Część 2 filmu o transformacie Laplace'a dla sin(at) — film z polskimi napisami

Witajcie ponownie. Byliśmy właśnie w trakcie znajdowania transformaty Laplace'a z sinusa at, kiedy skończył mi się czas. Tu była definicja transformaty Laplace'a z sinusa at. Oznaczyłem ją przez y. To się nam przyda, skoro będziemy całkować przez części dwa razy. Zcałkowałem przez części pierwszy raz, potem zcałkowałem drugi raz. Powiedziałem, żeby nie martwić się o granice całkowania w tym momencie. Zajmujmy się po prostu całką nieoznaczoną. I potem, dopiero jak już znajdziemy y (powiedzmy, że y, to nieoznaczona wersja tego), to potem możemy uwzględnić granice. Dotarliśmy do tego miejsca i uświadomiliśmy sobie, po zcałkowaniu dwa razy i zachowując ostrożność, żeby nie porobić głupich błędów, zdaliśmy sobie sprawę, jejku! To jest nasze wyjściowe y! Jeśli dopiszę tutaj granice, to to jest to samo, co transformata Laplace'a z sin at, zgadza się? To jest nasze wyjściowe y. Teraz... (zmienię kolor, żeby uniknąć nudy), to się równa... właściwie to... to jest y. To się równa y. Prawda? To była nasza wyjściowa definicja. Dodajmy a do kwadratu, przez s do kwadratu, razy y do obu stron równania. To się równa... y plus... po prostu dodaję ten cały składnik do obu stron równania; plus a do kwadratu, przez s do kwadratu, razy y, jest równe.. ten składnik zniknął, czyli jest równe temu. Zobaczmy, czy możemy to uprościć. Wyciągnijmy e do minus st. Właściwie, to wyciagnijmy minus e do minus st. Czyli minus e do minus st, razy sinus... wyciągnę też... albo po prostu napiszę 1 przez s, sinus at, minus 1 przez s do kwadratu, cosinus at. Naprawdę mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem. Tu możemy dodać współczynniki. Czyli dostajemy 1, plus a do kwadratu, przez s do kwadratu, razy y. Ale to to samo, co s do kwadratu przez s do kwadratu, plus a do kwadratu, przez s do kwadratu. Czyli s do kwadratu, plus a do kwadratu, przez s do kwadratu, razy y równa się minus e do minus st, razy to wszystko: sinus at, minus 1 przez s do kwadratu, cosinus at. To tutaj, skoro robimy wszystko po dt, to jest po prostu stała, prawda? Możemy powiedzieć, że stała razy funkcja pierwotna jest równa temu. To jest dobry moment, by wstawić granice. Prawda? Gdyby to miało t tutaj, musiałbym przenieść to z powrotem na tę stronę. Ponieważ t zmienia się w pewnych granicach, przy obliczaniu naszej całki oznaczonej, czy też niewłaściwej. Uwzględnijmy teraz te granice. Mogliśmy pisać jest przez cały ten czas, prawda? I potem wyciągnąć ten czynnik tutaj. Wszystko jedno. Obliczmy to od 0 do nieskończoności. To powinno się uprościć. Obliczę prawą stronę tego równania w nieskończoności. Czym jest e do minus nieskończoności? To jest 0. Już to ustalaliśmy parę razy. To dąży do 0 od lewej strony, ale wciąż to będzie 0, lub dążące do 0. Czym jest sinus od nieskończoności? Sinus ciągle oscyluje, pomiędzy minus 1, a 1, tak samo jak cosinus. Prawda? Więc to jest ograniczone. Więc to dominuje nad tym. Jeśli jesteście ciekawi, możecie to sobie naszkicować. To tworzy coś jakby obwiednię wokół tych oscylacji. Czyli granica, gdy to dąży do nieskończoności, będzie równa 0. To ma sens, prawda? To się znajduje pomiędzy 1, a minus 1. A to dąży do zera bardzo szybko. Czyli to jest 0, razy coś ograniczonego pomiędzy 1, a minus 1. Można spojrzeć na to inaczej: największa