Transformata Laplace'a funkcji (dystrybucji) delta Diraca — film z polskimi napisami

. W poprzednim filmie przedstawiłem ci co jest prawdopodobnie najdziwniejszą funkcją, którą do tej pory spotkałeś. I to była delta Diraca. . Określiłem ją... i zajmę się jej przesuniętą wersją. Miejmy nadzieję, że jesteś już z nią przyzwoicie obyty. Więc delta Diraca z (t - c). Możemy powiedzieć, że równa się 0, kiedy t nie jest równe c, więc równa się 0 zawsze, ale tak naprawdę zmierza do nieskończoności. I musimy być z tą nieskończonością ostrożni. Zapiszę to w cudzysłowie. Zmierza do nieskończoności. Widzieliśmy nawet w poprzednich filmach, że to trochę inne stopnie nieskończoności, bo wciąż możesz pomnożyć to przez inne liczby, aby otrzymać większą deltę Diraca, kiedy t jest równe c. Ale istotniejsza od tego, i jest to w pewien sposób pseudo definicja, jest myśl, że kiedy weźmiemy całkę, kiedy weźmiemy pole pod krzywą na całej długości osi x albo t, powiedzmy, kiedy weźmiemy pole pod tą krzywą i, oczywiście, jest równe zero wszędzie oprócz, kiedy t jest równe c, kiedy weźmiemy to pole, to jest istotne, że to pole jest równe 1. . I to jest właśnie to, co miałem na myśli, mówiąc o pseudo nieskończoności, bo jeśli mam 2 razy deltę Diraca, i jeśli biorę pole pod jej krzywą, pod krzywą tych 2 delt Diraca t - c dt, to powinno być równe dwukrotności... pola tylko pod deltą Diraca razy 2 od minus nieskończoności do nieskończoności delty przesuniętej o c dt, co oznacza zaledwie dwa razy... pokazaliśmy już ci, właśnie powiedziałem, z definicji jest to 1, więc to będzie się równało 2. Więc jeśli wyjmę stąd tę 2, ta nieskończoność będzie musiała być podwójnie wysoka, więc pole jest teraz równe 2. Własnie dlatego umieszczam tę nieskończoność w nawiasach. Ale to jest ciekawa funkcja. Mówiłem o tym pod koniec poprzedniego filmu, że może pomóc modelować rzeczy, niespodziewanie ten rodzaj słoikowych rzeczy ale one dzielą stałą liczbę impulsów na coś i stałą liczbę zmian w pędzie. Zrozumiemy to nieco bardziej wkrótce. Ale sprawmy, że narzędzie matematyczne będą całkowicie zrozumiałe. I spróbujmy zrozumieć co delta Diraca robi, kiedy ją mnożymy, co robi transformaty Laplace'a, kiedy mnożymy ją przez jakąś funkcję. Powiedzmy więc, że mam moją deltę Diraca i chcę ją przesunąć. To już jest odrobinę bardziej interesujące. I, jeśli chcesz ją przesunąć z powrotem, mówisz, okej, cóż, c równa się 0. Co się dzieje, kiedy c jest równe 0? Mam zamiar przesuwać ją i mnożyć przez jakąś arbitralną funkcję f(t). Jeśli chciałbym zrozumieć transformatę Laplace'a samej tylko funkcji delta, mógłbym powiedzieć, że f(t) jest równe 1. Więc weźmy jej transformatę Laplace'a. Możemy po prostu użyć definicji transformaty Laplace'a, więc równa się polu od 0 do nieskończoności, albo moglibyśmy nazwać ją całką od 0 do nieskonczoności e do ujemnej... to tylko część definicji transformaty Laplace'a... razy tę rzecz... po prostu napiszę to w tej kolejności... razy f(t) razy nasza delta Diraca. Delta t minus c i razy dt. . Teraz, wysunę troszeczkę intuicyjną tezę. Duża część matematyki, którą się zajmujemy... w szczególności, jeśli chcesz być bardzo rygorystyczny i formalny, delta Diraca zaczyna rozbijać wiele narzędzi, co do których mogłeś nie zdawać sobie sprawy, że mogą się złamać, ale