Zespolone pierwiastki dla charakterystycznych równań 1 — film z polskimi napisami

. Jak już zobaczyliśmy w poprzednich filmach, jeśli mamy liniowe, jednorodne równanie różniczkowe o stałych współczynnikach postaci A razy druga pochodna y, dodać B razy pierwsza pochodna y, dodać C razy funkcja y (lub inaczej zerowa pochodna y), równe 0. Wówczas równanie charakterystyczne tego równania różniczkowego jest postaci A razy r do kwadratu, dodać B razy r dodać C, równa się 0. Jeśli wszystkie rozwiązania tego równania są rzeczywiste, powiedzmy, że mamy dwa rzeczywiste rozwiązania... Zapiszmy to. Jedna z możliwości jest taka, że mamy dwa rozwiązania rzeczywiste- r1 oraz r2. Wówczas znamy rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego. Jeśli tego nie pamiętacie lub nie czujecie się z tym oswojeni, obejrzyjcie jeszcze raz poprzednie filmy. W każdym razie rozwiązaniem ogólnym będzie y równe: stała c1 razy e do potęgi r1 razy x, dodać inna stała c2 razy e do potęgi r2 razy x. Robiliśmy to już w kilku poprzednich filmach, rozwiązaliśmy też kilka przykładów. Zastanówmy się teraz, co się stanie, jeśli równanie charakterystyczne nie będzie miało pierwiastków rzeczywistych, a jedynie zespolone? Przypomnijmy sobie szybko, co to znaczy. Jeśli chcemy znaleźć pierwiastki tego równania, ale jesteśmy na tyle leniwi, że chcemy zrobić to nie wymyślając, jak rozbić to równanie na iloczyn nawiasów, korzystamy z tego, że jest to równanie kwadratowe. Wiemy, że pierwiastkami tego równania charakterystycznego są liczby -B plus/minus pierwiastek z B do kwadratu odjąć 4AC. . Wszystko to dzielimy przez 2A. Co więc mamy na myśli mówiąc o pierwiastkach zespolonych? Jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC jest liczbą ujemną, to będziemy mieli pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Będzie to więc liczba urojona, a całe wyrażenie będzie liczbą zespoloną. Będziemy mieć część rzeczywistą i część urojoną. Te dwa pierwiastki będą oczywiście sprzężone ze sobą. Możemy to zapisać używając części rzeczywistej i urojonej. Pierwiastki równania będą równe -B przez 2A, plus/minus pierwiastek z B do kwadratu odjąć 4AC, podzielić przez 2A. Jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC jest ujemne, to będzie liczba urojona. Zastanówmy się, jak w naszym przypadku będą wyglądały pierwiastki. Wróćmy do samego początku. Pierwiastkami naszego równania nie będą liczby rzeczywiste. Pierwiastki możemy natomiast zapisać jako dwie sprzężone ze sobą liczby zespolone. . Tym razem mamy więc dwa zespolone pierwiastki, które będą postaci: pewna liczba rzeczywista lambda, Często zamiast lambdy używa się litery mi, ale to naprawdę nie ma znaczenia. A więc lambda, plus/minus pewna liczba urojona. Nazwijmy ją mi. Nie staram się być oryginalny, takich oznaczeń używa się w książkach o równaniach różniczkowych. A więc mi razy i. To są pierwiastki zespolone naszego równania. Są sprzężone, bo raz dodajemy mi razy i, a raz odejmujemy. Takie będą te dwa pierwiastki, jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC jest ujemne. Co się stanie, jeśli te dwa pierwiastki wstawimy do rozwiązania ogólnego naszego równania różniczkowego? Jak już wiemy, rozwiązanie ogólne będzie postaci: y równa się stała c1 razy e do potęgi lambda dodać mi razy i, wszystko to mnożymy przez x, dodać stała c2 razy e do potęgi lambda odjąć mi razy i, wszystko przemnożone przez x. Sprawdźmy, czy uda nam się jakoś to uprościć. Zobaczmy, co możemy zrobić z tym wyrażeniem. Pomnóżmy nawiasy w wykładnikach przez x. Nic trudnego. . A więc y jest równe c1 razy e do potęgi lambda razy x, dodać mi razy x razy i. Dodajemy teraz c2 razy e do potęgi lambda razy x, odjąć mi razy x razy i. Po prostu pomnożyliśmy przez x. Co dalej? Ponieważ mamy dodawanie w wykładniku, to nasze wyrażenie jest równe: c1 razy e do potęgi lambda razy x, razy e do potęgi mi razy x razy i, zgadzacie się? Jeśli mnożymy dwa wyrażenia o tej samej podstawie potęgi, możemy po prostu dodać wykładniki. Dodać c2 razy e do potęgi lambda razy x, razy e do potęgi minus mi razy x razy i. W obu tych wyrażeniach występuje e do potęgi lambda razy x, więc możemy je wyłączyć przed nawias. Więc nasze wyrażenie będzie równe: e do potęgi lambda razy x, mnożymy to przez c1 razy e do potęgi mi razy x razy i, dodać c2 razy e do potęgi minus mi razy x razy i. Co teraz możemy zrobić? Tu dopiero zaczyna się zabawa. Jeśli oglądaliście filmy o rachunku różniczkowym i całkowym, w szczególności te, gdzie omawialiśmy rozwijanie funkcji w szereg, pamiętacie zapewne, że doszliśmy do czegoś, co moim zdaniem jest najbardziej niesamowitą rzeczą w rachunku różniczkowym i całkowym, a może nawet w całej matematyce. Mam nadzieję, że docenicie, jak przydatne to się zaraz okaże. Mamy tu dwa wyrażenia, w których występuje coś razy e do potęgi coś razy i. Wcześniej poznalilśmy już wzór Eulera. Co to takiego? Zapiszę to na fioletowo. e do potęgi i razy x jest równe cosinus x dodać i razy sinus x. Niesamowite jest to, że jeśli podstawimy pi zamiast x, to otrzymamy, że e do potęgi i razy pi jest równe -1. To dlatego, że sinus pi jest równy 0. To mi się wydaje naprawdę niesamowite. Możemy też zapisać, że e do potęgi i razy 2pi równa się 1. To też jest fantastyczne. W jednym równaniu mamy wszystkie najważniejsze liczby w matematyce. To naprawdę wspaniałe, ale wróćmy na ziemię i zastosujmy ten wzór w praktyce. Zobaczmy, czy możemy użyć tego wzoru, aby uprościć nasze wyrażenie. Ta definicja jest bardzo ważna i sensowna, jeśli na przykład rozwijamy w szereg potęgowy, czy szereg Maclaurina funkcję e do potęgi i razy x, to rzeczywiście wygląda jak rozwinięcie cosinus x dodać i razy rozwinięcie sinus x. Jednak nie będziemy się w to teraz zagłębiać. Jest to w sześciu czy siedmiu innych filmach. Użyjmy tego wzoru, by uprościć nasze wyrażenie. Zapiszmy je jako: y równa się e do potęgi lambda razy x, mnożone przez c1 razy... Mamy tu mi razy x razy i, więc do wzoru zamiast x wstawiamy mi razy x. piszemy, że jest to równe cosinus mi razy x, dodać i razy sinus mi razy x. Dodajemy c2 razy cosinus minus mi razy x, dodać i razy sinus minus mi razy x. Sprawdźmy, czy możemy to bardziej uprościć. Wymnóżmy nawiasy przez stałe c1 i c2. Chociaż niestety kończy nam się czas. Dokończymy to w następnym filmie. Do zobaczenia wkrótce! .