Wykorzystanie transformaty Laplace'a do rozwiązania równania różniczkowego niejednorodnego — film z polskimi napisami

Miną ponad rok od kiedy nagrałem ostatni zestaw filmów dotyczących równań różniczkowych. Pomyślałem, że moglibyśmy kontynuować naukę dalej. Do nauki pozostało jeszcze rozwiązywanie niejednorodnych, liniowych równań różniczkowych, przy użyciu transformaty Laplace'a. Zróbmy jeden przykład, aby się rozgrzać. Mieliśmy przecież rok przerwy. Być może oglądasz to ciurkiem więc prawdopodobnie jesteś bardziej rozgrzany niż ja. Mamy równanie: druga pochodna y plus y jest równe sinus od 2t. Mamy też warunki początkowe, tutaj. Warunki początkowe to y od zero jest równe 2 i pochodna y od zera równa 1. Pewnie pamiętasz... Pewnie pamiętasz... Prawdopodobnie ostatnio oglądałeś ostatni filmik. Żeby to rozwiązać bierzemy dwustronną transformatę Laplace'a. Znajdujemy transformatę Laplace'a funkcji następnie następnie bierzemy transformatę odwrotną. Jeśli tego nie zrozumiałeś zrobimy to w tym filmie i być może przykład rozjaśni problem. Więc w ostatnim filmie... to był ostatni lub przedostatni... Pokazałem, że transformata Laplace'a z drugiej pochodnej y jest równa s kwadrat razy transformata Laplace'a z y Obniżamy stopień s. Mamy więc s razy y od zera. Możesz o tym myśleć jak o braniu pochodnej. To jest całka. To nie jest dokładnie całka nieoznaczona tego. Ale transformata Laplace'a jest całką. Transformata jest całką. y od zera jest tak jakby o pochodną dalej od i minus pochodna y od zera. Moglibyśmy to przepisać. To jest po prostu kwesta notacji. Zmiast pisać transformatę Laplace'a od y cały czas, mogę napisać s kwadrat razy duże Y, ponieważ będzie to funkcja s a nie funkcja y. Minus s razy y od zera minus y prim od zera. To będą liczby, prawda? To nie są funkcji. To są funkcje wzięte w zerze` lub pochodne funkcji wzięte w zerze. Znamy te wartości. y od zera jest równe 2 i y prim od zera jest równe 1. To było dane. Jeśli weźmiemy transformatę Laplace'a dwóch stron tego równania, najpierw będziemy chcieli wziąć transformatę Laplace'a tego wyrażenia tutaj Co właśnie zrobiliśmy. Transformata Laplace'a drugiej pochodnej jest s kwadrat razy transformata Laplace'a funkcji, którą zapisujemy jako Y od s minus to, minus 2s. Dostaliśmy warunki początkowe. I na końcu minus 1. Prawda? Ten wyraz tutaj jest po prostu równy 1, więc minus 1. Ten człon tutaj. Teraz chcemy wziąć transformatę Laplace'a y. To jest Y od s. To jest Y od s. Napiszę więc transformatę Laplace'a y Przepisuję to w tej notacji. Y od s. Dobrze przyzwyczaić się do obu. To będzie równe transformacie Laplace'a z sinusa od 2t. Zobaczyliśmy rok temu, że transformata Laplace'a sinusa... Napisze to tutaj żebyś pamiętał. Transformata Laplace'a sinusa od a*t jest równa a nad s kwadrat plus a kwadrat. Stąd transformata Laplace'a z sinus 2t... Tutaj a jest równe 2. ...będzie 2 nad s kwadrat plus 4. Jeśli weźmiemy transformatę obu stron tego będzie to 2 nad s kwadrat plus 4. Możemy teraz wyłączyć wszystkie Y od s Możemy teraz wyłączyć wszystkie Y od s To jest wyraz Y od s i to jest wyraz Y od s. Możemy napisać lewą stronę jako s kwadrat... to jest ten człon... dodać jeden.. współczynnik tego członu ...s kwadrat plus jeden razy Y od s. Napisze to na zielono. To jest Y od s i to jest Y od s razy Y od s. Wtedy mamy człony bez Y. Te dwa tutaj. Minus 2s minus 1 jest równe 2 nad s kwadrat plus 4. Możemy dodać 2s plus 1 do dwóch stron, żeby przenieść na prawą stronę i zostajemy z s kwadrat plus 1, razy Y od s jest równe 2 nad s kwadrat plus 4. plus 2s plus 1. Teraz możemy podzielić obie strony tego równania przez s kwadrat plus jeden i dostaniemy transformatę Laplace'a Y. Y od s jest równe... Zmienię kolory... jest równe dwa nad s kwadrat plus 4 razy ta rzecz tutaj. Dzielę obie strony tego równania przez ten wyraz tutaj. Podzielić przez s kwadrat plus 1, dodać 