If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:12:14

Zastosowanie twierdzenia o transformacie splotu do rozwiązywania zagadnień z warunkiem początkowym

Transkrypcja filmu video

Używanie splotu przy rozwiązywaniu problemu Cauch'ego Teraz, gdy już coś wiemy o całkach związanych ze splotami i wiemy, jak są związane z transformatami Laplace'a, spróbujmy rozwiązać pewne równanie różniczkowe. Więc mam to równanie tutaj, problem z warunkami początkowymi, które mówi, że druga pochodna y plus 2 razy pierwsza pochodna y plus 2 razy y jest równe sinus alpha t. I mamy dane jakieś wartości początkowe. Które mówią, że y od 0 jest równe 0 oraz, że y' od 0 jest równe 0. I co jest miłe i użyteczne, to że te warunki początkowe sprawiają, że problem jest dość schludny. Ale zajmijmy się nim. Więc pierwszą rzeczą, którą robimy, jest wzięcie transformaty Laplace'a obydwu stron tego równania. Transformata Laplace'a drugiej pochodnej y to s kwadrat. To już powinno być Twoim nawykiem. To jest s kwadrat razy transformata Laplace'a Y, które napiszę wielką literą, Y(s)-s więc zaczynamy z tym samym stopniem, co ilość pochodnych, które bierzemy i potem zmniejszamy to za każdym razem, -s*y(0), możesz myśleć o tym jak o całce i bierzesz pochodną 1, więc to nie jest dokładnie pochodna tego-minus, zmniejszasz tę 1-masz 1 tutaj, y'(0). I to jest transformatę Laplace'a drugiej pochodnej. Teraz, musimy wziąć transformatę Laplace'a 2*y'. To będzie równe +2*sY(s)-s razy transformata Laplace'a y-to jest to tutaj- minus y(0). I mamy tylko jeszcze jeden wyraz. Transformata Laplace'a 2y. To jest równe +2 razy transformata Laplace'a y. I to będzie równe transformacie Laplace'a sinusa alpha t. Do tej pory zrobiliśmy to już wiele razy. To jest alpha przez s^2+alpha^2. Teraz, następna rzecz, którą chcemy zrobić to separacja transformaty Laplace'a od y i Y. Właściwie, nawet lepiej, pozbądźmy się tych warunków początkowych. y(0) i y'(0) jest 0, więc ten człon jest 0 Ten wyraz jest 0 i ten wyraz jest 0. Więc nasze całe wyrażenie-mogę pozbyć się kolorów-staje się-wybiorę tu ładny kolor - staje się s^2 razy Y(s) plus 2s, Y(s) to jest ten wyraz tutaj-plus 2Y(s) jest równy prawej stronie, jest równy alpha przez s kwadrat plus alpha kwadrat. Teraz wyłączmy Y(s) czy też transformata y. I dostajemy s^2+2s+2, to wszystko razy Y(s), jest równe tej prawej stronie, jest równa alpha przez s kwadrat dodać alpha kwadrat. Teraz możemy podzielić obie strony tego równania przez tę rzecz tutaj, tę tutaj. I dostajemy Y(s), transformata Laplace'a Y jest równa temu, alpha przez s kwadrat, dodać alpha kwadrat razy-lub, wiesz, mogę powiedzieć razy-1 przez s kwadrat plus 1s plus 2. Mogłem powiedzieć, podzielić przez to, ale dostajemy to samo. Teraz, co możemy tu zrobić? Pamiętaj, robiłem to w kontekście splotu więc szukam transformaty Laplace'a, która wygląda jak iloczyn 2 transformat. Wiem, czym jest odwrotna transformata Laplace'a tego. W zasadzie, po prostu to wziąłem. To jest sinus alpha t. Więc mogę znaleźć odwrotną transformatę tego, mógłbym przynajmniej wyrazić naszą funkcję f(t) jako splot, nawet jeśli nie rozwiążę tej całki. Stąd, dalej jest tylko całkowanie, albo jeśli to nieelementarna całka, możemy użyć komputera itp., chociaż mógłbyś użyć komputera by to rozwiązać, możesz pominąć pewne kroki nawet te dotyczące tego. W każdym razie, spróbujmy to wyrazić przy użyciu splotu. Więc, co możemy z tym zrobić? To jest-zobaczmy-to nie jest pełny kwadrat Więc jeśli to nie jest kwadrat, następną najlepszą rzeczą jest uzupełnienie do pełnego kwadratu. Więc spróbujmy zapisać -zobaczmy-jeśli napiszę to jako s^2+2s-plus coś- plus 2. Właśnie tak przepisałem to wyrażenie. I jeśli napisałem to jako s^2 plus 2s+1, to stanie się (s+1)^2 Ale jeśli dodałem 1, muszę też je odjąć. Nie mogę sobie dowolnie dodawać. Więc jeśli dodam 1, muszę też ją odjąć by te jedynki się skasowały. Tak naprawdę, nie zmieniłem niczego, po prostu przepisałem je. Ale to teraz mogę przepisać ten człon tutaj, jako (s+1)^2. I to wtedy staje się plus 1. To jest właśnie ten wyraz. To jest to plus 1. Więc mógłbym przepisać moje całe Y(s) jest teraz równe alpha przez s kwadraat, plus alph kwadrat, razy 1 przez tę rzecz, s+1 