Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:8:52

Transkrypcja filmu video

Rozwiążmy inne zadanie z podwójnymi pierwiastkami. Niech nasze równanie różniczkowe to druga pochodna y minus pierwsza pochodna plus 0.25 -- tak jak jest tu napisane -- 0.25y jest równe 0. Zadali nam także pewne warunki początkowe Powiedzieli, że y od 0 jest równy 2 oraz y prim od 0 jest równy 1/3. Więc tak jak robiliśmy w każdym z tych jednorodnych liniowych równań różniczkowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach, wypiszmy równanie charakterystyczne Tak więc r kwadrat minus r dodać 0.25 -- a nawet możemy powiedzieć dodać 1/4 Tak więc zobaczmy, kiedy sprawdzam, zawsze myli mi się, kiedy mam ułamki. I staje się trudne do rozłożenia na czynniki. Po prostu rozwiążmy równanie kwadratowe. Jego pierwiastkami są r równe minus b. b jest równe minus 1. Więc minus b będzie równe 1 plus minus pierwiastek kwadratowy z b kwadrat b jest równe minus 1 Więc podniesione do kwadratu daje 1. Minus 4 razy a, które równa się 1, razy c. 4 razy 1 razy 0.25 daje 1. Zauważmy, że kiedy mamy dwukrotny pierwiastek, to pod pierwiastkiem jest równe 0. I to ma sens, ponieważ to właśnie ten plus minus we wzorze na wyróżnik kwadratowy daje nam dwa pierwiastki niezależnie czy są rzeczywiste, czy zespolone. Jeśli pierwiastek wynosi 0, dodajemy plus minus 0 i mamy tylko jeden pierwiastek. Ale jeszcze nie skończyliśmy. Jaki jest mianownik wyróżnika kwadratowego? 2a. a jest równe 1, więc dzielimy przez 2. Nasz podwójny pierwiastek to 1 plus minus 0 przez 2, czyli 1/2. Tak jak uczyliśmy się w poprzednim filmie, możemy powiedzieć, no dobrze, może rozwiązanie to y równy ce do 1/2 x. Jak zauważyliśmy ostatnio, mamy dwa warunki początkowe. A to rozwiązanie nie jest wystarczająco ogólne dla dwóch warunków początkowych. Ostatnio powiedzieliśmy, ok, jeśli to nie jest wystarczająco ogólne, może jakieś rozwiązanie będące funkcją od x razy e do 1/2 x, może to będzie rozwiązaniem. Zauważyliśmy, że tak jest. Tak więc bardziej ogólnym rozwiązaniem, które znaleźliśmy, będzie v od x równe stała dodać x razy jakaś inna stała. Tak więc bardziej ogólnym rozwiązaniem będzie y równy c1 razy e do 1/2 x dodać c2 razy xe do 1/2 x. Zapomniałem x tutaj. Narysujmy linię, żeby się nie myliło. To jest sposób wnioskowania, tak doszliśmy do tego. Dobrze to wiedzieć. Ponieważ później, kiedy będziecie chcieli znać więcej teorii równań różniczkowych -- to jest ważne w nauce, jeśli waszym celem nie jest tylko zdanie egzaminu -- to warto wiedzieć. Ale kiedy rozwiązujemy to możemy poznać schemat rozwiązywania. Jeśli mamy dwukrotny pierwiastek, wtedy, zapiszę ten dwukrotny pierwiastek dwukrotnie, jeden z nich z x na początku i one mają dwie stałe. To jest nasze ogólne rozwiązanie i teraz możemy użyć naszych warunków początkowych, by poznać c1 i c2. Najpierw policzmy pochodną tego. Będzie łatwo podstawić za c2. y prim jest równy 1/2 c1 e do 1/2 x dodać, teraz następuje trudniejsza część, będziemy musieli użyć wzoru na pochodną iloczynu -- więc dodać 2 razy pochodną x jest 1 -- razy e do 1/2 x, to pochodna iloczynu. Plus pochodna e do 1/2 x razy x. To 1/2 xe