2s plus 1. Muszę podzielić oba człony przez s kwadrat plus 1. Podzielić przez s kwadrat plus jeden, podzielić przez s kwadrat plus jeden. Aby teraz znaleźć odwrotną transformatę Laplace'a tego potrzebuję znaleźć rozkład tego na ułamki proste. Te są proste do zrobienia ale ten jest nieco trudniejszy. Chciałbym to rozłożyć na ułamki proste, żeby być może uzyskać prostszą formę. Mam zamiar zrobić to tutaj obok. Tak naprawdę jest to najcięższa część problemu. Algebra rozdzielanie rzeczy. Porozdzielam to. Zrobię to w ten sposób: 2 nad s kwadrat plus 4 razy s kwadrat plus 1. Rozłożę to na dwa ułamki. To jest rozkład na ułamki proste. Pierwszym ułamkiem jest s kwadrat plus 4 drugim jest s kwadrat plus 1. Ponieważ oba mianowniki są drugiego stopnia, liczniki będą stopnia pierwszego. Będą one wyglądać... niech napiszę... Pierwszy będzie A*s plus B a drugi C*s+D. To jest czysta algebra. To jest po prostu rozkład na ułamki proste. Zrobiłem kilka filmików o tym. Zakładam, że te wyrażenie tutaj może być rozłożone na dwa wyrażenia tej postaci. Teraz potrzebuję znaleźć A, B, C i D. Zobaczmy jak to można to zrobić. Co bym otrzymał dodając te dwa ułamki? Mój wspólny mianownik będzie: Mój wspólny mianownik będzie: s kwadrat plus 4 razy s kwadrat plus 1. Teraz muszę pomnożyć A*s+B razy ten s kwadrat plus 1. W tej postaci te dwa wyrazy zniosły by się Dostałbyś ten wyraz, ale muszę dodać to do tego tutaj. Dostaniemy C*s plus D razy s kwadrat plus 4. Zobaczmy co otrzymamy grupując wyrazy podobne. Najpierw 2 stopnia. Wymnóżmy to wszystko tutaj. A<i>s razy s kwadrat jest A </i>s do trzeciej. A<i>s razy jeden is A</i>s B razy s kwadrat, daje B*s kwadrat i dalej mamy B razy 1 co daje B. Następnie C<i>s razy s skwadrat to jest C</i>s do trzeciej. C<i>s razy 4 jest 4</i>C*s. Te zadania są męczące. Do tego jestem przeziębiony więc to jest dodatkowo męczące, ale maszeruję naprzód. Gdzie ja byłem? Pomnożyłem C przez siebie nawzajem, teraz muszę pomnożyć wszystkie D. D*s kwadrat plus D razy 4, daje 4D To są wszystkie z nich. Napisze to w ten sposób. Mam teraz wyrażenia tego samego rzędu pod sobą. Jeśli dodam cały licznik dostanę... zmienię kolory... ... Dostanę A plus C razy s do trzeciej plus... Teraz wyraz s kwadrat .... plus B plus D razy s kwadrat. Teraz napiszę wyraz z s. plus A plus 4C razy s plus B plus 4D. To jest nasz licznik, po dodaniu tych rzeczy. Wszystko na górze upraszcza się to tego. Nie wiem czy wyrażenie "upraszcza się" jest odpowiednie. To jest tym samym co to na górze. I chodzi tylko o licznik. Mianownik pozostaje bez zmian. Jest s kwadrat plus 4 razy s kwadrat plus 1. Oczywiście muzę pokazać, że to jest równe tej rzeczy tutaj. 2 nad s kwadrat plus 4 razy s kwadrat plus 1. Dlaczego przeszedłem przez całe to zamieszanie tutaj? Powodem dla którego to zrobiłem jest zamiar znalezienia A, B, C i D. Zobaczmy A plus C To jest współczynnik wyrażenia z sześcianem Czy widzimy jakieś wyrażenia sześcianowe tutaj? Nie widzimy. Więc A plus C musi być równe zero, ponieważ nie widzimy tutaj nic co ma trzecią potęgę. B plus D jest współczynnikiem przy s kwadrat Czy widzimy jakieś s kwadrat tutaj? Nie widzimy, wiec B plus D musi być równe zero. A plus 4*C są współczynnikami przy s. Nie widzę wyrażeń z s tutaj. A plus 4*C musi również być równe zeru. Ostatecznie spójrzmy na wyrazy stałe. Po lewej stronie równania mamy wyraz stały. Mamy tam 2. Stąd, B plus 4*D... Nie chcę pisać tak grubo... B plus 4*D musi być równe 2. Wydaje się, że równania linowe są całkiem proste do rozwiązania. Odejmijmy od tego to. Odejmijmy od równość na dole równość na górze. A minus A jest zerem oraz C minus 4<i>C jest minus 3</i>C jest równe zero. Dostajemy C równe zero. Jeśli C jest równe zero, A plus C jest równe zero, A musi być równe zero. Zróbmy to samo tutaj. Odejmijmy od tego to. Dostaniemy B minus B jest zero i wtedy minus 3*D... To po prostu D