Transformata Laplace'a funkcji theta (funkcji schodkowej) — film z polskimi napisami

- Celem nauki równań różniczkowych jest możliwość użycia ich w modelowaniu rzeczywistych układów fizycznych. Wiem, że wszystko co zrobiliśmy do tej pory jest tak naprawdę narzędziem służącym do ich rozwiązywania, ale robimy to dlatego, że równania różniczkowe mogą służyć do opisu dużej ilości układów fizycznych i możemy je w ten sposób modelować. Wiemy, że w rzeczywistości nie wszystko wygląda jak piękne, ciągłe funkcje, dlatego przez następne kilka filmików będziemy rozmawiać o funkcjach, które są troszeczkę bardziej nieciągłe niż to do czego przyzwyczailiśmy się do tej pory i co mogliśmy zobaczyć na zajęciach z analizy lub wcześniej. Pierwszą z nich jest skok jednostkowy. Oznaczmy ją jako "u" z subskryptem "c". Jest to funkcja czasu u_c(t). Jest ona zdefiniowana w następujący sposób: Przyjmuje wartość zero gdy t jest mniejsze od c, Przyjmuje wartość zero gdy t jest mniejsze od c, i 1 gdy t jest większe lub równe od c. i 1 gdy t jest większe lub równe c. Nie jest to zbyt trudne do narysowania. Sam też możesz to zrobić. Narysujmy tutaj oś X. Zrobię grubszą linię. To jest moją oś X. I tutaj oś Y. Kiedy rozważamy transformatę Laplace'a, o której będziemy mówili wkrótce interesuje nas tylko t > 0. Zobaczymy, że w naszej definicji transformaty Laplace'a zawsze bierzemy całkę od zera do nieskończoności, tak, że mamy do czynienia tylko z dodatnią częścią osi X. W każdym razie, z definicji wynika, że będzie to zero dopóki nie dotrzemy do wartości "c". dopóki nie dotrzemy do wartości "c". Wtedy w punkcie "c" skaczemy. Wtedy w punkcie "c" skaczemy. Skoro jest punkt "c" jest dołączony, postawię tutaj kropkę, ponieważ jest większy lub równy "c". Jesteśmy w 1 więc jeden, jest dokładnie tutaj. Dalej mamy cały czas jeden. Możesz zapytać czy tego rodzaju funkcję można zastosować do modelowania. W rzeczywistości czasami masz coś co wstrząsa czymś powodując przesunięcie z pozycji pierwotnej do końcowej. Oczywiście nic nie może poruszyć się natychmiastowo, ale możesz mieć jakiś układ, elektryczny lub mechaniczny, którego zachowanie może przypominać coś takiego. może przypominać coś takiego. Ta funkcja jest całkiem dobrą analityczną aproksmacją dla jakiś rzeczywistych zachowań, czegoś co po prostu zostało przesunięte. Zawsze kiedy rozwiązujemy równania różniczkowe analitycznie, tak naprawdę próbujemy dostać czysty model czegoś. W końcu zobaczymy, że to nie opisuje dokładnie układów, ale pomaga opisać wystarczająco dokładnie żeby rozumieć co dzieje się w układzie. Zdarza się jednak, że uda się opisać układ całkowicie. Możemy na razie to zignorować, więc pozbędę się tych rzeczy tutaj. Możemy na razie to zignorować, więc pozbędę się tych rzeczy tutaj. Pierwszym pytaniem jest: Co jeśli coś nie zachowuje się jak to? Co jeśli chciałbym skonstruować bardziej wyszukane funkcje skokowe? Powiedzmy, że chciałbym coś co wygląda następująco. Powiedzmy, że to jest moja oś Y. To jest moja oś X. Powiedzmy, że chciałbym skonstruować coś co jest Zmieńmy kolor... Powiedzmy, że jest równe 2 dopóki nie dojdziemy do pi Powiedzmy, że jest równe 2 dopóki nie dojdziemy do pi i od pi do nieskończoności jest zerem. Jak mógłbym skonstruować tą funkcję używając moich funkcji skokowych? Moja funkcja skokowa zaczyna się w zerze. Jeśli napiszę 2 minus funkcja skokowa, zaczynająca się w pi? Jeśli napiszę 2 minus funkcja skokowa, zaczynająca się w pi? Czy definicja będzie poprawna? Ta funkcja skokowa, kiedy przejdziemy przez pi będzie równa 1, ale my chcemy żeby te wyrażenie było równe zero, więc to