If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:8:28

Liniowe równania różniczkowe jednorodne drugiego stopnia 2

Transkrypcja filmu video

Mówiłem ostatnio dużo o teorii liniowych, jednorodnych równaniach różniczkowych drugiego rzędu, czyli co jeśli g jest rozwiązaniem - wówczas pewna stała razy g jest także rozwiązaniem. Albo jeśli g i h są rozwiązaniem, to g plus h jest także rozwiązaniem, wiecie takie rzeczy. Przejdźmy więc teraz do praktyki i do rozwiązania jakiegoś zadania, ponieważ sądzę że to naprawdę pomoże się wam czegoś nauczyć, zamiast pogubić się w tym wszyskim już do reszty. Mamy więc równanie różniczkowe, z drugą pochodną y po x, plus 5 razy pierwsza pochodna po y po x, plus 6 razy y jest równe zero. Potrzebujemy więc znaleźć y, takie że 1 razy jego druga pochodna, plus 5 razy jego pierwsza pochodna, plus 6 razy, ono samo, jest równe zero. Zróbmy teraz trochę tak jakby-- cofnijmy się i pomyślimy jaki rodzaj funkcji -- wiecie zazwyczaj jeżeli mam funkcję i liczę jej pochodną i wtedy liczę jeszcze jej drugą pochodną, to najczęściej dostaję coś zupełnie innego. Na przykład, jeżeli y to byłoby x do kwadratu, wtedy pierwsza pochodna będzie równa 2x i druga pochodna będzie równa 2. Dodajmy je teraz do siebie i zastanówmy się co zrobić żeby wyrazy z x się skróciły, i ostatecznie wyszło zero? Sięgnijcie pamięcią i pomyślcie, czy jest taka pewna funkcja, dla której jeżeli wezmę jej pierwszą czy drugą pochodną, trzecią czy czwartą pochodną, czy istotnie zostaje tą samą funkcją? Może stała przed funkcją zmienia się, kiedy liczę pochodną. Jeżeli słuchłeś wielu moich video, zdasz sobie sprawę, że najprawdopodobniej chodzi mi o to co uważam za najbardziej niesamowitą funkcję w matematyce. I to jest e do x. W szczególności, e do x może nie być rozwiązaniem -- ale możemy po prostu spróbować, prawda? Jeżeli podstawimy e do x, to nie będzie spełniało równania, prawda? Dostaniemy wtedy e do x plus 5razy e do x, plus 6 razy e do x. To nie będzie równe zero. Jednak może y jest równe e do pewnej stałej r razy x. Załóżmy więc że y jest równe pewnej e do stałej r razy x i podstawmy to do tego wtedy zobaczmy czy naprawdę jesteśmy w stanie znaleźć takie r, że to równanie jest prawdziwe. Oraz jeżeli nam się uda to znaczy, że znaleźliśmy rozwiązanie albo może znaleśliśmy kilka rozwiązań. Sprawdźmy to. Podstawmy y równe e do rx do tego równania różniczkowego. A więc to jest piersza pochodna tego, przede wszystim. Więc czemu jest równa pierwsza pochodna y? Pochodną policzmy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej(reguła łańcuchowa). Pochodna środka jest r. Następnie pochodna zewnętrzna jest ciągle tylko e do rx. A jaka jest druga pochodna? Druga pochodna y jest równa pochodnej -- r jest tylko stałą -- więc pochodna środka jest r, razy zewnętrzne r, czyli to jest r do kwadratu, razy e do rx. Jesteśmy teraz gotowi do podstawienie tego spowrotem. Zmienię kolory. Druga pochodna, czyli r do kwadratu razy e do rx, plus 5 razy pierwsza pochodna, czyli 5re do rx, plus 6 razy nasza funkcja -- 6 razy e do rx jest równe zero. I w tym momencie może wam świtać pomysł jak możemy rozwiązać to równanie ze względu na r. Wsztyskie wyrażnie po lewej zawierają e do rx, wiec wyciągnijmy je przed nawias. Mamy więc, że to jest równe e do rx razy r do kwadratu, plus 5r, plus 6 jest równe zero. I pamietajmy że naszyme celem jest rozwiązanie tego, dla r lub kilku wartości r, które sprawią, że to jest prawdziwe. I żeby ta strona równania była równa zero... Co my wiemy? Czy e do rx kiedykolwiek jest równe zero? Czy