Wielokrotne pierwiastki równań charakterystycznych — film z polskimi napisami

. Rozpatrzmy następujące równanie różniczkowe drugiego rzędu. Druga pochodna y, dodać 4 razy pierwsza pochodna y, dodać 4y równa się 0. Chcemy znaleźć rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego. Najpierw, tak samo jak robiliśmy poprzednio, znajdujemy równanie charakterystyczne, czyli: r do kwadratu, dodać 4r, dodać 4 równa się 0. Łatwo rozbić to na iloczyn nawiasów. Nie musimy stosować wzoru na pierwiastki równania kwadratowego. Mamy więc (r+2) razy (r+2). Mamy tu coś, czego wcześniej nie widzieliśmy. Mamy dwa takie same pierwiastki równania charakterystycznego, oba równe r= -2. Mówimy, że mamy pierwiastek podwójny. Tylko jedno r jest rozwiązaniem równania charakterystycznego. Możecie sobie pomyśleć: i co z tego? Może rozwiązaniem ogólnym będzie po prostu y = pewna stała c, razy e do potęgi -2x ? Powiem Wam, że jest to rozwiązanie szczególne. Jeśli mi nie wierzycie- sprawdźcie. Ale nie jest to rozwiązanie ogólne! Skąd to wiem? Mieliśmy równanie różniczkowe drugiego rzędu. Jeśli chcemy znaleźć rozwiązanie szczególne, potrzebujemy dwóch warunków początkowych. Dotychczas naszymi warunkami początkowymi były wartość y w punkcie 0 oraz wartość y' w punkcie 0. Równie dobrze mogłaby to być wartość y w punkcie 5. Ale ogólnie rzecz biorąc, jeśli mamy równanie różniczkowe drugiego rzędu, potrzebujemy dwóch warunków początkowych. W tym rozwiązaniu, jeśli użylibyśmy tylko jednego warunku początkowego, znaleźlibyśmy stałą c. Mielibyśmy odpowiedź. . Odpowiedź ta jednak nie zależałaby wcale od drugiego warunku początkowego! Co więcej, w większości przypadków, dla znalezionej stałej c, rozwiązanie szczególne spełnia pierwszy warunek początkowy, ale nie spełnia drugiego warunku początkowego! Zobaczmy. Załóżmy, że y(0) równa się A, natomiast y'(0) równa się 5A. Zobaczmy, czy to działa. Jeśli y(0) jest równy A, wówczas A równa się c razy e do potęgi -2 razy 0. Więc e do potęgi 0. Czyli c równa się A, prawda? Gdybyśmy mieli tylko pierwszy warunek początkowy, powiedzielibyśmy, że nasze rozwiązanie szczególne to y równa się A razy e do potęgi -2x. Sprawdźmy, czy to rozwiązanie spełnia drugi warunek początkowy. Jaka jest pochodna tego wyrażenia? y' równa się -2A razy e do potęgi -2x. Drugi warunek początkowy mówi, że 5A równa się -2A razy e do potęgi -2 razy 0, więc e do potęgi 0. e do potęgi 0 jest równe 1. Wówczas 5A równe jest -2A, co dla niezerowego A daje nam sprzeczność. Zapamiętajcie więc, jeśli mamy rozwiązanie ogólne tego typu, z reguły spełnia ono tylko jeden warunek początkowy. Czasem spełnia oba, jednak zdarza się to bardzo rzadko. Powinniście teraz intuicyjnie czuć, dlaczego to równanie nie jest rozwiązaniem ogólnym. Wytrę to, co napisaliśmy, przyda nam się to miejsce. Co teraz? Użyjemy metody zwanej metodą redukcji stopnia. Musimy po prostu zgadnąć drugie rozwiązanie. Pamiętacie zapewne, że na początku naszych rozważań dotyczących liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach powiedzieliśmy, że warto podstawić e do potęgi rx. Dlaczego? Ponieważ wszystkie pochodne e do rx są równe pewnej wielokrotności e do rx. Szukając drugiego rozwiązania zrobimy podobnie. Załóżmy, że drugie rozwiązanie, nazwijmy je g, jest równe pewnej funkcji od x, razy pierwsze rozwiązanie, czyli e do potęgi -2x. Oczywiście możemy też zapisać to jako funkcja od x, razy c, razy e do potęgi -2x, ale to c jest już niejako zawarte w funkcji v(x). Staramy się pisać to jak najbardziej ogólnie. Załóżmy, że g jest szukanym przez nas rozwiązaniem. Podstawmy je więc do naszego równania różniczkowego i spróbujmy znaleźć takie v(x), żeby się wszystko zgadzało. Najpierw znajdźmy pierwszą i drugą pochodną g. Obliczając pochodną g, użyjemy wzoru na pochodną iloczynu funkcji. Pamiętajmy, że v(x) jest