Funkcja delta Diraca — film z polskimi napisami

Kiedy przedstawiałem Tobie funkcję skoku jednostkowego powiedziałem, że ten typ funkcji może być bardziej egzotyczny i bardziej niezwykły w porównaniu do tego co widziałeś w tradycyjnym kursie z analizy lub algebry. Zostało to wprowadzone ponieważ istnieje dużo układów fizycznych, które zachowują się w ten sposób. Przez długi okres czasu nic się nie dzieje i nagle bum! Coś się wydarza. I dalej idziemy w ten sposób. Nie dzieje się to dokładnie jak na rysunku ale może to być przybliżenie. Podobnie czasami nie dzieje się nic przez długi okres czasu. Długo nic się nie dzieje i nagle grzmot! Coś uderza cię bardzo mocno i odlatuje. Potem nic się nie dzieje przez bardzo długi okres czasu. Możesz patrzeć na to jak na impuls. Będziemy rozmawiać o impulsie jednostkowym. Czy nie byłoby wspaniale gdybyśmy mieli jakiś rodzaj funkcji, który modelowałby to zachowanie? W naszej idealnej funkcji nic się  nie dzieje do czasu kiedy dojdziemy do jakiegoś punktu i wtedy bum! To mogłoby być nieskończenie silne, ale mogłoby mieć skończoną powierzchnię. Następnie wróciłoby do zera jak to tutaj. To będzie nieskończenie wysoko w zerze. i będzie ciągłe tutaj. Powiedzmy, że powierzchnia pod tym stanie się bardzo... Nazywanie tego funkcją jest naciągane, ale wykracza to poza matematykę prezentowaną w tym filmie. Będziemy jednak nazywać to funkcją. Powiesz: Do czego przydatna jest taka funkcja? Jak możemy jej używać? Spróbuję ją zdefiniować. Powiedzmy, że nazwiemy tą funkcję prezentowaną przez deltę. Jest ona nazywana deltą Diraca. Nieprecyzyjnie powiemy, że w x równym zero skacze do nieskończoności. Jest zerem wszędzie tam gdzie x nie jest równe zeru. Powiesz: Jak mogę tego użyć? Jak wezmę całkę z tego? Żeby pomóc poradzić sobie z tym zrobię definicję. Powiem Ci ile wynosi całka z tego. To jest część definicji funkcji. Jeśli wezmę całkę z tej funkcji od minus nieskończoności do plus nieskończoności wiec po całej prostej rzeczywistej. Z definicji nadaję całce tej funkcji, wartość jeden. Definiuję to. Możesz teraz powiedzieć: Sal nie pokazałeś tego. Nie, Ja to definiuję. Mówię Tobie, że całka z tej funkcji wynosi jeden. To ma nieskończenia wąską podstawę i skacze nieskończenie wysoko i definiuję, że powierzchnia tego wynosi jeden. Powiesz, że to dziwna funkcja. Chciałbym troszeczkę lepiej zrozumieć jak ktoś może skonstruować taką funkcję. Zobaczmy czy jesteśmy w stanie spełnić to chociaż trochę. Kiedy to spełnimy, zaczniemy liczyć transformaty Laplace'a tego. I trochę się tym pobawimy. Uzupełnię tą deltę tutaj. Powiedzmy, że skonstruowałem inna funkcję. Nazwijmy ją "d" z dolnym indeksem tau. Jest to po to aby spełnić pragnienie lepszej intuicji jak może być skonstuowana delta Diraca. Powiedzmy, że moje d_tau... Napiszmy wszystko jako funkcję t ponieważ wszystko robimy w świecie transformaty Laplace'a. Wszystko jest funkcją t. Powiedzmy, że to jest równe 1 nad 2 tau. Widzisz dlaczego wybieram te liczby. 