If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:5:59

Liniowe równania różniczkowe jednorodne drugiego stopnia 3

Transkrypcja filmu video

W naszym ostatnim video mieliśmy to jednorodne liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu i staraliśmy się je rozwiązać rozwiązaniem y równe e do rx. I doszliśmy do tego, że gdy podstawimy to rozwiązanie to jest ono poprawne dla szczególnych wartości r. Ostatnio wyliczyliśmy te wartości r i są one równe minus 2 oraz minus 3. Uzyskaliśmy to z rozkładu tego równania charakterystycznego. Obejrzyj ostatnie video jeżeli zapomniałeś jak doszliśmy do tego równania charakterystycznego. Oraz zakończyliśmy na ogólnym rozwiązaniu tego równania różniczkowego. Możesz sam to sprawdzić, jeżeli nie wierzysz mi że to jest poprawne. Ale co w wypadku, kiedy nie chcemy rozwiązania ogólnego tylko chcemy znaleźć szczególne rozwiązanie? Cóż, wtedy potrzebujemy warunków początkowych. A więc rozwiążmy to rówanie różniczkowe z pewnymi początkowymi warunkami. Powiedzmy że warunki początkowe są -- mamy rozwiązanie, które otrzymaliśmy w ostatnim video. Przepiszę to równanie różniczkowe. A więc to jest druga pochodna plus 5 razy pierwsza pochodna plus 6 razy funkcja, równa się zero. A warunek początkowy, który mamy jest taki że y od 0 równa się 2. Oraz pierwsza pochodna w zerze, pochodna y w zerze równa się 3. Mówi on o tym ile wynosi y w punkcie zero, oraz jakie jest nachylenie w zerze -- x równy 0 -- i nachylenie wynosi 3. Jak więc użyjemy tego do rozwiązanie dla c1 i c2? Cóż, spóbujemy użyć pierwszego warunku początkowego. y od 0 jest równy 2, co jest równoważne -- zasadniczo my tylko podstawiamy zero do tego rówania. Więc to jest c1 razy e do minus 2 razy zero, to jest po prostu e do 0, czyli tylko 1. Czyli c1 razy 1, czyli c1, plus c2 razy e do minus 3 razy 0. Mamy tutaj e do 0, czyli tylko 1. A więc plus c2. A więc pierwsze równanie, które otrzymujemy, kiedy podstawiemy nasz pierwszy warunek początkowy jest zasadniczo: c1 plus c2 wynosi 2. Teraz zastosujmy drugi warunek początkowy, który mówi nam, o nachyleniu w x, gdy ten jest równy 0. Więc pochodna y jest równa zero. To jest nasze rozwiązanie ogólne, policzmy więc jego pochodną i wtedy będziemy mogli tego użyć. Więc czemu jest równa pochodna y po x? Pochodna tego jest równa minus 2c1 razy e do minus 2x. A jaka jest pochodna tego? To jest minus 3 razy c2 razy e do minus 3x. Teraz możemy użyć naszego warunku początkowego dla pochodnej y w zerze. Więc kiedy x jest równy 0, czemu jest równa prawa strona równania? To jest minus 2 razy c1 i e do minus 0, e do 0, czyli tylko 1. Minus 3 c2, i wtedy jeszcze raz x jest równe 0, więc e do minus 3 razy 0, to będzie tylko 1. Więc jest to dokładnie 1 razy minus 3 c2. I mówi to nam, że gdy x jest równy 0, to wtedy czemu jest równa cała ta pochodna? Cóż, to jest równe 3, prawda? Pochodna y w zerze jest równa 3. Więc teraz wracając do waszego pierwszego roku algebry. Mamy dwa równania -- dwa liniowe równania z dwoma niewiadomymi -- i umiemy to rozwiązać. Pozwól mi tylko napisać to w fromie, do której jesteś pewnie bardziej przyzwyczajony. Więc pierwsze to c1 plus c2 jest równe 2. A drugie to minus 2 razy c1 minus 3 razy c2 jest równe 3. I co teraz możemy zrobić? Pomnóżmy to górne równanie przez 2. Istnieje mnóstwo różnych sposobów na rozwiązanie tego, ale jeżeli pomnożmy to górne równanie przez 2, to otrzymamy -- i zrobię to w innym kolorze, żeby było widać -- pomnożę po prostu górne przez 2, i otrzymamy 2 razy c1 plus 2 razy c2 i całość jest równa 4. I teraz możemy dodać te dwa równania. Minus 2 c1 plus 2, skrócą się. Więc minus 3 plus 2, otrzymujemy minus c2 równe 7. Możemy też powiedzieć, że c2 jest równe minus 7. I teraz możemy podstawić to spowrotem tutaj. Mamy c1 plus c2 -- c2 wynosi minus 7 --jest równe 9, albo wiemy że c -- och przepraszam, już sam się gubię. Wybiegłem myślami za daleko i za szybko chciałem to zrobić. c1 plus c2, które jest równe minus 7 i całość jest równa 2, prawda? Podstawiam tylko spowrotem do tego równania różniczkowego, przepraszam, do tego równania, a nie różniczkowego to jest zwykłe równanie liniowe -- i następnie otrzymujemy, że c1 jest równe 9. I teraz mamy nasze szeczególne rozwiązanie równania różniczkowego. A więc to było nasze rozwiązanie ogólne. Możemy więc po prostu podstawić nasze c1 i nasze c2 spowrotem. Mamy nasze szczególne rozwiązanie dla tych warunków początkowych. Sądzę że to zasługuje na inny kolor. Więc nasze szczególne rozwiązanie to jest y od x równy c1, które wyliczyliśmy, i całość wynosi 9e do minus 2x, plus c2 -- cóż, c2 wynosi minus 7 -- 7e do minus 3x To jest szczególne rozwiązanie naszego wyjściowego równania różniczkowego. I sprawdzenie tego to może być dla was dobre ćwiczenie. To jest szczególne rozwiązanie dla tego równania różniczkowego. Zrobię inny przykład w następnym video. Do zobaczenia wkrótce.