If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:9:44

Liniowe równania różniczkowe jednorodne drugiego stopnia 1

Transkrypcja filmu video

Teraz przejdziemy ze świata równań różniczkowych pierwszego rzędu do świata równań różniczkowych. drugiego rzędu. Co to znaczy? Oznacza to, że zaczniemy teraz dodawać drugą pochodną. Pierwszą klasą, którą zamierzam wam pokazać-- i to jest prawdopodobnie najbardziej przydatna klasa, kiedy będziecie się uczyć podstawowej fizyki - są liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu. A więc co to jest liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu? Sądzę, że dotknąłem trochę tego zagadnienia na naszym pierwszym wprowadzającym video Jednak jest to coś co wygląda tak jak to. Jeżeli mam funkcję a zależną tylko od x pomnożoną przez drugą pochodną y po x, plus b od x, pomnożone przez pierwszą pochodna y po x, plus c od x, pomnożone przez y i to jest równe pewnej funkcji zależnej tylko od x. Powtórzymy więc naszą terminologię, y jest drugiego rzędu, ponieważ najwyższą pochodną tutaj jest druga pochodna, więc to sprawia, że jest to równanie drugiego rzędu. Co sprawia, że jest to równanie liniowe? Cóż wszystkie współczynniki -- i byłbym ostrożny z nazywaniem tych wyrażeń współczynnikami, ponieważ tradycyjnie uważa się, że współczynniki zawsze powinny być stałe-- jednak tutaj mamy funkcje zależne od x jako współczynniki. Więc żeby to było liniowe równanie różniczkowe, a od x, b od x, c od x i d od x, one wszystkie muszą być funkcjami zależnymi tylko od x, tak jak tutaj napisałem. Teraz zanim spróbujemy to rozwiązać, ogólnie, zajmiemy się specjalnym przypadkiem, gdzie a,b,c są stałymi a d jest równe 0. Więc jak wtedy to będzie wyglądało? Przepiszę to tylko jako A-- które nie jest już funkcją, - to tylko liczba-- A razy druga pochodna y po x, plus B razy pierwsza pochodna, plus C razy y. Teraz zamiast mieć cztery zmienne, zamiast d od x przyjmuję, że nasze równanie jest równe 0. I teraz poprzez przyrównanie tego do zera, wprowadzam wam inną formę jednorodnego równania różniczkowego. I takie nazywamy jednorodnym. Nie przedstawiłem jeszcze związku jak to równanie różniczkowe drugiego rzędu powiązane jest z równaniami różcznikowymi pierwszego rzędu - tymi które już wprowadziłem-- do innych jednorodnych równań różniczkowych, które także wprowadziłem. Myślę, że tak się stało, że mają taką samą nazwę, nawet jeśli nie są one ze sobą powiązane. Powodem dla którego, to równanie nazywane jest jednorodnym, to to że jest równe 0. I to czyni je jednorodnym. W zasadzie widzimy więcej związków pomiędzy tym typem równania i mleka w którym cały tłuszcz jest rozproszony, ponieważ jeżeli o tym pomyśleć, rozwiązanie dla wszystkich jednorodnych równań, gdy je rozwiązujesz, to jest ono zawsze równe 0. Więc są one jednorodne, sądzę że jest to najlepszy sposób aby pokazać pewne podobieństwo. Możemy więc nazwać je drugiego rzędu liniowymi, ponieważ A, B i C są na pewno funkcjami tylko -- cóż one nie są nawet funkcjami zmiennej x lub y, one są po prostu stałymi. Więc równanie różniczkowe drugiego rzędu linniowe jest jednorodne -- gdy równa się zero. Myślę, że zobaczycie, że one, w pewien sposób, są najbardziej przyjemnymi równaniami różniczkowymi do rozwiązania. Oraz naprawdę, często najbardziej przydatnymi, ponieważ w wielu zadaniach mechaniki klasycznej, to jest wszystko czego potrzebujesz do ich rozwiązania. Jednak są one najprzyjemniejsze do rozwiązywania, ponieważ wszystkie sprowadzają się do problemów Algebry II. O czym powiem za chwilę. Pomyślmy jednak jeszcze chwilę tylko o tym. Pomyślmy jakie właściwości mogą mieć te rozwiązania. Daj mi tylko coś napisać. Powiedzmy, że g od x jest rozwiązaniem. Oznacza to że A razy druga pochodna g, plus B razy pochodna g, plus C razy g jest równe zero. Prawda? To oznacza to samo. Teraz, moje pytanie do was, co jeśli mam g pomnożone przez jakąś stałą? Czy to ciągle jest rozwiązanie? Moje pytanie jest więc takie: powiedzmy, że pewną stałą c1 pomnożymy