minus 4*D... wtedy 0 minus 2 jest równe minus 2. Dostaniesz D równe równe 2/3. Minus 2 podzielone przez minus 3 jest 2/3. Tutaj nie ma minusa, napisałem to tutaj później. Powiedzieliśmy, że B plus D jest równe zero. B musi mieć przeciwny znak do D, prawda? Moglibyśmy napisać, że B jest równe minus D lub B jest równe minus 2/3. Zapamiętajmy to wszystko i wróćmy do meritum ponieważ... Właściwie powiem prościej. Możemy przepisać 2 nad s kwadrat plus 4 razy s kwadrat plus 1. jako... A =0, B jest minus 2/3 więc to jest równe minus 2/3 nad s kwadrat plus 4. C jest równe zero. D jest równe 2/3. plus 2/3 nad s kwadrat plus 1 Cała ta praca, którą właśnie zrobiłem była po to aby rozłożyć tą rzecz tutaj. Było to po to aby rozłożyć tą rzecz tutaj. Oczywiście mamy te dwa kawałki tutaj. Nie możemy o nich zapomnieć. Co dała nam cała ta praca? Upewnię się czy nie zrobiłem błędu tutaj. Wzięliśmy transformatę Laplace'a... Jak widzisz algebra jest tutaj najtrudniejsza... jest równe pierwszemu wyrazowi, Pierwszemu wyrazowi, który właśnie rozłożyłem. To jest minus 1/3... Za chwilę zobaczysz dlaczego piszę to w ten sposób minus 1/3 razy 2 nad s kwadrat plus 4 plus 2/3 razy 1 nad s kwadrat plus 1. Pewnie mówisz: "Sal dlaczego piszesz to w ten sposób?" Możesz właśnie natychmiast zobaczyć, że to jest transformata Laplace'a z sinusa 2t To jest transformata Laplace'a z sinusa od t. Chciałem napisać tą dwójkę tutaj, ponieważ to jest 2 to jest 2 kwadrat. To jest jeden, to jest jeden kwadrat. Chciałem zapisać to w tej postaci. To był pierwszy wyraz. Mamy jeszcze dwa. Nie chciałbym zrobić błędu wynikającego z nieuwagi. Mam 2*s nas s kwadrat plus 1. Zapiszę to. 2 razy s nad s kwadrat plus 1 plus plus 1 nad s kwadrat plus 1. Teraz znajdźmy odwrotną transformatę Laplace'a całej tej rzeczy Wtedy dowiemy się jak wygląda y(t). Pamiętasz transformatę Laplace'a? To będzie proste. To będzie sinus od 2t. Zapisze to abyś nie myślał, że uprawiam jakiś rodzaj magii. Transformata Laplace'a sinusa od a*t jest równa a nad s kwadrat plus a kwadrat. Transformata Laplace'a z cosinusa z a*t jest równa s nad s kwadrat plus a kwadrat. Pamiętajmy te dwie rzeczy kiedy będziemy obliczać odwrotną transformatę Laplace'a dwóch stron równania. Odwrotna transformata Laplace'a z transformaty Laplace'a z y jest po prosty równa y. y - może zapiszemy to jako funkcję czasu. To jest transformata Laplace'a z sinusa 2t. Możesz sprawdzić to przez podobieństwo. Jeśli jest równe 2 wtedy to będzie transformata Laplace'a z sinusa 2t. Dalej, minus 1/3 razy sinus z 2t plus 2/3 razy... T jest transformata Laplace'a z sinusa t. Jeśli postawisz za a jeden, transformata sinusa od t będzie 1 nad s kwadrat plus 1. Dostajemy 2/3 razy sinus t... Użyję teraz niebieskiego... plus Dostajemy 2/3 razy sinus t... Użyję teraz niebieskiego... plus 2 razy... To jest transformata kosinusa t. Jeśli postawisz a równe 1 transformata kosinusa t będzie s nad s kwadrat plus 1. Ostatecznie 2 razy kosinus od t. Ostatni wyraz jest podobny jak te tutaj. To jest transformata Laplace'a sinusa od t. Prawie skończyliśmy. Jest jeszcze kilka uproszczeń które moglibyśmy zrobić. Mamy 2/3 razy sinus od t i jeszcze jeden sinus od t tutaj. Mogę więc je dodać. Ile będzie 2/3 plus 1 lub 3/3? Daje 5/3. Mogę napisać: y od t jest równe minus 1/3 sinus od 2t plus ...te dwa wyrazy, które właśnie dodałem... plus 5/3 sinus od t. I ostatni człon tutaj, plus 2 kosinus od t. To było ciężkie zadanie, mnóstwo pracy. Zobaczyliśmy, że najcięższą częścią pracy był rozkład na ułamki proste, który zrobiliśmy bezbłędnie tu na górze. Ostatecznie dostaliśmy całkiem ładne rozwiązanie, które nie jest zbyt skomplikowane i spełnia nie jednorodne równanie różniczkowe. Byliśmy w stanie wykorzystać warunki brzegowe tak jak to zrobiliśmy. Mam nadzieje, że lekcja była użyteczna. To dobra rozgrzewka po rocznej przerwie bez równań różniczkowych.