Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:10:51
0 punktów energii
Uczysz się do testu? Skorzystaj z tych 4 lekcji na temat Transformata Laplace'a.
Zobacz 4 lekcje
Transkrypcja filmu video (w języku angielskim)
Zrobiłem mnóstwo filmików o technicznej stronie transformat Laplace'a, ale pewnie oglądaliście je, zastanawiając się zawsze - po co ja się tego uczę? Pokażę Wam to teraz, w każdym razie w kontekście równań różniczkowych. Dostałem mnóstwo listów w odniesieniu do transformaty Laplace'a. "Co to tak właściwie znaczy?" I tym podobne. W istocie są to zasadne pytania i należą się Wam wyjaśnienia. Trudno jest intuicyjnie pojąć dlaczego transformata Laplace'a pojawia się w kontekście równanań różniczkowych, oprócz tego, że jest to wielce pomocne narzędzie, które zamienia zagadnienia z różniczkowaniem i całkowaniem w relacje algebraiczne. Ale dam Wam wskazówkę. I jeśli szukacie sposobu, by się tego nauczyć, powinniście poczytać o szeregu Fouriera i transformatach Fouriera, które są bardzo podobne do transformat Laplace'a. To da Wam wyczucie, o czym tak naprawdę jest zależność od częstotliwości. W każdym razie, użyjmy teraz transformaty Laplace'a, by rozwiązać równanie różniczkowe. I to takie, które już robiliśmy wcześniej. Chwileczkę. Powiedzmy, że równanie to: y bis plus 5 razy pierwsza pochodna, plus 6y, równa się 0. Wiecie jak je rozwiązać, ale chciałem Wam pokazać na przykładzie wyjątkowo prostego równania różniczkowego, że możecie je rozwiązać używając transfromaty Laplace'a. I prawdę mówiąc, dojdziecie do równania charakterystycznego. Warunkami początkowymi będą: y od 0 jest równe 2 i y prim od 0 jest równe 3. Teraz, by użyć tu transformaty Laplace'a, musimy, w istocie, po prostu wziąć transformatę Laplace'a od obu stron tego równania. Wezmę bardziej jaskrawy kolor. Mamy więc transformatę Laplace'a drugiej pochodnej igreka, plus, moglibyśmy napisać transformatę Laplace'a z 5 razy y prim, ale to to samo, co 5 razy transformata Laplace'a y prim. y prim, plus 6 razy transformata Laplace'a y. Pozwólcie, że zadam pytanie. Czym jest transformata Laplace'a 0? Policzę to. Transformata Laplace'a 0, to będzie całka od zera do nieskończoności, z 0 razy e do minus st, po dt. Tu mamy 0. Więc, to jest równe 0. Czyli transformata Laplace'a 0 jest równa 0. Dobrze się składa, ponieważ nie mam tu miejsca na kolejne pisane L. Czym są transformaty Laplace'a tych rzeczy? Tutaj ujawnia się jedna z użytecznych właściwości, których się nauczyliśmy. A ta użyteczna własność... Przepiszę to tutaj. Wydaje mi się, że będziemy tu potrzebować jak najwięcej miejsca. Wymażę to. Dowiedzieliśmy się, że transformata Laplace'a... napiszę to tutaj. Właściwie, to napiszę to niżej. Transformata Laplace'a z f prim, albo możnaby powiedzieć z y prim, jest równa s razy transformata Laplace'a y, minus y od 0. Udowodniliśmy to już. Jest to niesamowicie ważne do zapamiętania. Zobaczmy, czy możemy to zastosować. Transormata Laplace'a y bis, jeśli tego użyjemy, to jest równa s razy transformata Laplace'a... Jeśli przejdziemy od y prim, do y, to po prosty bierze się funckję pierwotną, więc jeśli bierzemy funkcję pierwotną od drugiej pochodnej y, wyjdzie nam pierwsza pochodna minus pierwsza pochodna w zerze. Zauważcie, że od razu używamy wstępnych założeń. Nie będę tego jeszcze podstawiał. I dalej mamy plus 5 razy, będę to pisał za każdym razem, żeby... Więc, plus 5 razy transformata Laplace'a z y prim, plus 6 razy transformata Laplace'a y. To wszystko równe 0. Żeby było jasne, jedyne co zrobiłem, to rozpisałem to i wyszło mi to, używając tego. Jak można rozpisać transformatę Laplace'a y prim? Można raz jeszcze użyć tego, wiec tak zrobimy. To tutaj (napiszę to na czerwono), to się równa s razy co? s razy transformata Laplace'a y prim. To jest s razy transformata Laplace'a y, minus y od 0, zgadza się? Wziąłem tę część i zamieniłem to na to co mam w nawiasach. minus y prim od 0. Teraz zmienię kolor, plus 5 razy, znowu transformata Laplace'a y prim. Możemy znowu tego użyć. Więc 5 razy s razy transformata Laplace'a y, minus y