Transformata Laplace'a jako transformacja liniowa i transformata Laplace'a pochodnej funkcji — film z polskimi napisami

Czas najwyższy zająć się pewnymi interesującymi i bardzo przydatnymi własnościami transformaty Laplace'a. Pierwszą z nich jest pokazanie, że transformata jest operatorem liniowym. Co to znaczy? Przypuścmy, że chcę wziąć transformatę Laplace'a sumy nazywamy to sumą ważoną dwóch funkcji. Pewna stała c1 razy moja funkcja f(t) plus pewna stała c2 razy moja druga funkcja, g(t). Z definicji transformaty Laplace'a, to jest równe całce niewłaściwej od zera do nieskończoności z e do minus st, razy nasza funkcja której transformatę Laplace'a liczymy, więc razy c1, f(t) plus c2, g(t) - podejrzewam, że wiecie gdzie to wszystko zmierza - i do tego dt. To jest równe całce od zera do nieskończoności Przenieśmy e do potęgi minus st. Czemu to jest równe? To jest równe c1 razy e do minus st, f(t) plus c2, e do potęgi minus st, g(t) i to wszystko razy dt. Z definicji własności całki wiemy, że możemy to rozłożyć na dwie całki, prawda? Całka sumy dwóch funkcji jest równa sumie ich całek. To są jedynie stałe. Więc to będzie równe c1 razy całka od 0 do nieskończoności e do minus st razy f(t) dt plus c2 razy całka od zera do nieskończoności z e do minus st, g(t), dt. To tylko bardzo rozwlekła metoda powiedzenia, że co to jest? To jest transformata Laplace'a f(t) To jest transformata Laplace'a g(t). Zatem to jest równe c1 razy transformata Laplace'a f(t) plus c2 razy - to jest transformata Laplace'a - transformata Laplace'a g(t). Zatem właśnie pokazaliśmy, że transformata Laplace'a jest operatorem liniowym, prawda? Transformata Laplace'a tego jest równa temu. Zasadniczo można rozbić sumę, wyciągnąć stałe i wziąć transformatę Laplace'a. To przydatna wiedza i zapewne sam zgadłeś, że tak to działa. Teraz jesteś tego pewien. Teraz zrobimy coś, co uważam, że jest nawet bardziej interesujące. To całkiem spora wskazówka, dlaczego transformaty Laplace'a są bardzo przydatne do rozwiązywania równań różniczkowych. Powiedzmy, że chcę znaleźć transformatę Laplace'a pochodnej f(t), czyli f'(t). Mamy f(t), różniczkujemy ją, a następnie chcemy wziąć transformatę Laplace'a. Zobaczmy, czy uda nam się znaleźć związek pomiędzy transformatą Laplace'a pochodnej funkcji, a transformatą Laplace'a wyjściowej funkcji. Użyjemy tutaj całkowania przez części. Najpierw zobaczmy, czym to jest. To jest równe całce od zera do nieskończoności z e do minus st, razy f(t) dt. Aby to rozwiązać, użyjemy całkowania przez części. Zapiszę to w rogu, abyście zapamiętali czym to jest. Myślę, że udało mi się zapamiętać, ponieważ nagrałem poprzedni film nie tak dawno temu. Napiszę to w skrócie. Całka z u - cóż, powiedzmy uv', ponieważ to będzie lepiej pasować do tego co tu mamy - jest równa obu funkcjom bez pochodnych, uv, minus całka z odwróconą kolejnością czyli z u'v. W tym wypadku podstawienie jest dość jasne, prawda? Ponieważ chcemy na końcu mieć f(x) Więc niech v' będzie równe f', zaś u niech będzie e do minus st. Zróbmy to. u będzie równe e do minus st, zaś v będzie równe czemu? v będzie równe f'(t) Wtedy u' będzie równe minus s razy e do minus st. Następnie v' - przepraszam, to jest v prim - v' będzie równe f'(t), zatem v będzie równe po prostu f(t). Mam nadzieję, że nie powiedziałem tego źle za pierwszym razem. Ale wiecie co mam na myśli. To jest u, to jest u, za to to jest v prim. Jeśli to jest v prim, to po wzięciu całki obu stron v jest równe f(t). Zatem