If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:10:12

Transkrypcja filmu video

. Rozwiążemy kilka przykładów, w których pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone. Najpierw zrobimy małe powtórzenie. Zapiszmy w rogu rzeczy, które nam się przydadzą. Wiemy już, że jeśli pierwiastkami równania charakterystycznego są: r równa się lambda plus/minus mi razy i, to rozwiązanie ogólne naszego równania różniczkowego wynosi y równa się e do potęgi lambda razy x, mnożone przez: pewna stała c1 razy cosinus mi razy x, dodać c2 razy sinus mi razy x. Zróbmy więc kilka przykładów. Zacznijmy od następującego równania różniczkowego: druga pochodna y, dodać 4 razy pierwsza pochodna y, dodać 5y, równe 0. Mamy też dane warunki początkowe. Niech y w punkcie 0 będzie równe 1, a y' w punkcie 0 będzie równe 0. Będziemy więc w stanie znaleźć rozwiązanie szczególne tego równania różniczkowego. Zapiszmy równanie charakterystyczne. Mamy: r do kwadratu, dodać 4r, dodać 5, równe 0. Skorzystajmy ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego. Pierwiastki będą następujące: minus B, czyli w naszym przypadku -4, plus/minus pierwiastek kwadratowy z B do kwadratu, czyli 16, odjąć 4AC, czyli 4 razy 1 razy 5. To wszystko dzielimy przez 2A, czyli przez 2 razy 1. Można to uprościć. r jest równe: -4 plus/minus pierwiastek z, ponieważ 4 razy 1 razy 5 równa się 20, pierwiastek z 16 odjąć 20, czyli z -4. To wszystko dzielimy przez 2. To z kolei jest równe: -4 plus/minus 2i, ponieważ pierwiastek kwadratowy z -4 jest równy 2i. Dzielimy jeszcze przez 2. Więc pierwiastki naszego równania charakterystycznego są następujące: -2 plus/minus i, zgadzacie się? Zróbmy to szybko, po prostu podstawiając do wzoru. Czym jest tutaj lambda? Lambdą jest -2. Zapiszmy to. O, to jest nasza lambda. Czym jest mi? Mi jest współczynnikiem przy i, a więc mi jest równe 1. Teraz możemy zapisać rozwiązanie ogólne naszego równania różniczkowego. Będzie ono następujące: y równa się e do potęgi -2 razy x (ponieważ lambda = -2) razy c1 razy cosinus x (ponieważ mi = 1) dodać c2 razy sinus x (ponieważ mi = 1). W porządku. Teraz wykorzystamy warunki początkowe, aby znaleźć rozwiązanie szczególne. Dla x równego 0, y równa się 1. Czyli 1 równa się, podstawiamy po prostu x równy 0, e do potęgi -2 razy 0, czyli e do potęgi 0, a więc po prostu 1. Będziemy mnożyć nawias przez 1. Zapiszmy to. Mnożymy przez c1 razy cosinus(0), dodać c2 razy sinus(0). Ile wynosi sinus(0)? Sinus(0) równa się 0. Więc c2 razy sinus(0) wynosi 0. Cosinus(0) równa się 1. Wiemy więc, ile wynosi c1. . 1 razy c1 razy 1 jest równe 1. Mamy więc pierwszą stałą. c1 jest równe 1. Znajdźmy teraz pochodną naszego rozwiązania ogólnego. Możemy od razu podstawić c1 równe 1. Znajdziemy teraz c2. Zapiszmy rozwiązanie ogólne, właściwie niby-ogólne, skoro znamy już stałą c1: y jest równe e do potęgi -2x razy cosinus x (ponieważ c1 = 1), dodać c2 razy sinus x. Obliczmy pochodną rozwiązania ogólnego, aby wykorzystać drugi warunek początkowy. y' jest równe... (będziemy używali wzoru na pochodną iloczynu funkcji) Jaka jest pochodna pierwszego wyrazu? Oczywiście -2 razy e do potęgi -2x. Teraz mnożymy przez wyrażenie w nawiasie. cosinus x dodać c2 razy sinus x. Dodajemy teraz pierwszy wyraz, czyli e do potęgi -2x, a następnie mnożymy przez pochodną drugiego wyrazu. Jaka jest pochodna cosinus x? -sinus x. . A pochodna c2 razy sinus x? c2 razy cosinus x. . Czy możemy jakoś uprościć to wyrażenie? Najprostszym sposobem, zamiast kombinować z tożsamościami trygonometrycznymi etc., jest po prostu podstawić warunek początkowy. Pochodna y w punkcie 0 jest równa 0. Zapiszmy to. y'(0) równa się 0. Dla x równego 0, y' równa się 0. Podstawmy więc x równe 0 do prawej strony równania. Mogliśmy to jakoś uprościć, ale nie przejmujmy się tym. Dla x równego 0, mamy e do potęgi 0, czyli 1. Otrzymujemy więc -2, mnożymy przez cosinus(0), czyli 1, dodać c2 razy sinus(0). Sinus(0) równa się 0, więc w nawiasie zostaje nam 1 dodać 0. Potem dodajemy e do potęgi 0, czyli 1. Mnożymy przez -sinus(0), sinus(0) równa się 0, dodajemy c2 razy cosinus(0), a cosinus(0) wynosi 1, czyli po prostu dodajemy c2. Widzicie, ile się uprościło! Mamy więc: 0 jest równe -2 + c2. Więc c2 jest równe 2. Aby dostać c2, wystarczy dodać 2 do obu stron równania. Mamy już rozwiązanie szczególne. Wiemy, że c2 jest równe 2, a c1 równa się 1. Zmażę część tych obliczeń, aby lepiej było widać przejście z rozwiązania ogólnego do szczególnego. . Znaleźliśmy stałe c1 i c2, c1 równa się 1, c2 równa się 2. Łatwo to zapamiętać. . Mamy teraz miejsce, aby to ładnie zapisać. Rozwiązaniem naszego równania z warunkami początkowymi jest: y(x) = e do potęgi -2x razy (ponieważ c1 = 1) cosinus(x)... Wiemy też, że stała c2 równa się 2. Więc dodajemy 2 razy sinus(x). To już wszystko. Znaleźliśmy rozwiązanie naszego równania różniczkowego z zadanymi warunkami początkowymi. Zauważcie, że we wzorze na rozwiązanie ogólne, który wcześniej wykazaliśmy być może była gdzieś liczba i. Uznaliśmy, że c2 to kombinacja pewnych stałych, mnożonych przez i. Nie wiedzieliśmy, czy te stałe były liczbami urojonymi, czy nie, w każdym razie zapisaliśmy je jako jedną stałą c2. Co ciekawe, w znalezionym przez nas rozwiązaniu szczególnym, nie występuje liczba i. To nam wiele mówi. Po pierwsze, jeśli traktowalibyśmy c2 jako coś mnożonego przez i, to to coś musiałoby być liczbą urojoną, aby po wymnożeniu otrzymać liczbę rzeczywistą. Po drugie, widzimy, jak ważne są liczby urojone. Zobaczmy: w tym równaniu różniczkowym nie występuje i. Tu też nie. Ani tu. Jednak aby dojść do rozwiązania szczególnego, wykorzystywaliśmy liczby urojone. Chyba po raz pierwszy, o ile dobrze pamiętam filmy, które nagrywam, liczby urojone okazały się naprawdę przydatne. Użyliśmy ich, aby z zadanego rzeczywistego problemu, uzyskać rzeczywiste rozwiązanie. To wszystko dzięki liczbom urojonym. Mam nadzieję, że Wam się podobało. Do zobaczenia w następnym filmie! .