musi być 2 minus 2, więc funkcja musi mieć 2 tutaj. I to powinno zadziałać. Kiedy jesteśmy w jakiejkolwiek wartości mniejszej niż pi tutaj, to staje się zerem, więc nasza funkcja będzie po prostu równa 2, co jest poprawne, ale jak tylko dojdziemy do pi, które jest równe c w tym przypadku funkcja stanie się jedynką. Pomnożymy to przez 2 i dostaniemy 2 minus 2 i wtedy skończymy z zerem. Możemy na tym zakończyć, ale powiedzmy, że chcemy wrócić z powrotem do góry. Powiedzmy, że zamiast iść w ten sposób... Narysujmy oś X jeszcze raz. Chcemy aby funkcja skoczyła do góry. skoczyła do góry. Powiedzmy dla jakiegoś wartości, niech to będzie dla 2pi funkcja skacze znowu do góry. Jak możemy to osiągnąć? Możemy skoczyć do dowolnej wartości, ale wybierzmy skok z powrotem do 2. Można dodać kolejną funkcję skoku jednostkowego taką która będzie maiła zero tak długo jak nie dotrze do tego punktu. W 2pi skacze, więc w tym przypadku nasze c będzie równe 2pi. To jest nasza funkcja skokowa, ale my chcemy skoczyć do 2. To samoistnie skoczy tylko do 1, więc pomnóżmy to przez 2. I otrzymaliśmy naszą funkcję. Możesz sobie wyobrazić, że można otrzymać dowolnie skomplikowaną funkcję składająca się ze skoków w górę i w dół o różne wielkości zależnie od kombinacji liniowych funkcji skoków jednostkowych. Co jeśli teraz chciałbym zrobić coś bardziej wyszukanego? Powiedzmy, że chciałbym dostać funkcje, które wyglądają następująco dostać funkcje, które wyglądają następująco Powinienem narysować prościej niż teraz. Powinienem mieć jakieś standardy. Przypuśćmy, że to jest po prostu zwykła funkcja czasu. To jest oś X. Właściwie dlaczego piszę X? T jest oś t. Jesteśmy w dziedzinie czasu. To mogło by być x ale ... i wtedy nazywamy to f od t. Pozwólcie, że narysuję dowolną funkcję f(t). Powiedzmy, że moja funkcja wygląda tak dziwnie jak to. To jest moje f(t). Co jeśli modeluję układ fizyczny, który nie robi tego. który w pewnym punkcie zostaje w zerze. Zostaje w zerze dopóki nie osiągnie jakiejś wartości. Powiedzmy, że zbiega do zera dopóki... Nie wiem, nazwę to znowu "c". I w c, f(t) w jakimś sensie rozpoczyna się. Więc dokładnie w c, f(t) powinna rozpocząć się, coś jak to. To co mamy tutaj jest przesuniętą funkcją f(t). W punkcie c mamy przesuniętą funkcję f(t) . Jak więc możemy zbudować tą żółtą funkcję, która jest właściwie przesuniętą zieloną funkcją, ale ma zero poniżej c. Zielona funkcja może mieć kontynuacje. Może przebiegać jak to. Może kontynuować i robić dziwne rzeczy. To co zrobiliśmy to przesuneliśmy ją stąd, tutaj zerując wszystko poniżej przez c. Więc jak możemy to zrobić? Przesuwania funkcji nauczyliśmy się na Algebrze II lub na zajęciach przed analizą. Żeby przesunąć funkcję o c w prawo musimy zamienić nasze t na t minus c. Stąd nasza funkcja tutaj jest f(t-c). Żeby upewnić się czy zrobiłem to dobrze, zawsze wyobrażam sobie co dzieje się w t równym c. Kiedy t jest równe c, mamy c minus c i dostajemy zero. f od zera powinno być takie samo. Kiedy t jest równe c, ta wartość wartość funkcji powinna być równoważna wartości, oryginalnej zielonej funkcji w zerze więc to jest równoważnie tej wartości, co ma sens. Jeżeli pójdziemy ponad c, powiedzmy o jeden więcej ponad c dotrzemy do tego punktu. Jeżeli t jest c plus 1, wtedy jeżeli położymy c plus 1 minus c, dostaniemy f od 1 i f od 1 jest punktem dokładnie tutaj. I to będzie te f od 1, więc to ma sens. Skoro przesuniemy się o jeden tutaj, jesteśmy w tej samej wartości funkcji w jakiej bylibyśmy tam, więc przesunięcie działa. Powiedziałem, że musimy również... Jeżeli po prostu przesunę tą funkcję powinniśmy dostać wszystkie inne wartości, ponieważ mieliśmy je kiedy funkcja była nie przesunięta tutaj wcześniej. Funkcja-- Narysuję to delikatnie.