użyjmy całkowania przez części. Zatem ta transformata Laplace'a, która jest tym, jest równa uv, czyli e do minus st razy v, czyli f(t) minus całka - oczywiście będziemy musieli scałkować od zera do nieskończoności. Zawsze będę używać całki niewłaściwej Nie będę przeskakiwał pomiędzy całką właściwą a niewłaściwą. Więc, minus ta część. To jest całka od 0 do nieskończoności z u' u prim jest równe minus s razy e do minus st razy v - v jest równe f(t) -- dt. Zobaczmy Mamy minus i minus, więc całość bierzemy z plusem. s jest tylko stałą, więc możemy wyciągnąć ją przed całkę. To jest równe e do minus st, f(t), w granicach od zera do nieskończoności, plus s razy całka od 0 do nieskończoności z e do minus st f(t) dt. Widać co otrzymujemy? To jest transformata Laplace'a f(t), prawda? Zajmijmy się tą częścią. Przy zbliżaniu się do nieskończoności e do minus nieskończoności zbiega do zera. f od nieskończoności - to jest ciekawe pytanie f od nieskończoności - sam nie wiem. Może być duże, może być małe, może zbiegać do pewnej wartości, prawda? To zbiega do zera, więc nie mamy pewności. Jeśli to rośnie szybciej niż to zbiega do 0, to całość będzie rozbieżna. Nie będę wnikać w matematykę tego, czy to zbiega, czy jest rozbieżne, ale powiedzmy jedynie, w dużym skrócie, że to będzie zbiegać do 0, jeśli f(t) rośnie wolniej niż e do minus st maleje. Być może później zajmiemy się rozważaniem, pod jakimi warunkami to wyrażenie będzie faktycznie zbieżne. Ale załóżmy, że f(t) rośnie wolniej niż e do st, lub że rozbiega się wolniej, niż to zbiega, można na to spojrzeć w ten sposób. Lub, że to rośniej wolniej niż to maleje. Zatem, jeśli to rośnie wolniej niż to maleje, to całe wyrażenie zbiega do zera. Następnie chcemy odjąć to całe wyrażenie obliczone w zerze. e do zerowej to jeden, razy f(0) -- to po prostu f(0) -- razy s razy -- już powiedzieliśmy, to jest transformata Laplace'a f(t), to nasza definicja -- zatem transformata Laplace'a f(t). Mamy teraz interesującą własność. Jaka była lewa strona tego wszystkiego co robiliśmy? Transformata Laplace'a f'(t). Pozwólcie, że zapiszę to jeszcze raz. I zamienię kolory. Transformata Laplace'a f'(t) jest równa s razy transformata Laplace'a f(t) minus f(0). Czym jest transformata Laplace'a -- to przydatna wiedza -- czym jest transformata Laplace'a f prim prim od t? Widać tu pewien wzór, prawda? To będzie s razy transformata Laplace'a jej funkcji pierwotnej, razy transformata Laplace'a f'(t), prawda? To idzie tutaj, to jest funkcja pierwotna. To idzie tutaj, to też funkcja pierwotna. minus f'(0), prawda? Ale czemu jest równa transformata Laplace'a tego? To będzie równe s razy transformata Laplace'a f'(t), ale czym to jest? Tym, prawda? To jest s razy transformata Laplace'a f(t), minus f(0), prawda? Zamieniłem tylko to z tym. Minus f'(0). Otrzymujemy, że transformata Laplace'a drugiej pochodnej jest równa s kwadrat razy transformata Laplace'a naszej funkcji f(t), minus s razy f(0), minus f'(0). Podejrzewam, że zaczynacie dostrzegać tutaj pewien wzór. To jest transformata Laplace'a f''(t). Myślę, że zaczynacie dostrzegać, dlaczego transformata Laplace'a jest użyteczna. Zamienia pochodne na mnożenie przez f. Właściwie, jak zobaczycie później, zamienia całkowanie na dzielenie przez s. Możecie wziąć dowolne pochodne i jedynie mnożyć przez s. Widzicie ten wzór. Kończy mi się czas ale zostawię wam zadanie - czemu będzie równa transformata Laplace'a trzeciej pochodnej f? Do zobaczenia w następnym filmie.