od 0, plus 6 razy transfromata Laplace'a... oj, zabrakło mi miejsca, napiszę to w następnej linii. Plus 6 razy transformata Laplace'a y. To wszystko równe 0. Wiem, że trochę tu namieszałem, ale zaraz to uprościmy. Możemy pozbyć się tego tutaj, bo już to wykorzystaliśmy, tyle razy, ile było trzeba. Teraz po prostu upraszczamy. Zauważcie, ze używając transformaty Laplace'a, nie trzeba zgadywać rozwiazania ogólnego, ani nic takiego. Nawet kiedy rozwiązywaliśmy równanie charakterystyczne, zgadywaliśmy postać rozwiązania ogólnego. Teraz, po prostu bierzemy transformaty Laplace'a i patrzymy, dokąd nas to doprowadzi. Chcę żeby to było jasne, ponieważ wiem, że jest to bardzo pogmatwane. Przepisałem ten fragment jako to. I przepisałem to, jako to. A wszystko inne zostaje jak było. Uprośćmy równanie. Dostajemy s kwadrat, razy transformata Laplace'a y (będę pisał mniejszymi literami, dostałem nauczkę), minus s razy y od 0. Podstawmy tu y od 0. y od 0, to 2, więc s razy y od 0, to 2 razy s, czyli 2s. Otworzyliśmy ten nawias; minus y prim od 0. y prim od zera to 3. Czyli minus 3, plus... mamy 5 razy s razy transformata Laplace'a z y, czyli plus 5s, razy transformata Laplace'a z y, minus 5 razy y od 0. y od 0 to 2, czyli minus 10. Minus 10, zgadza się? 5 razy... to jest 2, czyli 5 razy 2, plus 6 razy transformata Laplace'a z y. To wszystko równa się 0. Zgrupujemy nasze składniki zawierające transformatę Laplace'a z y oraz stałe składniki, i powinniśmy, jeśli nam się uda, dostać jakiś wynik. Zobaczmy... Moje składniki zawierające transformatę Laplace'a, mam ten, mam ten i mam ten. Co pozostało? Wyciągnę przed nawias transformatę Laplace'a z y. Dostaję transformatę Laplace'a z y... to fajnie, bo to żmudne tak ciagle przepisywać to i przepisywać... razy s kwadrat plus 5s plus 6. To już wszystkie skłądniki z transformatą Laplace'a. Teraz pozostałe składniki. Spójrzmy... Tu mam s, więc minus 2s, minus 3, minus 10, równa się 0. I co możemy tutaj zrobić? Po pierwsze, jest to interesujące. Zauważcie, że współczynnik przy transformacie Laplace'a z y, to jest właśnie to równanie charakterystyczne, którym kiedyś się zajmowaliśmy, i mam nadzieję, że w pewnym stopniu, się z tym oswoiliście. Jest to mała wskazówka, i jeśli doszukujecie się jakiegoś luźnego związku z tamtą metodą, to to akurat ma sens. Bo żeby dostać równanie charakterystyczne, podstawialiśmy e do rt, a w transformacie Laplace'a występuje podobna funkcja. W każdym razie, wróćmy do problemu. Jak to rozwiązać? Właściwie, to przedstawie Wam dalszy plan, ponieważ to jest dobry moment. Zamierzam teraz to rozwiązać. Powiem, że transformata Laplace'a z y jest równa czemuś. Wtedy powiem "Jejku, transformata Laplace'a jakiej funkcji jest temu równa?" I wtedy będę miał rozwiązanie. Jeśli Was to dziwi, to poczekajcie, mam nadzieję, że zaraz nabierze to sensu. Od tego momentu, jest to po prostu czysta algebra. Przewińmy trochę w dół, żebyśmy zyskali trochę miejsca. Dostaję transformatę Laplace'a z y, razy s kwadrat, plus 5s, plus 6, równa się... dodajmy te składniki, do obu stron równania, równa się 2s, plus 3, plus 10... to po prostu głupie... plus 13. To jest minus 13. Ktoś dzwoni. Kto dzwoni? To chyba akwizytor. W każdym razie 2s, plus 13. I co teraz mogę zrobić? No. Podzielmy obie strony przez s kwadrat, plus 5s, plus 6. Otrzymuję, że transformata Laplace'a z y równa się 2s, plus 13, dzielone przez s kwadrat, plus 5s, plus 6. Prawie skończyliśmy. Jeszcze tylko trochę algebry. Więc teraz to już prawie koniec. Nie mamy jeszcze wzoru na y, ale wiemy, że transformata Laplace'a z y jest równa tyle. Teraz, jeśli byśmy to mieli w naszej tablicy transformat Laplace'a, od razy byśmy wiedzieli, czym y jest, ale nie widzę niczego, albo nie pamiętam czegoś co robiliśmy w naszej tabelce, co by przypominało to wyrażenie od s. Skończył mi się czas, więc w następnym filmiku, wymyślimy jakiej funkcji jest to transformata Laplace'a. Wychodzi, że to właściwie jest suma rzeczy, które już wiemy, tylko musimy po prostu trochę je poprzekształcać. Do zobaczenia w następnym filmiku.