-- będzie ciągle. Powiedziałem jednak, że chciałbym wyzerować tą funkcję, przed osiągnięciem c. Jak więc mógłbym ją wyzerować? Wydaje mi się, że jest to całkiem oczywiste dla Ciebie. Zacząłem ten film od funkcji skoku jednostkowego. Co jeśli pomnożę funkcję skoku jednostkowego przez tą rzecz. Co się stanie? Moja nowa funkcja, nazwę ją skokiem jednostkowym do c od t razy f od t minus c? Co się stanie? Zanim dojdziemy do c, funkcja skoku jednostkowego jest zerem kiedy to jest mniejsze niż c. Będziemy mieli zero razy cokolwiek, co ostatecznie da zero, więc ta funkcja będzie wynosić zero. Kiedy dojdziemy do c, to stanie się równe 1 i dostaniemy 1 razy nasza funkcja. nasza funkcja. Więc nasza funkcja może zachowywać się jakby zachowywała się gdyby była przesunięta. T minus c jest właśnie przesuniętą na prawo zieloną funkcją. Będzie to bardzo pomocna funkcja. Będzie to bardzo pomocna funkcja. Drugim korkiem będzie znalezienie transformaty Laplace'a tej funkcji. Zobaczymy wtedy, dlaczego ta funkcja jest taka użyteczna. Teraz rozumiesz przynajmniej co to jest i dlaczego to właściwie przesuwa funkcję i zeruje wszystko przed tym punktem. Wiesz już, że jest to użyteczna funkcja dlatego powinniśmy dodać jej transformatę Laplace'a do naszej biblioteki transformat Laplace'a. Zróbmy to więc. Policzmy transformatę Laplace'a funkcji skoku jednostkowego. u_c(t) Robię to całkiem ogólnie. W następnym filmiku zrobimy trochę przykładów do których możemy to zastosować, ale powinniśmy udowodnić, że transformata Laplace'a tej rzeczy istnieje. Transformata Laplace'a jest całką od zera do nieskończoności z naszej funkcji razy e do -s*t. Naszą funkcja w tym przypadku jest skok jednostkowy w punkcie c razy f od t minus c. Całka wydaje się być bardzo ogólna i trudna, do obliczenia, ale możemy spróbować coś podstawić, żeby otrzymać coś prostszego. Zróbmy więc podstawienie tutaj. Weźmy ładną zmienną żeby z nią pracować. Nigdzie nie używay x. Użyjmy go więc tutaj. Jest to najfajniejsza zmienna do pracy. Dużo razy zobaczysz, na zajęciach z matematyki, że będą wprowadzać różne dziwne łacińskie znaki, które same z siebie czynią problem trudniejszy do zrozumienia. Chciałbym więc uniknąć użycia tych szalonych liter. Zostaniemy więc przy zwykłym x. Zróbmy podstawienie. Powiedzmy, że x jest równe t minus c. Jeśli dodamy x do dwóch stron, możemy powiedzieć, że t jest równe x plus c. Sprawdźmy co stanie się z naszym podstawieniem. Jeśli weźmiemy różniczkę dwóch stron tego dostaniemy, że dx jest równe dt. To znaczy, że jeżeli weźmiemy pochodną dx/dt otrzymamy jeden. c jest po prosu stałą. Następnie jeśli pomnożymy obie strony przez dx, dostaniemy dx jest równe dt. To jest ładne podstawienie. Jak więc będzie wyglądała nasza całka po podstawieniu? W naszej całce było t od 0 do nieskończoności. Kiedy t jest równe 0, jakie będzie x? x będzie t minus c. Zanim przejdę dalej, zróbmy krok w tył. Zanim przejdę dalej, zróbmy krok w tył. Możemy pójść w tym kierunku. Możemy uprościć trochę sprawę zanim to zrobimy. Wróćmy do pierwotnej całki zanim zrobimy podstawienie. całki zanim zrobimy podstawienie. Całkujemy od 0 do nieskończoności tą funkcje. Właśnie powiedzieliśmy jak ta całka wygląda lub raczej jak wygląda ta funkcja. Jest zerem. Nasza funkcja skokowa znajduje się tutaj. Nasza funkcja skokowa znajduje się tutaj. Dlatego całe wyrażenie będzie zerem dopóki nie dojdziemy do c. Całe wyrażenie, z definicji, funkcja jednostkowa jest zerem zanim dotrzemy