do 1/2x. Możemy napisać -- nie chcę zgubić tych rzeczy tutaj -- możemy napisać, że to wynosi -- zobaczmy, mamy 1/2 c2 razy e do 1/2 x i 1/2 razy c1 e do 1/2 x. Możemy powiedzieć, że to wynosi e do 1/2 x razy c1 przez 2. Właśnie tak. Dodać c2. To załatwia sprawę dwóch pierwszych wyrazów. Dodać c2 przez 2 xe do 1/2 x. Użyjmy naszych warunków początkowych. Pozwólcie, że zrobię trochę miejsca, bo myślę, że miło by było mieć nasze warunki początkowe tu na górze gdzie możemy je zobaczyć. Pozwólcie więc, że wymażę stąd wszystko. To, mam nadzieję, nabiera dla was sensu. Znamy równanie charakterystyczne. Znaleźliśmy rozwiązanie ogólne -- nie chcę wymazywać naszych warunków początkowych -- wiemy już, że tak wygląda ogólne rozwiązanie. - Zachowam nasze ogólne rozwiązanie tutaj. Więc, podstawiamy nasze warunki początkowe do rozwiązania ogólnego i pochodnej ogólnego rozwiązania i, mam nadzięję, znajdziemy rozwiązanie. Więc podstawiając do naszego ogólnego rozwiązania, y od 0 jest równy 2. Więc y jest równy 2 kiedy x jest równy 0. Więc c1 -- kiedy x jest równy 0, wszystkie wyrazy z e stają się równe 1, tak? Ten będzie równy 1. Zauważmy, że mamy xe do 0. Więc teraz x jest równy 0. Więc całe to wyrażenie będzie równe 0. Skończyliśmy. c1 wynosi 2 To było całkiem proste. Ten x znacznie to ułatwił. Więc c1 wynosi 2. Teraz możemy użyć pochodnej. Zobaczmy, to jest pierwsza pochodna. Podstawmy c1, abyśmy mogli wyliczyć c2. Więc nasza pierwsza pochodna y prim to -- zobaczmy c1-- 1/2 plus c2 -- więc -- zapiszę to najpierw to 2 przez 2. Więc 1 dodać c2 razy e do 1/2 x dodać c2 przez 2 razy xe do 1/2 x. Tu był x. Kiedy x jest równy 0, y prim jest równy 1/3. 1/3 jest równe -- x jest równy 0, to będzie równe 1 -- więc jest równe 1 dodać c2. Ten wyraz, kiedy x jest równy 0, to całe wyrażenie wynosi 0, tak? Ponieważ x zeruje całe wyrażenie. Mnożąc przez 0 otrzymujemy 0. Więc otrzymujemy: 1/3 jest równe 1 dodać c2 lub c2 jest równe 1/3 minus 1, czyli minus 2/3 Tak więc mamy nasze rozwiązanie szczególne. Pozwólcie, że to zapiszę i wezmę w ramkę. Tak więc to jest nasze rozwiązanie ogólne. Nasze rozwiązanie szczególne przy zadanych warunkach początkowych dla zadania dwukrotnych pierwiastków, to y równe c1 -- dość szybko wyliczyliśmy, że to wynosi 2 -- 2e do 1/2 x dodać c2. c2 jest równe minus 2/3. Więc minus 2/3 xe do 1/2 x. Skończyliśmy. To jest nasze rozwiązanie szczególne. Powtarzając, to jest rodzaj dowodu, w jaki sposób to otrzymujemy. Dlaczego jest tu ten x? I to nie był dowód, to było bardziej po to, żeby przedstawić wam intuicyjnie, skąd to się bierze. I to było wprowadzenie do metody zwanej redukcją stopnia, by obliczyć czym jest funkcja v, która okazała się być c1 plus c2 razy x. Ale to może być dość skomplikowane. Ale, jak widzisz, jak się zna metodę, lub wiesz, że to będzie rozwiązaniem ogólnym, to będzie dość łatwe do rozwiązania. Równanie charakterystyczne. Znajdź rozwiązanie ogólne. Oblicz pochodną rozwiązania ogólnego. Wtedy podstaw twoje warunki początkowe by obliczyć twoje stałe. Koniec. Zobaczymy się w następnym filmie. Zaczniemy rozwiązywać niejednorodne równania różniczkowe. Do zobaczenia wkrótce -