kiedykolwiek podstawiłeś coś do funkcji wykładniczej i otrzymałeś zero? No więc nie. Czyli to nie może być równe zero. Tak więc aby lewa strona równania była równa zero te wyrazy, to wyrażenie tutaj, musi być równe zero. I zrobię to w innym kolorze. Wiemy więc, że jeżeli chcemy rozwiązać to ze względu na r, że to, r do kwadratu plus 5r plus 6 musi być równe zero. I to jest nazywane równaniem charaktetystycznym. To, r do kwadratu plus 5r, plus 5, nazywane jest równaniem charakterystycznym. To powinno być dla was oczywiste, że to już nie jest dłużej trudny rachunek. To jest tylko rozkład na czynniki, konkretnie na dwa. I w zasadzie ten jest całkiem prosty do uzyskania. A więc co to jest? To jest r plus 2, razy r plus 3 i to jest równe zero. Zatem rozwiązanie równania charakterystycznego -- albo właściwie, rozwiązanie naszego wyjściowego równania -- to jest r równe minus 2 i r równe minus 3. Możemy więc powiedzieć, że znaleźlismy dwa rozwiązania, ponieważ znaleźliśmy dwie wartość r, które spełaniają to równanie różniczkowe. I jakie one są? Dobrze, pierwsze to y równe e do minus 2x, prawda? Możemy nazwać to rozwiązanie y1. Drugim rozwiązaniem, które znaleźliśmy, y2 jest e do ... r jest -3, czyli e do minus 3x. Teraz moje pytanie do was brzmi, czy istnieje bardziej ogólne rozwiązanie? Więc, na naszym ostatnim video, w pewnym sensie wprowadzającym nauczyliśmy się, że stała razy rozwiązanie jest też rozwiązaniem. Więc jeśli y1 jest rozwiązaniem oraz wiemy też że możemy pomnożyć y1 przez dowolną stałą. A więc zróbmy to. Pomnóżmy to przez c1. To c1 tutaj. To także będzie rozwiązanie. A teraz jest jednak trochę bardziej ogólne, prawda? To jest cała klasa funkcji. C wcale nie musi być równe 1, to może być dowolna stała. Teraz kiedy użyjesz wartości początkowych, możesz naprawdę wyliczyć jaka jest ta stała. Tak samo dla y2. y2 nie musi być równe 1 razy e do minus 3x, to może być dowolna stała. Nauczliśmy się na ostatnim video, że coś co jest rozwiązaniem, razy pewna stała także jest rozwiazaniem. Nauczyliśmy się także, że jeżeli mamy dwa różne rozwiazania i jeżeli dodamy je do siebie, to też otrzymamy rozwiązanie. A więc najbardziej ogólnym rozwiązaniem tego równania różniczkowe jest y -- moglibyśmy powiedzieć y od x, żeby zaznaczyć, że, y jest zdecydowanie funkcją od x -- y od x równe c1 razy e do minus 2x, plus c2 razy e do minus 3x. I to jest ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego. Nie będę teraz tego udowadniał, ponieważ dowód jest dość skomplikowany. Chodzi mi oto że wypróbujemy tylko e do rx. Możliwe, że istnieją pewne inne dziwne funkcje, które mogłyby pasować tutaj. Jednak powiem, i teraz możesz wziąć to na wiarę, że jest to jedyne ogólne rozwiązanie. Nie ma żadnej innej szalonej funckji, która także spełniałaby to równanie. A co do innych wątpliowści, które mogą kiełkować wam w umysłach, jak: "Sal, kiedy robiliśmy równania różniczkowe pierwszego rzędu mieliśmy tylko jedną stałą." I to było w porządku, ponieważ mieliśmy jeden warunek początkowy i rozwiązaliśmy to dla naszej stałej. Jednak tutaj, mam dwie stałe. Więc jeżeli chciałbym mieć rozwiązanie szczególne, jak mógłbym rozwiązać to dla dwóch zmiennych, jeżeli mam tylko jeden warunek początkowy? I to co właśnie wymyśliliście pod wpływem intuicji jest poprawne. Faktycznie potrzebujemy teraz dwóch warunków początkowych aby rozwiązać to równanie różniczkowe. Trzeba by wiedzieć czemu, przy danej wartość x równe jest y. Albo, przy danej wartości x, jaką wartość ma pochodna. I to właśnie tym zajmiemy się w następnym video. Do zobaczenia.