do c. Dlatego wszystko tutaj będzie wyzerowane. zanim dojdziemy do c. Właściwie moglibyśmy powiedzieć, że nie chcemy brać całki od zero do nieskończonośći. Możemy wziąć całkę... Napiszę to tutaj. To jest nasz znany symbol całki. Możemy po prostu wziąć całkę od t równe c do t równe nieskończoność z e do minus s*t razy skok jednostkowy od t razy f od t minus c, dt. W tym momencie możemy teraz pozbyć się skoku jednostkowego, który nie daje żadnego wkładu, dlatego, że przed t równym c, skok jednostkowy jest równy zero. Interesują nas teraz tylko wartości większe niż c. Skok jednostkowy jest wtedy równy jeden. Chciałbym żebyś dobrze zrozumiał, co ja tu zrobiłem. Zmieniłem dolną granicę z zera do c. Sądzę, że rozumiesz dlaczego to zrobiłem. Uprości to rzeczy, które będziemy następnie robić. Uprości to rzeczy, które będziemy następnie robić. Skok jednostkowy wyzeruje nam całą całkę zanim dojdziemy do c. Pamiętaj, tak zdefiniowana całka jest polem pod krzywą całej tej funkcji. Skok jednostkowy razy reszta. Całość będzie wynosić zero zanim osiągniemy wartość c. Powyżej c, to będzie e do minus s*t razy f od t minus c. Zacznie więc robić wszystkie dziwne rzeczy. Jeśli chcemy znaleźć pole pod tą krzywą możemy zignorować to co dzieje się przed c. Zamiast iść od zera do nieskończoności, możemy iść od c do nieskończoności, ponieważ nie było żadnego wkładu do pola przed t równym c. To wszystko co tutaj zrobiłem. Kolejną rzeczą którą powiedziałem jest to, że funkcja skoku jednostkowego będzie jedynką dla całego zakresu wartości t, dlatego możemy ją po prostu zignorować. Będzie równa jeden cały czas więc nasza całka uprości się do całki od c do t z e do minus s*t razy f od t minus c. dt To mocno uprości sprawę. Próbowałem pójść inną drogą najpierw podstawiając, co podziałało, ale argumentacja dlaczego mogłem zmienić granice był trudniejszy do wyjaśnienia. Wróćmy teraz do podstawienia x za t minus c. Wróćmy teraz do podstawienia x za t minus c. Nasza całka będzie wyglądać... Napiszę to na zielono... kiedy jest równa c jakie jest x? Wtedy x jest równe 0, prawda? C minus c jest 0. Dla t równe nieskończoności, jakie jest x? Nieskończoność minus jakakolwiek stała jest nadal nieskończonością. Inaczej, granica z x od t dla t dążącego do nieskończoności jest nieskończona. To jest całka z e do minus s*t, ale zamiast t mamy podstawnienie Powiedzieliśmy, że x jest równe t minus c, dlatego możemy po postu dodać do dwóch stron c. Dostaniemy, że t jest równe x plus c. Dostaniemy więc x plus c tutaj przemnożone przez funkcję f od t minus x, ale powiedzieliśmy, że t minus c jest tym samym co x. dt jest równe dx. Pokazałem tobie to tutaj, więc możemy to napisać jako dx. Teraz zaczyna wyglądać to interesująco. Czemu jest to równe? To jest równe całce od zero do nieskończoności z e do minus sx minus sc razy f od x, dx. Czemu to jest równe? Możemy wyciągnąć przed całkę e do minus s*c ponieważ nie zawiera zmiennej po której całkujemy. Zróbmy to! Niech to wyciągnę na zewnątrz, żeby nie wprowadzać ciebie w błąd, przepiszę wszystko. ...od zera do nieskończoności... Mógłbym przepisać wyraz z e jako e... właściwie pozwólcie, że napiszę to w ten sposób. Napiszę to na zielono jako e do minus s*x razy e do minus s*c. razy e do minus s*c. Jeśli chciałbym pomnożyć te dwa, mógłbym po prostu dodać wykładniki, które mamy wyżej. Razy f od x, dx. To jest stały wyraz względem x, więc możemy do wyłączyć przed całkę. Możemy po prostu wyłączyć tą rzecz tutaj, wtedy dostaniemy e do minus s*c razy całka od zera do nieskończoności z e do minus s*x razy f od x, dx. Co mu tutaj robimy cały