równe cos -przepraszam, u jest równe sinus tau. A potem pokazaliśmy, że du jest równe cosinus tau dtau, więc to tutaj to du. Zatem to du i zobaczmy czy można z tym zrobić coś użytecznego. Więc ta całka tutaj funkcja pierwotna tego jest dość prosta. Co dostaniemy? Napiszmy zewnętrzną część. Mamy 0.5 razy sinus t. I weźmy funkcję pierwotną tego. To będzie tau plus funkcja pierwotna tego. To będzie 1/2 sinus 2tau. To znaczy, mogliśmy zrobić podstawienie. Powiedzieć u to 2 tau itd. ale myślę, że możesz to zrobić, a jeśli nie, po prostu weź pochodną tego. 1/2 sinus 2tau to pochodna tego. Wymnażasz, różniczkujesz f. wewnętrzną czyli 2, zatem kasują się, a pochodna f. zewnętrznej to cosinus 2tau. Następnie obliczymy to od 0 do t. Mamy minus cosinus t. Gdy scałkujemy to tuaj - zrobię to na boku. Więc całka u du jest trywialna. To 0.5 u kwadrat. To 0.5 u kwadrat, ale czym było u? To był sinus tau. Zatem f. pierwotna tego tutaj to 0.5 u kwadrat, ale u to sinus tau. Więc to będzie 0.5 u, które jest sinus tau kwadrat. Obliczmy to w granicach 0,t. Nawet nie musieliśmy robić podstawienia. Mój sposób na robienie tego w pamięci to widzę sin tau cos tau. Jeśli mam funkcję i jest pochodną, to mogę potraktować tę funkcję tak, jakby miał x tutaj, więc to będzie sinus tau kwadrat przez 2 , czyli to, co tu. Zatem jesteśmy na końcu drogi. Bierzemy splot sinus t z cosinus t. Dostajemy 0.5 sinus t. Teraz, co dostaję gdy policzymy to dla t? Dostaję t plus 0.5 sinus 2t, gdy liczymy dla t. Z tego muszę odjąć funkcję pierwotną obli- czoną w 0, więc -0-0.5<i>sinus(2</i>0) czyli sinus 0. Więc ta część tutaj, ta cała, do czego to się upraszcza? Cóż, to jest 0, sin 0 to 0, więc to wszy- stko jest 0. Zatem ta pierwsza całka upra- szcza się do 0.5 sinus t razy t plus 0,5 sinus 2t. W porządku, do czego to się sprowadza? Cóż, mamy minus cosinus t. I obliczymy tę całą rzecz w t, więc dostaniemy 0.5 sinus t kwadrat minus 0.5 sin 0 kwadrat, czyli 0, zatem to -0. Do tej pory, wszystko co napisaliśmy spro- wadza się do-najpierw wymnóżmy. Więc mamy 0.5-wybiorę dobry kolor-0.5t sinus t-wymnażam-plus 1/4sinus t sinus 2t. A tutaj mam minus 1/2 sinus t kwadrat razy cosinus t. Wziąłem minus cosinus t i pomnożyłem i dostałem to. Teraz, to jest poprawna odpowiedź, ale podejrzewam, że możemy to uprościć dzieki tożsamościom trygonom. A to wyrażenie wygląda gotowe do uprosz- czenia. Wiemy, że sinus 2t-inna tożs. tryg którą znajdziesz na okładce którejś z two- ich książek-jest 2<i>sin t </i>cos t. Więc jeśli podstawisz to tutaj, ile wynosi całe wyrażenie? Dostajesz pierwszy człon. Przewinę trochę. Dostajesz 0.5 razy sinus t plus 1/4sinus t razy to tutaj, więc razy 2 sinus t cos t. Tożs. tryg., nic więcej ponad to. W końcu mam to minus 1/2 sinus t kwadrat cosinus t. Nikt nie powiedział, że będzie łatwo, ale mam nadzieję, że to choć trochę pomocne. Przynajmniej pokazuje, że nie zapamiętałeś tożs. tryg. na nic. Przepiszę całe wyrażenie lub chociaż tę część. Wiec to jest równe 1/4. Teraz, mam-zobaczmy-1/4 razy 2. 1/4 razy 2 to 1/2. I potem sinus t kwadrat, prawda? Sinus razy ten sinus to sinus t kwadrat cosinus t. A to tutaj to minus 1/2 sin t kwadrat cosinus t. I szczęśliwie dla nas, one się kasują. Oczywiście, mieliśmy to z przodu. Mieliśmy to 1/2t sinus t z przodu. Teraz, te człony kasują się i zostajemy z-z tego całego problemu, co jest satysfa- kcjonujące- 1/2 t sinus t. Właśnie pokazaliśmy, że splot-jeśli zde- finiujemy-napiszmy nasz wynik Czuję się jakbym miał to wypisać na kamie- niu, bo było tyle pracy. Ale jeśli napiszemy, że f od t to sinus t, a g do t to cosinus t, to właśnie pokaza- łem, że splot f z g, co jest funkcją t, co jest zdefiniowane jako całka od 0 do t z f od t minus tau razy g od tau dtau, co równa się-zmienię kolor-całce od 0 do t sinus t minus tau razy g od tau d tau, to wszysztko, cały splot, równa się-to jest satysfakcjonujące-wszyzstko to równa się 1/2t sinus t. Powód, dla którego przesze- dłem przez ten bałagan, stymulując neurony pamiętające tożs. tryg. lub dowodząc ich czy coś takiego, by pokazać, że splot-to jest skomplikowane i wydaje się dziwny-ale naprawdę możesz wziąć splot prawdziwych funkcji i dostać odpowiedź. Zatem splot sinusa t z cosinusem t to 1/2 t sinus t. Zatem, mam nadzieję, że posiadłeś choć trochę intuicji-coż, nie intuicji, ale pzynajmniej trochę praktyki-rozumienia jak splot może być obliczony. koniec