myślę, intuicyjnie wciąż możemy nimi operować. Więc rozwiążę dla ciebie tę całkę intuicyjnie i myślę, że to będzie miało pewien sens. Więc narysujmy to. Pozwól mi narysować co próbujemy zrobić. Więc pozwól mi narysować z czego próbujemy uzyskać całkę. I interesuje nas tylko przedział od zera do nieskończoności, więc zrobię to tylko od zera do nieskończoności. I założę, że c jest większe od zera, że funkcja delta zmierza do którejś z dodatnich wartości osi t. Więc jak będzie wyglądać pierwsza część? Jak będzie wyglądać? e do ujemnej st razy f(t)? Nie wiem. To będzie jakaś funkcja. e do ujemnej st zaczyna się w jedynce i maleje, ale mnożymy ją przez jakąś funkcję arbitralną, więc po prostu narysuję to tak. Może wygląda trochę jak to. T prawa tu to e do minus st razy f(t). I f(t) jest tym, co daje ten arbitralny kształt. Wystarczająco zrozumiałe. Teraz przełóżmy naszą deltę Diraca na wykres. Z zerami wszędzie prócz dokładnie c, dokładnie c dokładnie tu, zmierza nieskończenie wysoko, ale my narysowaliśmy tylko strzałkę o wysokości 1, żeby pokazać, że jej pole jest 1. To znaczy - normalnie, kiedy przekładasz rzeczy na wykres, nie rysujesz strzałek, ale ta strzałka pokazuje, że pole pod tą nieskończenie wysoką rzeczą jest 1. Więc robimy tu 1. Więc, jeśli pomnożymy to, interesuje nas pole pod tym wszystkim. Kiedy mnożymy te dwie funkcje, kiedy mnożymy to razy to razy funkcja delta, to jest.. pozwól mi to zapisać. To jest delta funkcji przesuniętej do c. Jeśli pomnożę to razy to, co otrzymam? Tutaj mamy tę kluczową intuicję. Pozwól mi narysować moje osie jeszcze raz. Zobaczmy czy potrafię to zrobić nieco prościej. Nie osądzaj mnie po prostości moich osi. A więc to jest t. Więc co się dzieje, kiedy pomnożę te dwie? Wszędzie, gdzie t jest równe czemukolwiek innemu niż c, delta Diraca jest równa zero. Więc mamy zero razy cokolwiek. Nie interesuje mnie do czego zmierza tan funkcja, to będzie zero. Więc to będzie zero wszędzie, oprócz czegoś interesującego: w t jest równa c. Jaka jest wartość funkcji w t równym c? Cóż, to będzie wartość delty Diraca. To będzie delta Diraca razy jakakolwiek jest ta wysokość. To będzie ten punkt tutaj albo ten tu, ten punkt. To będzie ta funkcja oszacowana w c. Zaznaczę to tu na osi y albo f(t), jakkolwiek chcesz ją nazwać. To będzie e do minus sc razy f(c). Wszystko, co robię, to szacowanie tej funkcji w c, i to jest właśnie ten punkt tu. Więc, jeśli weźmiesz ten punkt, który jest pewną liczbą to może być 5, 5 razy to, dostajesz po prostu 5 razy deltę Diraca. Albo w tym przypadku, to nie jest 5. To nieco bardziej abstrakcyjna sprawa. Mógłbym to po prostu narysować tak. Kiedy mnożę to razy moją małą funkcję delta proszę, otrzymuję to. Wysokość to funkcja delta, ale teraz jest wyskalowana. Teraz jest wyskalowana, więc teraz moja nowa rzecz będzie wyglądała tak. Jeśli po prostu pomnożę to razy to, w zasadzie dostaję e do minus sc razy f(c). To może wyglądać jak jakaś fantazyjna funkcja, ale to po prostu numer, kiedy rozważymy to pod względem t. s staje się czymś, kiedy wchodzimy w świat Laplace'a, ale z tego punktu widzenia jest tylko stałą. Wszystko to, to tylko stałe, więc to może równie dobrze być 5. Więc to ta stała razy moja delta Diraca razy delta z (t-c). Kiedy pomnożę to razy to, to wszystko, co mi zostanie to będzie