1 nad 2 tau kiedy t jest mniejsze niż tau i większe niż minus tau. W innych miejscach jest zero. Te równanie jest bardziej zrozumiałe. Właściwie wygląda ono jak kombinacja skoków jednostkowych. Możemy też ją tak zdefiniować. Jeśli narysuję moją oś X i oś Y tutaj. To moja oś Y. Przepraszam, to jest oś t. Muszę pozbyć się tego nawyku. To jest oś t. Moglibyśmy nazwać to osią osią y lub f od osi t lub cokolwiek. To jest zmienna zależna. Co tutaj się stanie? To będzie zero dopóki nie dojdziemy do minus t gdzie skoczymy do jakiegoś poziomu. Narysuję tutaj punkt. To jest minus tau a to plus tau. To będzie zero i w minus minus tau skoczymy do tego poziomu i pozostaniemy stale na tym poziomi dopóki nie dojdziemy do plus tau. Ten poziom wynosi jeden nad 2 tau. Ten punkt tutaj na osi y wynosi jeden nad 2 tau. Dlaczego więc skonstruowałem tą funkcję w ten sposób? Zastanówmy się nad tym. Co się stanie jeśli wezmę całkę? Niech napisze ładniejszy znak całki. Jeśli wezmę całkę od minus nieskończoności do nieskończoności z d_tau od t dt. Czemu to będzie równe? Jeśli całka jest po prostu polem powierzchni pod tą krzywą To jest całkiem prosta rzecz do obliczenia. Patrzysz na to i mówisz, że jest równe zero wszędzie poza tym. Jest zero wszędzie poza i jedyna powierzchnia jest tutaj. Mógłbym rozpisać tą całkę jako całka od minus tau do tau... Nie przejmujemy się nieskończonościami ponieważ nie ma wkładu do powierzchni dalej niż te punkty... 1 nad 2 tau d tau. Przepraszam 1 nad 2 tau dt. Możemy to zapisać też w ten sposób, prawda? Ponieważ możemy przesunąć granice stąd dotąd, ponieważ nie dostajemy nic kiedy t idzie do nieskończoności czy minus nieskończoności. W tych granicach funkcja jest stała, 1 nad 2 tau się możemy prosto wziąć całkę i ją obliczyć. Nie musimy nawet znać analizy żeby wiedzieć, ile będzie wynosić ta całka. To jest po prostu powierzchnia pod tym. Ile wynosi podstawa? Podstawa wynosi 2 tau. Masz jedno tau tutaj i drugie tam. To jest więc równe 2 tau razy wysokość. Wysokość wynosi 1 nad 2 tau. Powierzchnie pod wykresem funkcji lub całka wynosi 1. Możesz to obliczyć. Możesz to otrzymać obliczając całkę nieoznaczoną z 1 nad 2 tau i dostaniesz... Zrobię to aby zaspokoić Twoją ciekawość... t nad 2 tau... Musisz obliczyć to od minus tau do tau. Kiedy położysz tau tutaj dostaniesz tau nad 2 tau i minus minus tau nad 2 tau i dostaniesz tau plus tau nad 2 tau. To jest 2 tau nad 2 tau To jest równe 1. Może niepotrzebnie tracę czas. Sądzę, że wystarcza Tobie, że powierzchnia pod wykresem będzie równa jeden, bez znaczenia jakie wybierze się tau. Jeśli będę brał mniejsze i mniejsze wartości tau Co się stanie? Jeżeli moje nowe tau będzie tutaj, powiedzmy, że moje nowe tau będzie tutaj. Wybiorę moje nowe tau tutaj. Wtedy 1 nad 2 tau , tau jest teraz mniejszą liczbą, więc kiedy jest w mianowniku moje 1 nad 2 tau będzie czymś takim, prawda? Chodzi mi o to, że jeśli będę wybierał mniejsze i mniejsze tau, wtedy moja wysokość będzie wyższa i wyższa. Moje 1 nad 2 tau będzie nawet wyższe niż to. Myślę że widzisz dokąd z tym zmierzam. Co się stanie kiedy w granicy tau będzie dążył do zera? Jaka jest granica funkcji d_tau kiedy tau dąży do zera? Jaka jest granica tego? Te rzeczy będą blisko zera ale to jest granica. One nigdy nie będą w zerze. Wysokość będzie nieskończenie duża, ale cały czas, bez znaczenia jakie jest tau moja powierzchnia będzie wynosić zawsze 1. Granicą więc będzie delta Diraca. Nich to zapiszę. Miałem zamiar napisać znowu x. Delta Diraca jest funkcją od t, z tego powodu jeśli zapytasz jaka jest granica kiedy