kwadrat, plus 1. Teraz, jak już to powiedziałem, wiem, czym jest jego odwrotna transformata Laplace'a. Teraz, muszę tylko znaleźć odwrotną transformatę Laplace'a tego wyrażenia. Tego-wybiorę ładny kolor-tego niebieskiego wyrażenia w niebieskim pudełku, wtedy mogę wyrazić to używając splotu. I jak to zrobić? Mógłbym to zrobić właśnie teraz. Mógłbym natychmiast powiedzieć, że y(t) -napiszę to-y(t), więc f. odwrotna jest równa odwrotnej transformacie Laplace'a, oczywiście, Y(s). Napiszę to-Y(s). Które jest równe odwrotnej transformacie L. tych dwóch wyrażeń. Odwrotna transformata Laplace'a alpha przez s kwadrat, plus alpha kwadrat, razy 1 przez s plus 1 kwadrat, plus 1. Tw. o splocie mówi, że to będzie równe odwrotnej transformacie Laplace'a pierwszego czynnika w tym iloczynie. Zatem odwrotna transformata Laplace'a pierwszego czynnika, alpha przez s kwadrat, plus alpha kwadrat, splecione z-napiszę mały znaczek splotu. Miałem powiedzieć "splot" One nie są tak różne. Splecione z odwrotną transformatą L. tego wyrażenia, odwrotna transformata L. 1 przez (s+1)^2 +1 Jeśli mam iloczyn 2 transformat Laplace'a i mogę wziąć każdą z nich osobno, i odwrócić je, odwrotna transformata L. tego iloczynu będzie splotem odwrotnych transformat Laplace'a obu z nich. I to, co powiedziałem, skonfundowało mnie trochę, więc nie chcę skonfundować Ciebie. Ale myślę, że zrozumiałeś ideę. Mam te dwie rzeczy. Rozpatruję je nie,zależnie mogę osobno wziąć odwrotności tych dwóch rzeczy, więc odwrotna transformata Laplace'a ich iloczynu będzie splotem obu odwrotnych transformat. Teraz, czym jest to tutaj? Cóż, miałem to na początku zadania. Odwrotna transformata Laplace'a tego tutaj jest sinus alpha t. ... I będziemy splatać to z odwrotną transformatą tego tutaj. Pracujmy z boku, by mieć pewność, że dostaniemy dobry wynik. Zatem transformata Laplace'a sin(t) jest równa 1 przez s^2 +1 To wygląda tak, ale przesunąłem o -1. Możesz pamiętać, że transformata Laplace'a e^at razy sin(t). Gdy mnożysz e^at razy cokolwiek, przesuwasz transformatę Laplace'a. Zatem to będzie równe 1 przez s minus a kwadrat, plus 1. Zasadniczo przesunęliśmy się o a. Zatem teraz mamy coś, co wygląda bardzo podobnie do tego. Jeśli ustalimy a równe -1, tutaj nasze a jest równe -1, wtedy to pasuje. To jest s minus -1. Zatem odwrotna transformata Laplace'a tego tutaj, jest e^a- a=-1 - więc minus 1t, razy sin(t). Zatem to jest rozwiązanie naszego rówania różniczkowego, chociaż to nie jest przyjemna formuła do patrzenia. I możemy, jeśli chcemy, wyrazić to jako całkę. Nie będę liczył tej całki w tym zadaniu, ponieważ jest zawiła, i nawet nie jest jasne, że-nawet nie będę próbował. Ale chcę sprowadzić to do postaci a dalej jest tylko całkowanie. Może obliczyć to komputerowo. Czym jest splot tych 2 rzeczy? To jest całka od do t, z sinusa z pierwszej funkcji od t minus tau. ... Cóż, mógłbym właściwie zmienić, i nie pokazałem Ci tego, ale możemy zmienić kolejność dowolnie, ale zróbmy to w ten sposób. ... Mógłbym to napisać jako sinus z ... t minus tau, razy alpha- wyłączam sinus z tego- razy e^-a, sinus tau dtau. To jest jeden sposób, na który chciałem wyrazić odpowiedź tego równania różniczkowego. I właściwie powinno być dla Ciebie jasne że oba są równie dobre. Ponieważ, gdy to był iloczyn tutaj, oczywiście kolejność nie ma znaczenia. Mógłbym napisać ten człon jako pierwszy lub tamten. Więc niezależnie od tego, ta sama zasada ma zastosowanie. I formalnie udowodnię to w przyszłym filmie. Więc mogliśmy to zrobić w dowolny sposób. Mogliśmy napisać to wyrażenie jako e^ -t sin(t), splecione z sin(alpha t). I to byłoby równe całce od 0 do t z e^ -t-tau sinus t-tau, razy sinus( alpha tau)dtau. Więc one są równoważne. Każde z nich byłoby akceptowalną odpowiedzią. I normalnie, na teście, nauczyciel nie będzie oczekiwał, że policzysz te całki. Nauczyciel po prostu powie, wyraź to jako całkę, aby-w pewnym sensie-zobaczyć,czy wiesz jak splata się funkcje i dostaje rozwiązania równań różniczkowych, przynajmniej w tej formie, ponieważ stąd reszta to-nie powiem proste całki- ale to już nie są równania różniczkowe. Więc mam nadzieję, że ten drugi przykład splotu, aby rozwiązać odwrotną transformatę, wyjaśnił to choć trochę.