Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:10:44

Transkrypcja filmu video

Zajmijmy się dalej wypełnianiem naszej tabeli transformat Laplace'a. Zrobimy teraz raczej skomplikowany przykład, więc będę musiał uważać, żeby nie zrobić jakiś bezsensownych pomyłek. Powiedzmy, że chcemy mieć transformatę Laplace'a... a to jest jedna z tych przydatnych. Właściwie, to wszystkie dotychczasowe są przydatne. Powiem Wam, kiedy zaczniemy robić te nie do końca przydatne. Powiedzmy, że chcemy mieć transformatę Laplace'a sinusa jakiejś stałej razy t. Nasza definicja transformaty Laplace'a, mówi że to jest całka niewłaściwia. I pamiętajcie, że transformata Laplace'a to tylko zapis. Nazwa narzędzia, które okazało się być niesamowicie przydatne. Wrócimy jeszcze do tych pomysłów później. W każdym razie, jest to całka od zera do nieskończoności, z e do minus st, razy to czego transformatę Laplace'a liczymy. Czyli razy sinus at, po dt. Teraz musimy się cofnąć i wygrzebać z pamięci całkowanie przez części. Ja zawsze zapominam, więc będziemy musieli na nowo wyprowadzić wzór. Nie zalecam tego. A zwłaszcza nie przed egzaminem. Wtedy lepiej wykuć się tego na pamięć. Ale zawsze pamiętajcie, że całkowanie przez części, to forma wzoru na pochodną iloczynu. Zapiszę to w rogu. Reguła jest taka, że jeśli mamy dwie funkcje, u razy v. I liczymy pochodną u razy v. Powiedzmy, że są one funkcjami od t. Obie funkcje zależą od t. Mogłem zapisać, u od t razy v od t. To się równa pochodna pierwszej funkcji, razy druga funkcja, plus pierwsza funkcja, razy pochodna drugiej frunkcji. Teraz jeśli zcałkuję obie strony, otrzymam uv równa się całce z u prim v, po dt, ale trochę skracam zapis, plus całka z u v prim. Wypisuję to, żeby mi się przypomniało. I teraz odejmuję to od obu stron. Otrzymujemy, że ta całka z u prim razy v jest równa temu: uv minus całka z u v prim. I, oczywiście, jest to funkcja od t. Całki są po dt. Ale po prostu muszę to często robić w rogu strony, bo zawsze to zapominam. I z tymi primami i całkami i tym wszystkim, zawsze coś mi uleci. Jednak jeśli chciecie to zapamiętać, to po prostu macie: całkowanie przez części, mówi, że jeśli weźmiemy całkę z pochodnej z jednej rzeczy, a druga to po prostu zwykła funkcja, to równa się to dwie funkcje pomnożone przez siebie, minus całka wzięta w odwrotnym porządku. Zgadza się? W tym co odejmowane, bierzemy to co miało pochodną, teraz nie ma. I to co nie miało pochodnej, teraz ma. W każdym razie zastosujmy to do naszego problemu, którym się zajmujemy. Mamy tu swobodę wyboru. Weźmy powiedzmy u prim równe... Za u prim wstawmy do naszego wzoru e do minus st, wtedy u, które będzie funkcją pierwotną od tego, równa się minus 1 przez s, e do minus st, zgadza się? Właściwie, to będziemy korzystać z całkowania przez części dwa razy, więc zdefiniuję transformatę Laplace'a jako y. Przyda nam się to później. Wydaje mi się, że robiłem bardzo podobny przykład, gdy robiliśmy całkowanie przez części. W każdym razie, z powrotem do całkowania. Czyli to jest u. Zapiszę v w innym kolorze. A więc v... Jeśli tu jest u prim, tak? Tu jest u prim, to to jest v. Czyli v jest równe sinusowi z at. Czym jest wtedy v prim? To po prostu a cosunus z at, zgadza się? Reguła łańcuchowa. Teraz, jesteśmy gotowi do naszczego całkowania. Transformata Laplace'a, napiszę to po prostu jako y, y jest równe... y to niewiadoma, które spróbujemy wyznaczyć, Transformatę Laplace'a z sin at. To jest równe u prim razy v, zdefiniowałem u prim i v, tak? To są u prim i v. Całce z u prim