tau osiąga zero z całki od minus nieskończoności do plus nieskończoności z d_tau od t dt, to powinno ciągle wynosić 1 prawda? Z powodu tych rzeczy tutaj to daje jeden. Kiedy weźmiesz granice tau dążące do zera... Zachowuję się bardzo łagodnie jeśli chodzi o definicje granic, Nie jestem bardzo ścisły. Wydaje mi się, że możesz zrozumieć intuicyjnie dokąd zmierzam. To będzie wynosić jeden. Przez ten zam intuicyjny argument możesz powiedzieć, że granica od minus nieskończoności do nieskończoności z naszej delty diraca jako funkcji od t dt również będzie wynosić jeden. I odwrotnie, delta Diraca... Chodzi mi o to, że ta rzecz skacze do nieskończoności w t równym zero. Jeśli narysowałbym oś X w ten sposób i w te równym zero delta Diraca skacze w ten sposób. Zwykle rysuje się to w ten sposób. Zwykle też rysuje się to do jedynki, aby zaznaczyć wartość pola powierzchni. Wiec to jest nasza delta Diraca. Co się stanie jeśli będziesz chciał to przesunąć? Powiedzmy, że chciałbym przesunąć t o minus 3. Jak będzie wyglądał wykres? To będzie po prostu przesunięcie w prawo o 3. Dla przykładu kiedy t jest równe 3, to stanie się deltą Diraca w zerze. Wykres będzie wyglądał następująco. To będzie moja oś X. Powiedzmy, że to jest moja oś Y. Niech to będzie jeden. Narysuję tutaj trochę punktów to jest 1, 2, 3. To jest równe 3. Czy powiedziałem, że to jest moja oś X? To jest moja oś t. To jest t równe 3. Delta Diraca jest będzie zero wszędzie. Dla trzech skacze nieskończenie wysoko Oczywiście nie mamy wystarczająco papieru żeby narysować nieskończenie wysoką szpilkę tutaj. Dlatego w tym miejscu rysujemy strzałkę. Rysujemy tutaj strzałkę. Zazwyczaj rysujemy wielkość powierzchni pod strzałką. Robimy to w ten sposób. Wyjaśnię to lepiej. Nie chodzi o to, że funkcja osiąga jedynkę i wraca z powrotem w dół. To mówi mi, że powierzchnia pod wykresem funkcji wynosi jeden. Impuls musi osiągać wartość nieskończenie dużą ponieważ ma nieskończenie małą podstawę, wiec powierzchnia pod funkcją impulsową lub deltą Diraca. Teraz, to tutaj wynosi t minus 3, ale powierzchnia pod wykresem ciągle wynosi 1. Dlatego narysowałem strzałkę, która idzie do jedynki. Powiedzmy, że chciałbym to narysować... zrobię to w innym kolorze. Powiedzmy że chciałbym narysować 2 razy delta Diraca od t minus 2. Jak to narysować? Poszedłbym do t minus 2. Kiedy t jest równe 2 dostaniesz deltę Diraca od zera więc jest to miejsce gdzie będziesz miał szpilkę. Mnożymy to przez 2 więc dostaniesz podwojony impuls tak wysoko jak to. Dwie z tych rzeczy idą do nieskończoności ale tutaj funkcja skacze do nieskończoności razy dwa. Wiem, że to wszystko wydaje się teraz niedorzeczne. Chodzi o to, że powierzchnia pod krzywą powinna być dwa razy większa. Dlatego właśnie rysujemy strzałkę idącą do 2, żeby powiedzieć powierzchnia pod krzywą wynosi 2. Impuls musi iść nieskończenie wysoko. To wszystko jest troszeczkę abstrakcyjne ale to jest użyteczny sposób żeby modelować rzeczy, które mocno czymś wstrząsają. Oczywiście nic nie zachowuje się dokładnie ja to ale jest dużo zjawisk w przyrodzie, które przedstawiają impulsowe zachowanie. Zamiast próbować powiedzieć, jak dokładnie wygląda ten impuls. Mówimy, że jest to delta Diraca. Przedstawiamy impuls przez coś takiego. Żeby zmotywować użyteczność