funkcją od x, a nie stałą. We wzorze na pochodną iloczynu, mnożymy pochodną pierwszej funkcji przez drugą funkcję, u nas: v' razy e do potęgi -2x, dodajemy potem pierwszą funkcję mnożoną przez pochodną drugiej funkcji. Czyli v razy -2 razy e do potęgi -2x. . A więc g' równa się v' razy e do potęgi -2x, odjąć 2 razy v razy e do potęgi -2x. Znajdźmy teraz drugą pochodną. Napiszemy to innym kolorem, żeby nie było tak monotonnie. Dwa razy zastosujemy tutaj wzór na pochodną iloczynu funkcji. Mamy więc v'' razy e do potęgi -2x, odjąć 2 razy v' razy e do potęgi -2x. Zastosowaliśmy wzór na pochodną iloczynu funkcji. Dalej, wiemy, że pochodna drugiego wyrażenia równa się -2 razy v' razy e do potęgi -2x, dodać 4 razy v razy e do potęgi -2x. Mam nadzieję, że nie zrobiłem błędu rachunkowego. Uprośćmy trochę to wyrażenie. Druga pochodna g równa się v'' razy e do potęgi -2x, odjąć 4 razy v' razy e do potęgi -2x, dodać 4 razy v razy e do potęgi -2x. Zanim podstawimy to do naszego równania, zauważmy jedną rzecz. To nam ułatwi obliczenia. Zwróćmy uwagę, że g równa się coś razy e do potęgi -2x. W g' możemy wyłączyć przed nawias e do potęgi -2x. W g'' tak samo. . Zróbmy to. Zapiszmy nasze równanie różniczkowe, podstawiając funkcję g i wyłączając e do -2x przed nawias. g'' równa się e do potęgi -2x razy v'', odjąć 4v', dodać 4v. Wymnażając przez e do -2x dostajemy oczywiście g''. Dodajemy teraz 4 razy g'. Tu też wyłączamy przed nawias e do -2x. Dodajemy więc 4 razy v', odjąć 8 razy v. . Tu zrobiliśmy to samo, wyłączyliśmy przed nawias e do -2x. Dodajemy teraz 4 razy g. . Po wyłączeniu e do -2x przed nawias, musimy dodać jeszcze 4 razy v. Gdybyśmy nie wyłączyli e do -2x przed nawias, musielibyśmy pisać je przed każdym wyrażeniem, łatwo popełnilibyśmy błąd, zabrakłoby nam miejsca etc. Zauważmy, że wstawiliśmy po prostu g, pochodną g i drugą pochodną g do naszego równania różniczkowego. Wiemy, że to równa się 0. Zobaczmy, czy da się to jakoś uprościć. A potem rozwiążmy to równanie dla v. Zobaczmy. Mamy tu 4v, plus 4v, czyli łącznie dodajemy 8v, minus 8v, widzicie? Czyli te wyrażenia nam się skrócą. 8 odjąć 8 daje 0. Mamy też -4v', dodać 4v'. To też nam się skróci. Zobaczcie, ile się uprościło! Zostaje nam tylko e do potęgi -2x razy v'' (v'' oczywiście jest funkcją od x) równa się 0. Oczywiście e do -2x nigdy nie jest równe 0. Wynika stąd, że v''(x) musi się równać 0. Otrzymaliśmy więc nowe równanie różniczkowe drugiego rzędu. Wiemy, że druga pochodna v(x) jest równa 0. Musimy teraz dwa razy scałkować obie strony równania. Całkując raz, otrzymujemy, że pierwsza pochodna v jest równa pewnej stałej c1. Całkując po raz drugi, dostajemy v(x) jest równe c1 razy x, dodać inna stała c2. Przypomnijmy sobie, co założyliśmy na początku? Przypuszczaliśmy, że rozwiązaniem naszego równania będzie funkcja v przemnożona przez pierwsze znalezione przez nas rozwiązanie, czyli e do potęgi -2x. Kiedy podstawiliśmy to g do naszego równania różniczkowego, potrafiliśmy rozwiązać je ze względu na v. I wyszło nam v równe c1 razy x, dodać c2. To bardzo ciekawe. Ile jest więc równe g? Zauważmy, że już sprawdziliśmy, że na pewno jest ono rozwiązaniem naszego równania różniczkowego. g jest równe v(x) razy e do potęgi -2x. Ponieważ v jest równe c1 razy x, dodać c2, to g równa się c1 razy x razy e do -2x, dodać c2 razy e do -2x. Teraz znaleźliśmy rozwiązanie ogólne. Mamy dwie stałe, więc oba warunki początkowe będą spełnione. Znaleźliśmy przy okazji ogólny wzór. Jeśli mamy pierwiastek podwójny równania charakterystycznego, rozwiązanie ogólne będzie takiej postaci: w każdym wyrazie występuje e do odpowiedniej potęgi, ale raz pomnożymy je jeszcze przez x. To działa dla każdego jednorodnego liniowego równania różniczkowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Do zobaczenia w następnym filmie! .