If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:9:10

Liniowe równania różniczkowe jednorodne drugiego stopnia 4

Transkrypcja filmu video

Rozwiążmy teraz inne liniowe jednorodne równanie różcznikowe drugiego rzędu. Jednak to -- cóż, nie chciałbym dawać wam za dużo szczegółów zanim zapiszę je tutaj. A więc równanie różniczkowe: to będzie 4 razy druga pochodna y po x, minus 8 razy pierwsza pochodna plus trzy razy funkcja y i to wszystko będzie równe 0. Mamy również warunki początkowe, y od 0, równa się 2. Oraz na pochodną y w zerze, równą 1/2. Wiecie teraz mógłbym zrobić to wszystko dla y równego e do rx, które jest rozwiązaniem, podstawić je tutaj, następnie wyciągnąć e do rx, i otrzymałbym równanie charakterystyczne. Jeżeli chcecie to wszystko zobaczyć jeszcze raz, możecie obejrzeć poprzednie video, po prostu po to żeby zobaczyć skąd otrzymaliśmy równanie charakterystyczne. Jednak w tym video, chciałabym pokazać wam, dosłownie, jak szybko można robić tego typu zadania, wręcz mechanicznie. Więc to jest nasze wyjściowe równanie różniczkowe, równanie charakterystczne będzie -- i zrobię to w innym kolorze -- 4r do kwadratu minus 8r plus 3r jest równe 0. Obejrzyj poprzednie poprzednie video, jeżeli nie wiesz skąd otrzymaliśmy to równanie charakterystyczne. Jeżeli jednak chcesz robić takie zadania naprawdę szybko, podstaw tylko zamiast drugiej pochodnej r do kwaratu, zamiast pierwszej pochodnej r, i zamiast funkcji -- oh przepraszam, nie. To powinna być stała --. Wtedy współczynnik przy wyjciowej funkcji jest po prostu stałą, prawda? Myślę, że rozumiecie co zrobiłem. Druga pochodna - r do kwadratu. Pierwsza pochodna - r Gdy nie ma pochodnej -- możesz stwierdzieć, że r jest 0, albo 1. To jest nasze równanie charakterystyczne. Możemy teraz po prostu wyliczyć jego pierwiastki. Nie jest jednak dla mnie oczywiste jaki należy tutaj zrobić rozkład na czynnik, jeżeli nie jest to takie łatwe, możemy użyć równania kwadratowego. Możem więc stwierdzić, że rozwiązaniem tego jest r równe minus b -- b jest minus 8, więc to będzie plus 8 -- 8 plus minus pierwiastek kwadratowy z b do kwadratu, czyli 64, minus 4 razy a, które wynosi 4, razy c równe 3. I to wszystko dzielimy przez 2a. 2 razy 4 to 8. To równa się 8 plus minus pierwiastek z 64 minus -- ile to jest 16 razy 3 -- minus 48. I to wszystko przez 8. Ile wynosi 64 minus 48? Zobaczmy to jest 16, prawda? Tak. 10 plus 48 to jest 58, i jeszcze 6 -- więc to jest 16. Mamy więc r równe 8 plus minus pierwiastek z 16, przez 8, to równa się 8 plus minus 4 przez 8. To równa się 1 plus minus 1/2. Więc dwa rozwiązanie tego równania charakterystycznego -- zignoruj to, albo lepiej zamażę to na czarno, żebyś nie sądził, że to może być jakieś 30 lub coś innego -- dwa rozwiązania tego równania charakterystecznego to są r równe -- cóż, 1 plus 1/2 to jest 3/2 -- i r jest równe 1 minus 1/2, wynosi 1/2. Znamy więc już dwie wartości naszego r, i wiemy z wcześniejszych doświadczeń z ostatniego video, że y równe c razy e do rx jest rozwiązaniem. Tak więc, ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego: y równa się c1 razy e -- użyjemy r -- e do 3/2 x, plus c2 razy e do 1/2 x. Cała trudność tego zadanie z równaniem różniczkowym sprowadza się do rozwiązania równania kwadratowego. Kiedy wyliczysz wartości r to otrzymasz rozwiązanie ogólne. Teraz musimy tylko użyć naszych warunków początkowych. Aby znać