wartość, jakiej to jest równe, to 1 razy jakikolwiek współczynnik to jest, a to dąży do 0. Czyli to jak 0 razy 1. Nie chcę się na tym skupiać za bardzo. Możecie się z tym pobawić, jak chcecie. Minus to wszystko obliczone w zerze. Czym jest e do minus 0? e do minus 0, to jest 1. Prawda? To e do 0. Mamy minus 1, czyli będzie plus 1, razy... sinus 0, to 0. Minus 1 przez s do kwadratu, cosinus 0. Spójrzmy. Cosinus 0, to 1, mamy więc minus 1 przez s do kwadratu, minus 1 przez s do kwadratu, razy 1. To się równa minus 1 przez s do kwadratu. I wydaje mi się, że gdzieś się pomyliłem, ponieważ, nie powinienem mieć tu ujemnej liczby. Wracamy i szukamy pomyłki. Może ta liczba nie jest ujemna? Zobaczmy, nieskończoność, tak? To całe jest 0. Kiedy tu podstawimy 0, to się staje minus 1. Tak. Albo to jest plus, albo to jest plus. Zobaczmy gdzie się pomyliłem. e do minus st... O, już widzę gdzie jest mój błąd. Tutaj. Gdzie wyciągnąłem minus e do minus st. W porządku. Czyli tu będzie 1 przez s, sinus at. Ale kiedy wyciągnę minus e do minus st, to się staje plusem, zgadza się? Tu był minus, ale wyciągam minus e do minus st. Czyli tu jest plus. To jest plus. Cieszę się, że to nie było trudne do znalezienia. To się staje plusem. I to się staje plusem. Dzięku Bogu. To byłoby przykre, gdyby zużył dwa filmiki i skończył z niepoprawnym wynikiem ujemnym. W każdym razie. Mamy s do kwadratu, plus a do kwadratu, przez s do kwadratu, razy y, jest równe tyle. Pomnożymy obie strony przez s do kwadratu, przez s do kwadratu plus a do kwadratu. Czyli podzielmy obie strony przez to i otrzymamy, że y jest równe 1 przez s do kwadratu... właściwie, to upewnię się, że to jest poprawnie. To jest 1 przez s do kwadratu... y jest równe 1 przez s do kwadratu, razy s do kwadratu, przez s do kwadratu plus a do kwadratu. To się skraca. Pozwólcie, że sprawdzę, czy nie zrobiłem kolejnego głupiego błędu. Ponieważ mam wrażenie, że zrobiłem. Tak. Tutaj. Widzę tę głupią pomyłkę. Znowu tu, w tym czynniku. Mam nadzieję, że nie przeszkadzają Wam te pomyłki, ale chcę żebyście zauważyli, że robię te rzeczy w czasie rzeczywistym i jestem człowiekiem, jeśli jeszcze nie zdaliście sobie z tego sprawy. W każdym razie, zrobiłem ten sam głupi błąd. Wyciągnąłem e do minus st tutaj, więc to jest plus. Ale tu było a przez s do kwadratu. Czyli to jest a. To jest a. I kolejne a. I tu a. I tutaj a. Zgadza się? To było a. Czyli wyszło nam - i to jest poprawny wynik - a przez s do kwadratu, plus a do kwadratu. Mam nadzieje, że te błędy nie zdekoncentrowały Was za bardzo. Takie rzeczy się zdarzają, gdy całkuje się przez części dwa razy z mnóstwem zmiennych. W każdym razie, teraz jesteśmy gotowi by dodać ten ważny wpis do naszej tablicy transformat Laplace'a. A jest to transformata Laplace'a... zrobiłem dodatkowego zawijasa tutaj. To było niepotrzebne. Napiszę to jeszcze raz. Transformata Laplace'a z sinus at jest równa a, przez s do kwadratu plus a do kwadratu. Jest to ważny rezultat. I może dobrym ćwiczeniem dla Was, żeby zobaczyć jak fajne jest całkowanie przez części dwa razy, będzie znalezienie transformaty Laplace'a z cosinusa at. Dam Wam wskazówkę. Jest to s przez s do kwadratu plus a do kwadratu. Fajne jest, że jest tu taka symetria. Prawie dotarłem do mojego limitu czasu. Bardzo mnie zmęczył ten filmik. Więc zostawię Was z tym i do zobecznia w następnym filmiku.