tego narzędzia miałem zamiar przedstawiać to w ostatnim filmiku ale zdecydowałem się tego nie robić. Zaraz jednak to pokażę ponieważ robiłem dużo równań różniczkowych i nie pokazałem tobie jak zastosować to w rzeczywistym świecie. Możesz sobie wyobrazić: Ścianę z przyczepioną do niej sprężyną z masą doczepioną tutaj. Powiedzmy, że to jest stan spoczynku sprężyny w ten sposób, że sprężyna będzie chciała tutaj pozostać. Została więc rozciągnięta o odległość y od jej pozycji spoczynkowej gdzie chciałaby pozostać. Powiedzmy, że mam tutaj jakąś zewnętrzną siłę Powiedzmy, że mam zewnętrzną siłę tutaj zaczepioną do sprężyny. Powiedzmy, że to jest na lodzie. Wszystko jest bez tarcia. Chciałby tobie pokazać, że mogę przedstawić zachowanie tej tego układu równaniem różniczkowym. Rzeczy jak funkcja skoku jednostkowego, delta Diraca zaczynają być użyteczne w tym środowisku. Wiemy, że F jest równe masie razy przyśpieszenie To są podstawy fizyki. Teraz, jakie są wszystkie siły działające na tą masę tutaj? Mamy tą siłę tutaj Powiedzmy, że kierunek dodatni jest w prawo To jest ta siła. Następnie mamy siłę skierowaną ujemnie, pochodzącą od sprężyny. Siła od sprężyny pochodzi z prawa Hooke'a. Jest proporcjonalna do tego jak daleko sprężyna jest rozciągnięta od położenia równowagi. Siła w tym kierunku będzie wynosić ky lub minus ky, ponieważ działa w przeciwna stronę, kierunku, który uznaliśmy za dodatni. Siła całkowita działająca wynosi F minus ky i to jest równe masa naszego obiektu razy przyśpieszenie. Ile wynosi przyśpieszenie? Jeśli to jest pozycja y jeśli weźmiemy pochodną y względem t, y prim, które moglibyśmy nazwać również dy dt, to będzie prędkość. Jeżeli weźmiemy pochodną tego y prim, która jest równa d kwadrat y względem dt kwadrat to będzie przyśpieszenie. Zamiast więc pisać a możemy napisać y prim prim Jeśli przeniesiemy to na drugą stronę równania co dostaniemy? Dostaniemy siłę... Tą siłę, nie tylko tą. To było F równe ma... ale ta siła jest równa masie naszego obiektu razy przyśpieszenie obiektu. plus stała sprężystości k razy y. Jeśli nie ma siły zewnętrznej to jest zawsze zero i dostajemy jednorodne równanie różniczkowe. W tym przypadku sprężyna będzie poruszała się sama z siebie. Teraz F powoduje powstanie niejednorodnego członu. To jest to co daje przyłożenie zewnętrznej siły. Jeśli zewnętrzna siła wyglądałby jak delta Diraca... Powiedzmy to jest t minus 2, jest równe naszej masie razy y prim prim plus nasza stała k razy y. To jest powiedzenie, że w czasie równym 2 sekundy będziemy wstrząsać tą rzecz w prawo. Będę o tym mówił. To dostanie impuls. Siła razy czas będzie... lub popęd będzie równy jeden. Nie chciałbym zbyt mocno wchodzić w fizykę tutaj, ale popęd lub zmiana pędu będzie miał wartość jeden, zależnie od tego jakich jednostek używamy. Chciałbym zrobić mały odskok ponieważ możesz pomyśleć: Sal pokazuje mi te dziwne egzotyczne funkcje. Do czego one są przydatne? Dobre są w przypadku kiedy potrząsasz tą rzeczą w jakimś stopniu i pozostawiasz to w spokoju. Robisz to nieskończenie szybko, ale wystarczająco żeby zmienić pęd, w ten dobrze zdefiniowany sposób. W każdym razie w następnym filmie będziemy kontynuować z deltami Diraca. Znajdziemy jej transformatę Laplace'a i zobaczymy jak działa na inne funkcje.