czas? Bierzemy transformatę Laplace'a funkcji skonu jednostkowego, która od zera do c wynosi zero i dalej jest równa jeden razy jakaś przesunięta funkcja f od t minus c. Dostaliśmy, że to jest równe tej rzeczy i zrobiliśmy podstawienie. Uprośćmy to trochę. e do minus sc razy całka od 0 do nieskończoności z e do minus s*x razy f od x, dx. Mój tablet nie działa najlepiej w tym czasie. To powinno ciebie zaciekawić. Co to jest? To jest transformata Laplace'a z f od x !! Zapiszę to. Czy będzie transformata Laplace'a z... napiszę to jako f od t lub f od x. Transformata Laplace'a z f od t jest równa całce od zera do nieskończoności z e do minus s*t razy f od t, dt. Te rzeczy są takie same. Po prostu tutaj używamy t. Tutaj używamy x. Bez różnicy. To po prostu litery. To jest f od t. e do minus s*t razy f od f, dt. Mógłbym to również napisać jako transformata Laplace'a z f od t. Mógłbym napisać to jako całka od 0 do nieskończoności z e do minus s*y razy f od y, dy. Mógłbym tu użyć cokolwiek, ponieważ to jest całka oznaczona. Igreki znikną Widzieliśmy to. Wszystko z czym zostaniemy to funkcje od s. To kończy jako jakaś duża funkcja od s. Możemy napisać dużą literą funkcji od s. To jest interesujące. To jest transformata Laplace'a z f od t razy jakiś czynnik skalujący. I to jest to co chcieliśmy pokazać. Teraz możemy pokazać, że transformata Laplace'a funkcji skoku jednostkowego razy jakaś funkcja od t minus c jest równe funkcji tej tutaj, e do minus s*c, gdzie c jest tym samym c tutaj, razy transformata Laplace'a z f od t. ...razy transformata Laplace'a ... Nie wiem co się dzieje z tabletem.. z f od t. Zapiszę to. To jest równe... e do minus S*c razy transformata Laplace'a z f od t. To jest nasz wynik. Co to oznacza? Co to oznacza? Co to oznacza? Co możemy z tym zrobić? Powiedzmy, że chcielibyśmy znaleźć transformate Laplace'a funkcji skoku jednostkowego, która zaczyna się z pi. Weźmy coś co znamy dobrze: sinus od t minus pi Przesunęliśmy go, prawda? Ta rzecz nie działa zbyt dobrze tutaj. Zrobię pałzę. Właśnie ją zrobiłem. Przepraszam jeśli było to zbyt odrywające. Wyłączyłem nagranie ponieważ ma problemy z nagraniem w pewnym punkcie mojej tablicy. Przepiszę wynik, który przed chwilą udowodniliśmy. Pokazaliśmy, że transformata Laplace'a funkcji skoku jednostkowego od t przyjmuje wartość jeden w jakimś czasie równym c. funkcja, która jest przesunięta o c w prawo. To jest równe e do minus c*s razy transformata Laplace'a funkcji nie przesuniętej. To był nasz wynik. To było wielkie osiągniecie z tej lekcji. Wydaje się że to jest coś trudnego do zrozumienia. Możemy to zastosować. Powiedzmy, że transformata Laplace'a... to jest to co zacząłem robić przed tym jak tablet zaczął szwankować. Chcieliśmy obliczyć transformatę Laplace'a funkcji skoku jednostkowego. Funkcji, która przyjmuje wartość jeden w pi razy sinus przesunięty o pi w prawo. Wiemy, że to będzie równe e do minus c*s. c jest równe pi w tym przypadku, więc s razy transformata Laplace'a nie przesuniętej funkcji. W tym przypadku to jest transformata Laplace'a sinusa od t. Wiemy jak wygląda transformata sinusa od t. To jest po prostu jeden nad s kwadrat plus jeden. Stąd transformata Laplace'a tej rzeczy, która wydawała się czymś szalonym wcześniej jest tym razy to. Jest to e do minus pi*s razy to lub możemy po prostu napisać to jako e do minus pi*s nad s kwadrat plus 1 Zrobimy więcej przykładów tego w następnym wideo, gdzie będziemy przechodzić pomiędzy dziedziną t a dziedziną s. dziedziną t a dziedziną s. Zobaczysz, że to jest bardzo użyteczny wynik do znajdowania mnóstwa transformat Laplace'a.