razy v, równa się uv, czyli minus 1, przez s, e do minus st, razy v, sinus at, minus całka. Kiedy całkujemy przez części, wszystko jedno, czy chodzi o całkę nieoznaczoną, niewłaściwą, czy oznaczoną. Ale granice zostają. Czyli cały czas mamy, od zera do nieskończoności, z u v prim. u to minus 1, przez s, e do minus st, razy v prim, czyli razy a cosinus at, po dt. Mamy teraz kolejną, nieprzyjemną całkę, którą musimy obliczyć. Może to wymagać kolejnego całkowania przez części i faktycznia, wymaga. Zobaczmy, czy możemy to uprościć. Najpierw wyciągnijmy stałą. Przepiszę to. Mamy y równe, minus e do minus st, przez s, sinus at. Mamy minus, minus, plus a przez s, tak? a podzielone przez s i dwa minusy się kasują. Razy całka od zera do nieskończoności z e do minus st, cosinus at, dt. Jeszcze raz zcałkujmy przez części. Zrobię to na fioletowe, żebyście wiedzieli, że jest to drugie całkowanie przez części. Tutaj. Weźmy jeszcze raz u prim, równe e do minus st. Czyli to jest u prim. Wtedy u jest równe minus 1 przez s, e do minus st. Za v weźmiemy tym razem cosinus at. Najtrudniejsze w tym jest, nie zrobienie głupich błędów. Wtedy v prim... (po prostu chcę, żeby to było w tej samej linijce) jest równe minus a sinus at, zgadza się? Zasada łańcuchowa, pochodna cosinusa to minus sinus. Podstawimy to i otrzymamy... To będzie koszmarne. Właściwie to już jest koszmarne. y jest równe minus e do minus st, przez s, razy sinus at, plus a przez s, razy... Dobra. Całkowanie przez części. uv. To jest minus 1 przez s, e do minus st, razy v, czyli razy cosinus at, minus całka od zera do nieskończoności. Zgłodniałem przez ten problem. Absorbuje on tak wiele glukozy z mojego organizmu. Tak bardzo się skupiam, by nie zrobić żadnych głupich błędów. W każdym razie - całka od zera do nieskończoności. Teraz, mamy u v prime, czyli u to minus 1 przez s, e do minus st. To jest u. I v prim, czyli razy minus a. Skasuje od razu ten minus z tym minusem. To stanie się plusem. a sinus at, po dt. Zaczyna być widać światełko w tunelu. Uprośćmy to wszystko. I oczywiście będziemu musieli obliczyć to wszystko, zgadza się? Od nieskończoności... Właściwie, to będziemu musieli wszystko obliczyć. Skupmy się na razie na całce nieoznaczonej. Będziemy musieli to wszystko obliczyć... Powiedzmy po prostu, że y jest funkcją pierwotną, a potem obliczmy to od nieskończoności do 0. Od 0 do nieskończoności. Czyli to jest równe... y jest równe minus e do minus st, przez s, sinus at. Wymnóżmy to. Minus a, przez s do kwadratu, e do minus st, cosinus at. Zgadza się? Dobra, teraz chcę się upewnić, że się głupio nie pomylę. Dobra. Pomnóżmy to przez to i wyciągnijmy wszystkie stałe. Mamy więc a i s. a przez s. Tu jest minus. Mamy plus a przez s. Czyli mamy minus a do kwadratu, przez s do kwadratu, razy całka od zera... cóż, powiedziałem, że zajmuję się teraz całkami nieoznaczonymi, a granice uwzględnimy później. e do minus st, sinus at, po dt. Teraz to jest ta część, którą robiliśmy wcześniej. Jest to mała sztuczka przy całkowaniu przez części. To wyrażenie, zauważcie, jest takie samo jak nasze wyjściowe y. Zgadza się? To jest nasze wyjściowe y. I zakładamy, że obliczamy całkę nieoznaczoną i uwzględnimy granice później. Aczkolwiek, mogliśmy zachować granice przez cały czas, ale wtedy zapis stał by się jeszcze gorszy. Czyli możemy to przepisać tę całkę jako y. To była nasza definicja. I w sumie, zdałem sobie srpawę, że brakuje mi czasu, więc będę kontynuować ten koszmarny problem w następnym filmiku. Do zobaczenia wkrótce.