Transformata Laplace'a 2 — film z polskimi napisami

Zajmijmy się dalej transformatami Laplace'a. Po pierwsze, dobrze jest zobaczyć skąd się biorą w tablicach te wszystkie transformaty Laplace'a, które zobaczycie, a poza tym będziecie przyzwyczajać się do tych rachunków. Naprawdę nie wykraczają one poza poziom drugiego semestru studiów, ale teraz nabędziecie praktyki w tym jak to działa. Po pierwsze, przypomnę definicję transformaty Laplace'a. Piszemy L, jak z "Laverne&Shirley". Transformata Laplace'a jakiejś funkcji od t jest równa całce niewłaściwiej od zera do nieskończoności z e do minus st, mnożone przez naszą funkcję. Czyli razy nasza funkcja od t i wycałkowane po dt. Policzmy kolejną transformatę Laplace'a. Powiedzmy, że chcemy wziąć transfromatę Laplace'a, i teraz naszą funkcją od t, będzie np. e do at. Transformata Laplace'a z e do at. Po prostu podstawimy to do tej definicji transformaty Laplace'a. To się równa... Będzie to dla nas bardzo dobre ćwiczenie z całkowania. Zwłaszcza z całkowania przez części. Prawie każda transformata Laplace'a sprowadza się do całkowania przez części. Przy czym, co już wiemy od dawna, całkowanie przez części, to po prostu wersja pochodnej iloczynu. Tak czy owak. To jest równe całce od zera do nieskończoności z e do minus st razy e do at, zgadza się? To nasze f od t. Po dt. To jest równe - to po prostu dodawanie wykładników, ponieważ mamy tę samą podstawę - całka od zera do nieskończonosci z e do...? Do a minus s, razy t, po dt. I jaką to ma funkcję pierwotną? To jest równe... czemu to jest równe? Całkujemy po t, więc to jest równe 1 przez a minus s; to będzie po prostu stała, zgadza się? Więc możemy to wyciągnąć przed nawias. 1 przez a minus s, razy e do a minus s, razy t. Obliczymy to od t równe nieskończoność, albo ściślej granicę przy t dążącym do nieskończoności oraz dla t równego 0. Mogłem napisać ten czynnik w nawiasie, ale to po prostu stała, prawda? Żaden z nich nie ma w sobie t, więc możemy wyciągnąć ją przed wszystko. To jest równe 1 przez a minus s, razy... A no właśnie. Ile wynosi ta granica? Musimy obliczyć to przy t dążącym do nieskończoności. Jaka jest granica w nieskończoności? Mamy tu dwie możliwości, tak? Jeśli ten wykładnik, jeśli a minus s jest dodatnią liczbą, jeśli a minus s jest większe od zera, to co się stanie? Jak dążymy do nieskończoności, 'e do nieskończności' staje się coraz większe, zgadza się? Ponieważ jest to e do nieogarniczenie rosnącego wykładnika. Czyli właściwie, nie dostajemy wyniku. Kiedy oblicza się całki niewłaściwie, kiedy bierze się granicę przy nieskończoności i nie dąży to do konkretnej skończonej liczby, w granicy nie dostajemy niczego, to znaczy że granica, a właściwie całka niewłaściwa jest rozbieżna. Czyli nie ma granicy. nie... ma... granicy... Do pewnego stopnia, możemy powiedzieć, że transformata Laplace'a nie jest zdefiniowana dla a minus s większego od zera, lub gdy a jest większe niż s. A co się dzieje gdy a minus s jest mniejsze od zera? a minus s mniejsze od zera. Wtedy tutaj mamy jakąś liczbę ujemną, zgadza się? I jak weźmiemy e do nieograniczenie ujemnej liczby, to wtedy to dąży do czegoś. To dąży do zera. Robiliśmy to w poprzednim filmiku. Mam nadzieję, że rozumiecie to co mówię? e do nieskończonej ujemnej liczby dąży do zera, podczas gdy e do nieskończenie dodatniej liczby, to po prostu nieskończoność. Czyli wtedy nie zbiega do niczego. W każdym razie. Jeśli założę, że a minus s jest mniejsze od zera, lub a jest mniejsze niż s, i właśnie to założę, po to, żeby to była całka niewłaściwa, która faktycznie do czegoś zbiega. Jeśli a minus s jest mniejsze od zera i to jest ujemna liczba, e do a minus s, razy... no, t, gdzie t dąży do nieskończoności, bedzie równe zero. Minus ta całka obliczona w zerze. Kiedy obliczamy w zerze, to co się dzieje? t równa się 0. Ten cały składnik staje się e do zera, czyli jeden. e do zera równa się jeden. Czyli co nam zostaje? minus 1 przez a minus s. A to jest to samo, co 1 przez s minus a. Mamy więc nasz kolejny wkład do tablic transformat Laplace'a. I jest to transformata Laplace'a. Transformata Laplace'a e do at jest równa 1 przez s-a, przy założeniu, że s jest większe niż a. Jest to prawda dla s większego niż a, lub a mniejszego niż s. Można to zapisać w obie strony. Jest to nasz drugi wpis do tablic transformat Laplace'a. Niesamowite. Właściwie, to odnieśmy to do naszego poprzedniego wpisu do tablic Laplace'a, co? Jaki był nasz pierwszy wkład do talbic transformat Laplace'a? To była transformata Laplace'a jedynki, równa 1 przez s, zgoda? Ale czy 1 to nie jest do samo, co e do zera? Więc mogliśmy powiedzieć, że jest to transformata... wiem, zaczyna brakować mi miejsca, ale napiszę to tu na fioletowo. Mogliśmy powiedzieć, że transformata Laplace'a jedynki, to to samo co transformata e do 0 razy t, prawda? A to się równa 1 przez s. Warto zauważyć, że szczęślwie wszystko tu się zgadza. Właściwie, pamiętacie, założyliśmy wtedy, że s jest większa od zera, prawda? Założyliśmy, że s jest większe od zera w tym przykładzie. I, co za niespodzianka... Tu też mamy, że s jest większe od zera. To się całkowicie zgadza z tym co tutaj, racja? Ponieważ jeśli a jest równe zeru, to transformata Laplace'a e do zera, to po porstu 1 przez s minus zero. A to po prostu 1 przez s. I potrzebne było założenie, że s jest większe od zera. Czyli tak właściwie, to jest to ten sam wpis do tablic transformat Laplace'a. Ale to zawsze miło, kiedy w matematyce widzimy dwa wyniki, które otrzymaliśmy próbując rozwiązać różniące się trochę zagadnienia i okazują się one w jakiś sposób powiązane lub w ogóle są tym samym wynikiem. W każdym razie, do zobczenia w następnym filmiku, gdzie będziemy dalej próbowali uzupełniać naszą tablicę transformat Laplace'a. I może za trzy lub cztery filmiki, faktycznie pokażę Wam, jak te transformaty niezmiernie się przydają przy rozwiązywaniu rozmaitych równań różniczkowych. Do zobaczenia wkrótce.