Transformata Laplace'a funkcji cos(t) i wielomianów — film z polskimi napisami

W poprzednim filmie pokazaliśmy że transformata Laplace'a f'(t) jest równa s razy transformata Laplace'a funkcji f minus f(0). Tym, co teraz zrobimy, będzie zastosowanie tej własności, którą udowodniliśmy. Użyjemy jej, by uzupełnić parę miejsc w naszej tabelce transformat Laplace'a, którą prędzej czy później będziesz musiał zapamiętać, jeśli często używasz transformat Laplace'a. Pokazaliśmy, że transformata Laplace'a sin(at) jest równa -- pokazaliśmy przez dość nieprzyjemne całkowanie przez części, że jest to równe a przez s kwadrat plus a kwadrat. Użyjmy tych dwóch rzeczy, by pokazać, czemu jest równa transformata Laplace'a cosinusa (at). Czemu zatem jest równa transformata Laplace'a cosinusa at? Cóż, weźmiemy pod uwagę, że cosinus at jest pochodną pewnej funkcji, to jakiej? Prawda? Zapiszmy to z boku. Jeśli f'(t) jest równe cosinus at, czym jest potencjalne f od t? Jest oczywiście funkcją pierwotną. Możemy pominąć stałą, ponieważ musimy znać jakąkolwiek funkcję pierwotną, dla której to zachodzi. Jaka jest funkcja pierwotna cosinusa at? To 1/a sin(at). Prawda? Jeśli to jest f'(t), to to jest równe s razy transformata Laplace'a funkcji pierwotnej, 1/a sinus at minus funkcja pochodna brana w zerze. Minus 1/a sinus -- cóż, a razy zero jest równe 0. Czyli sinus zera. Zatem ten cały wyraz znika. To jest stała, prawda? To 1/a. Pokazaliśmy, że transformata Laplace'a jest operatorem liniowym. Zatem możemy to wyciągnąć. Zatem to jest równe s/a razy transformata Laplace'a sinusa at. Co jest równe s/a razy a przez s do kwadratu plus a do kwadratu. Wyrazy "a" się skracają. To jest dużo prostsze, niż całkowanie przez części którego musieliśmy użyć, by to policzyć. Otrzymujemy, że transformata Laplace'a cosinusa at jest równa s podzielone przez s kwadrat plus a kwadrat. W trzy minuty uzupełniliśmy kolejne pole w naszej tabelce transformat Laplace'a. Mamy w niej już dwie najważniejsze funkcje trygonometryczne. Pójdźmy dalej. Nie zajmowaliśmy się zbyt długo wielomianami. Wiemy kilka rzeczy. Już to robiliśmy Wiemy, że transformata Laplace'a jedynki jest równa 1/s. Zobaczmy, czy możemy użyć tego oraz faktu, że transformata Laplace'a f prim jest równa s razy transformata Laplace'a f minus f(0). Lub inaczej. Zamieńmy kolejność. Jeśli znamy f, jak możemy wyrazić transformatę Laplace'a w terminach f' oraz f(0)? Uporządkujmy to równanie. Otrzymujemy, że transformata Laplace'a f prim -- mógłbym napisać od t, ale to staje się monotonne -- plus f(0) jest równa s razy transformata Laplace'a funkcji f. Podzielmy obie strony przez s. Pozwólcie, że przestawię transformatę -- chcę również zamienić strony. Transformata Laplace'a -- moje "el" staje się dość koślawe -- transformata Laplace'a f jest równa 1/s. Dzieję obie strony przez s, więc 1/s staje się tym. Razy transformata Laplace'a funkcji pochodnej plus funkcja brana w zerze. Zastanówmy się, czy możemy tego użyć, by otrzymać kilka bardziej przydatnych transformat. Czym jest transformata Laplace'a funkcji f(t) równej t? Użyjmy tej własności. To będzie równe 1/s razy transformata Laplace'a funkcji pochodnej. Czym jest pochodna t? Pochodna t jest równa 1. Zatem to jest transformata Laplace'a 1 minus f(0). Gdy t jest równe 0, to staje się zerem. Minus zero. Zatem transformata Laplace'a t jest równa 1/s razy transformata jedynki. Czyli 1/s. Zatem 1/s kwadrat minus zero. Ciekawe. Transformatą Laplace'a 1 jest 1/s, transformatą t jest 1 przez s do kwadratu. Sprawdźmy, czym jest transformata Laplace'a t kwadrat. Zapiszę to na zielono. Może zobaczymy tutaj pewien związek. Transformata Laplace'a t kwadrat. Cóż, równa się 1/s razy transformata jej funkcji pochodnej. Czym jest pochodna? Razy transformata Laplace'a 2t plus funkcja w zerze. Czyli po prostu zero. Zatem to jest równe -- możemy wyciągnąć tę stałą. To jest równe 2/s razy transformata Laplace'a t. Czemu to jest równe? Przed chwilą to rozwiązaliśmy. 1 przez s kwadrat. Zatem 2/s razy 1 przez s kwadrat. Czyli 2 przez s do trzeciej. Niesamowite. Pozwólcie mi rozwiązać t do trzeciej. Myślę, że znajdziecie tutaj pewien model. Związek stanie się jasny. Transformata Laplace'a. To jest dość zajmujące. Polecam zrobienie tego samemu. Jest to dość satysfakcjonujące. Jest bardziej satysfakcjonujące niż całkowanie przez części. Zatem transformata Laplace'a t do trzeciej jest równa 1/s razy transformata Laplace'a jej pochodnej, czyli 3 razy t do kwadratu. Które jest -- wyciągnę stałą, ponieważ transformata to operator liniowy -- 3/s razy transformata Laplace'a t kwadrat. Czyli co? 2 przez s kwadrat. Czyli 2/s do trzeciej. Całość jest równa 3 razy 2 przez co? Przez s do czwartej. Możesz tutaj umieścić t/n i indukcyjnie dowieść ogólny wzór. Wzór ogólny to -- myślę, że już się domyślasz. Jakikolwiek jest wykładnik, transformata Laplace'a zawiera s w mianowniku z większą potęgą o jeden. Zaś w liczniku znajduje się potęga t do silni. Więc w ogólności -- to jest kolejny wpis w naszej tabelce tranformat Laplace'a -- transformata Laplace'a t do n-tej potęgi jest równa n silnia podzielone przez s do potęgi n+1. Tu jest nawias Myślę, że nie muszę pisać wszystkich nawiasów. To tylko prowadzi do pomyłek. W każdym razie, jeśli widzisz to w tabelce transformat Laplace'a, sprawia wrażenie skomplikowanego. Orany, są tu n oraz n silnia i tym podobne. Ale to tylko oznacza (zgodnie ze wzorem, który pokazaliśmy), t do trzeciej zwiększamy o 1, zatem s do czwartej, kreska ułamkowa, oraz bierzemy trzy silnia w liczniku, czyli 6, prawda? I to wszystko. Zatem, używając własności transformaty Laplace'a pochodnej, obliczyliśmy transformatę Laplace'a cosinusa at oraz dowolnego wielomianu, prawda? Ponieważ to operator liniowy. t do potęgi entej, t do dowolnej potęgi. Możemy to pomnożyć przez stałą. Znamy też transformaty prostych funkcji trygonometrycznych. Funkcji wykładniczej Wiemy jak liczyć transformaty Laplace'a wielomianów. Do zobaczenia w następnym filmie.