ta rzecz. I ta wysokość wciąż będzie nieskończenie wysoka, ale jest nieskończenie wysoko wyskalowana w taki sposób, że to pole nie będzie 1. I pokaże ci to. Więc, jaka będzie całka z tego? Biorąc całkę z tego od minus nieskończoności do nieskończoności, od kiedy to jest tym, powinno nam wyjść to samo, co kiedy weźmiemy całkę z tego od minus nieskończoności do nieskończoności. Więc zróbmy to. W zasadzie nie musimy tego robić od minus nieskończoności. Mówiłem od zera do nieskończoności. Więc, jeśli weźmiemy od zera do nieskończoności, to mówię, że wzięcie tej całki jest równoważne wzięciu tej całki. Więc e do minus sc f(c) razy moja funkcja delta (t - c) dt. Teraz, to tutaj, pozwól mi to wytłumaczyć, twierdzę, że to jest równe temu. Ponieważ wszędzie indziej ta funkcja delta zeruje tę funkcję, więc interesuje nas ta funkcja albo e do minus st f(t) tylko, kiedy jest równa c. I właśnie dlatego możemy zamienić to w stałą. Ale, od kiedy to jest stała, możemy wyciągnąć ją z całki i teraz to jest równe... cofnę się tu tylko, żeby trochę zachować przestrzeń i nadal pozwalać ci patrzeć na to. Jeśli wyciągniemy stałe z całki, otrzymamy e do minus sc razy f(c) razy całka od zera do nieskończoności z f(t - c) dt. O, przepraszam, nie f(t - c). . To nie jest f. Muszę być bardzo uważny. To jest delta. Zróbmy to innym kolorem. Wyciągnąłem stałe tu i to będzie delta (t - c) dt. . Niech wezmę dobry kolor. . Teraz, co to jest z definicji? To jest 1. To znaczy, możemy to przedstawić od minus nieskończoności do nieskończoności, to nie ma znaczenia. Jedyny raz, kiedy to miało jakiekolwiek pole, to dokładnie pod c. Więc to jest równe 1. Więc cała całka tutaj została zredukowana do tego tutaj, ponieważ to jest po prostu równe 1. Więc, transformata Laplace'a z przesuniętej funkcji delta razy inna funkcja jest równa e do minus sc razy f(c). Pozwól mi zapisać to ponownie tutaj. Niech zapiszę to wszystko naraz. Więc, transformata Laplace'a z przesuniętej funkcji delta (t - c) razy jakaś funkcja f(t) jest równa e do minus c. W zasadzie, my tylko szacujemy e do minus st oszacowane w c. Więc e to minus sc razy f(c). W gruncie rzeczy my tylko szacujemy te rzeczy w c. Temu właśnie jest to równe. Więc stąd możemy dostać wiele ciekawych rzeczy. Czym jest transformata Laplace'a... tak naprawdę transformata Laplace'a z najprostszej funkcji delta? Cóż, w tym przypadku mamy c równe 0 i f(t) równe 1. To tylko stała. Więc, jeśli to zrobimy, wtedy transformata Laplace'a z tego to będzie po prostu e do minus 0 razy s razy 1, co jest równe 1. Więc transformata Laplace'a z naszej funkcji jest równa 1, co jest naprawdę ładnym rozwiązaniem. I wtedy, jeśli chcielibyśmy po prostu zrozumieć transformatę Laplace'a z naszej przesuniętej funkcji, transformata Laplace'a z naszej przesuniętej funkcji delta, to po prostu wyjątkowy przypadek, kiedy f(t) jest równe 1. . Możemy napisać to razy 1, kiedy f(t) jest równe 1. Więc, to będzie równe e do minus cs razy f(c), ale f jest tylko stałą, f jest tu po prostu 1. Więc to razy jeden albo to jest po prostu e do minus cs. Więc, tak po prostu, używając wizualnego szacowania całki, byliśmy w stanie otrzymać transformatę Laplace'a dla kilku różnych sytuacji, wliczając deltę Diraca. W każdym razie, mam nadzieję, że wydało ci się to całkiem przydatne.