warunki początkowe, musimy znać y po x i pochodną y po x. Zróbmy to teraz. Jaka jest więc pochodna y? Pochodna y z naszego rozwiązania ogólnego jest równa 3/2 razy c1 e do 3/2 x, plus -- pochodna środka -- 1/2 razy c2 e do 1/2 x. Teraz użyjemy naszego warunku początkowego. Nie chce ich stracić z oczu- a więc przepisze je tutaj na dół Mogę więc przesunąć się w dół. Wiemy więc że y od 0 równa się 2 i pochodna y w zerze wynosi 1/2. To są nasze warunki początkowe. Użyjmy więc tych informacji. Tak więc, y od 0 -- co się stanie jeżeli podstwimy x równy zero tutaj? Otrzymasz c1 razy e do 0, czyli tak naprawdę po prostu 1, plus c2-- cóż to jest znowu jest e do 0, ponieważ x wynosi zero -- to jest równe -- więc to, kiedy x jest równy 0, wtedy jaki jest y? y jest równy 2. Y od 0 jest równy 2. Teraz użyjemy drugiego równania. Tak więc, kiedy podstawimy x równy 0 do pochodnej -- więc kiedy x jest równy zero otrzymujemy 3/2 c1 -- to jest znowu jest 1 -- plus 1/2 c2 -- i to też jest znowu 1, e do 1/2 razy 0 to jest e do 0, czyli 1 -- jest równy -- więc dla x równego zero pochodna y wynosi 1/2, lub pochodna równa się 1/2 w punkcie, lub nachylenie wynosi 1/2 w tym punkcie. Mamy teraz dwa równania z dwoma niewiadomymi, możemy więc rozwiązać to na milion sposobów. Myślę, że umiesz to zrobić. Pomnóżmy więc górne równanie -- nie wiem -- pomnóżmy je przez 3/2 i co otrzymamy? Otrzymamy -- w to w innym kolorze !-- otrzymamy 3/2 c1 plus 3/2 c2 jest równe -- ile wynosi 3/2 razy 2? To jest równe 3. Teraz odejmijmy -- cóż, nie chciałbym wam zamieszać, więc odejmijmy od góry dół, więc to się skróci. Ile to jest 1/2 minus 3/2? 1/2 minus 1 i 1/2. Cóż to jest po prostu minus 1, prawda? Tak więc minus c2 jest równe -- ile to jest 1/2 minus 3? To jest minus 2 i 1/2 lub minus 5/2. Otrzymaliśmy więc c2 równe 5/2. Możemy to podstawić spowortem do górnego równania. c1 plus 5/2 jest równe 2, lub c1 równa się 2, to jest to samo co 4/2, minus 5/2, czyli całość jest równa minus 1/2. Możemy teraz podstawić c1 i c2 spowrotem do naszego rozwiązania ogólnego i w ten sposób znaleźliśmy szczególne rozwiązanie tego równania różniczkowego, które wynosi: y równa się c1 -- c1 to jest minus 1/2-- minus 1/2 e do 3/2 x plus c2 -- c2 jest 5/2 -- plus c2, które jest 5/2, e do 1/2 x, i zrobiliśmy już wszystko. Może mogło wyglądać to na dość skomplikowane i wymyślne. Rozwiązujemy równanie różniczkowe. Nasze rozwiązanie zawiera e. Liczymy pochodną i robimy całe mnóstwo różnych dziwnych rzeczy. Jednak sedno problemu tkwi w rozwiązywaniu równania kwadratowego, które było naszym równaniem charakterystycznym. Obejrzyj poprzednie video po to żeby zrozumieć skąd wzieliśmy to równanie charakterystyczne i dlaczego ono zachodzi. Jednak bardzo łatwo wymyślić równanie charakterystyczne, prawda? Sądzę, że oczywiście widzisz, że druga pochodna y zmienia się na r do kwadratu pochodna y zmienia się na r, a y przechodzi po prostu na 1, w istocie. Rozwiązujesz więc równanie kwadratowe. I teraz po zrobieniu tego, musisz tylko policzyć pochodną -- ponieważ po rozwiązaniu równania kwadratowego, otrzymujesz natychmiast rozwiązanie ogólne -- następnie liczysz tego pochodną i używasz warunków początkowych. Masz układ równań liniowych i to jest Algebra I. Następnie rozwiązujesz go z dwiema stałymi, c1 i c2, i kończysz otrzymując rozwiązanie szczególne. I to już wszyskto w tym temacie. Do zobaczenia w następnym video.