przez g od x czy takie coś jest rozwiązaniem? Spróbujmy to sprawdzić. Podstawmy to do naszego wyjściowego równania. Więc A razy druga pochodna po tym będzie tylko -- Może zmienię tutaj kolory, np na brązowy -- więc A razy druga pochodna po tym będzie stała, za każdym razem, kiedy różniczkujesz takie wyrażenie stała zostaje nie zmieniona, prawda? -- to będzie tylko A razy c1 razy druga pochodna g, plus -- to samo dla pierwszej pochodnej -- B razy c1 pochodna g, plus C -- i to C jest inne niż c1 -- razy g. A więc zobaczmy czy to jest równe 0. Możemy wyciągnąć stałą c1, i otrzymujemy c1 razy (otwieramy nawias) Ag bis, plus Bg prime, plus Cg I oto, my już wiemy. Ponieważ g od x jest rozwiązaniem, wiemy że to jest prawdą. A więc to jest równe 0, ponieważ g jest rozwiązaniem. A więc jeżeli to jest 0, c1 pomnożone przez 0 to również będzie 0. Czyli to wyrażenie stąd jest także równe 0. Innym sposobem na zobaczenie tego jest: jeżeli g jest rozwiązaniem tego jednorodnego liniowego równania różniczkowego drugiego rzędu, wtedy pewna stała razy g jest także rozwiązaniem. A więc to jest także rozwiązaniem równania różniczkowego. Teraz następna własność, którą chciałbym wam pokazać -- i to wszystko zmierza w jakimś kierunku, nie martwcie się :). Następnym pytanie, które chciałbym wam zadać jest, OK, wiemy że g od x jest rozwiązaniem równania różniczkowego. Co jeśli powiedziałabym wam, że h od x także jest rozwiązaniem? h(x) także jest rozwiązaniem. Moje pytanie do was jest więc takie: czy g od x plus h od x jest także rozwiązaniem? Czy jeśli dodasz te dwie funkcje, które oba są rozwiązaniami, dodasz je do siebie , to czy to ciągle jest rozwiązaniem naszego wyjściowego równania różniczkowego? A więc, podstawmy tę całość do naszego wyjściowego równania różniczkowego, dobrze? Mamy więc A razy drugą pochodna tego wszystkiego. No cóż to jest wystarczająco jasne. To jest tylko druga pochodna g, plus druga pochodna h, plus B razy -- pierwsza pochodna tego wszystkiego -- pochodna g plus pochodna h, plus C razy -- ta funkcja -- g plus h. I teraz co możemy z tym zrobić? Teraz wymnóżmy teraz wszystkie nawiasy przez odpowiednie stałe. Otrzymujemy A razy druga pochodna g, plus A razy druga pochodna h, plus B razy pierwsza pochodna g, plus B razy pierwsza pochodna h, plus C razy g, plus C razy h. A teraz możemy je pogrupować. Mamy A -- weźmy to; weźmy wszyskie wyrazy z g A razy druga pochodna g, plus B razy pierwsza pochodna g, plus C razy g -- te trzy wyrazy -- plus A razy druga pochodna h, plus B razy pierwsza pochodna h, plus C razy h. Teraz wiem że i g i h są rozwiązaniem wyjściowego równania różniczkowego. Z definicji, skoro g jest rozwiązaniem pierwotnego równania różniczkowego, i to jest lewa strona tego równania różniczkowego, to będzie równa 0, i to również będzie równe 0. A więc pokazaliśmy, że całe to wyrażenie jest równe 0. Jeżeli g jest rozwiązaniem równania różniczkowego -- tego jednorodnego, liniowego równania różniczkowego drugiego rzędu -- i h jest także rozwiązaniem, wtedy jeżeli dodasz je do siebie, suma także będzie rozwiązaniem. W ogólności, jeśli pokażemy, że g jest rozwiązaniem oraz h jest rozwiązaniem, możesz je do siebie dodać. Pokazaliśmy także wcześniej, że dowolna stała razy rozwiązanie jest także rozwiązaniem. Możemy również stwierdzić,że pewna stała razy g od x plus pewna stała razy h od x jest także rozwiązaniem. Możliwe, że stała w którymś z przypadków to 0 lub coś innego. Ja nie wiem. Ale w każdym razie, to są przydatne właściwości - może do internalizacji do liniowych, jednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu. W następnym video, zamierzamy rzeczywiście zostosować te własności aby znaleźć rozwiązanie dla tych równań. Zobaczycie, że są one naprawde proste. Powiedziałbym, że o wiele łatwiejsze niż to co dotychczas zrobiliśmy w jednorodnych równaniach różniczkowych pierwszego rzędu, albo w równaniach różniczkowych zupełnych. To jest zdecydowanie łatwiejsze. Do zobaczenia w następnym video.