Metoda nieokreślonych współczynników 1 — film z polskimi napisami

Teraz jesteśmy gotowi do rozwiąznia niejednorodnego liniowego równania różniczkowego drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami. Co to wszystko znaczy? Cóż oznacza to że równanie będzie wyglądało tak. A razy druga pochodna plus B razy pierwsza pochodna plus C razy funkcja równa się g od x. Zamin zrobimy konkretny przykład, chciałbym pokazać wam coś interesującego. Ogólne rozwiązanie tego niejednorodnego równania jest tak naprawdę równe ogólnemu rozwiązaniu jednorodnego równania plus szczególne rozwiązanie. Zaraz wytłumaczę co to oznacza. Załóżmu więc że h jest rozwiązaniem jednorodnego równania. h jest jednorodne. I to będzie dobrze pasowało, bo h jak jednorodne(ang. homogeneous). h jest rozwiązaniem dla równania jednorodnego. Powinien istnieć jakiś skrócony zapis dla jednorodności. Co to znaczy? Oznacza to że A razy druga pochodna h plus B razy pochodna h plus C razy h jest równe 0. To miałem na myśli, kiedy powiedziałem że h jest rozwiązaniem -- i właściwie na razie powiedzmy, że h jest ogólnym rozwiązaniem dla tego jednorodnego równania. I teraz umiemy to rozwiązać. Trzeba znaleźć równanie charakterystyczne, zależne od tego ile mamy pierwiastków oraz czy są one rzeczywiste czy zespolone. I możesz znaleźć rozwiązanie ogólne. Następnie jeżeli masz warunki początkowe, możesz je podstawić i wyliczyć wartości stałych. No dobrze. Załóżmy teraz ze g jest rozwiązaniem. Jednak nie, już użyłem g tutaj. Cóż, nie lubię używać samogłosek. Powiedzmy j. Załóżmy że j jest szczególnym rozwiązaniem tego równania różniczkowego. Co to znaczy? Rozumiemy przez to że A razy druga pochdona j plus B razy pochodna j plus C razy j jest równe g od x. Prawda? Zdefiniowaliśmy więc właśnie j od x jako rozwiązanie szczególne. Zamierzam wam teraz pokazać, że j od x plus h od x także jest rozwiązaniem wyjściowego równania. I to jest rozwiązanie ogólne dla tego niejednorodnego równania. Zanim jednak to udowodnię matematycznie, zastanówmy się jaką możemy mieć tu intuicję? Cóż, kiedy podstawisz tutaj h otrzymasz zero. Kiedy podstawisz j tutaj, to otrzymasz g od x Tak więc, kiedy dodasz je do siebie to otrzymasz 0 plus g od x. Otrzymasz więc tutaj g od x. I właśnie teraz Ci to pokażę. Powiedzmy że chce podstawić tutaj h plus j. I zrobię to w innym kolorze. A -- więc druga pochodna sumy tych dwóch funkcji jest równa sumie drugich pochodnych tych funkcji -- plus B razy pierwsza pochodna sumy plus C razy suma tych funkcji. Moim celem jest teraz pokazanie, że to jest równe g od x. Więc jak można to uprosicić? Cóż, jeżeli pogrupujemy wszystkie wyraz z h to otrzymamy A razy druga pochodna h plus B razy pochodna h plus C razy h, plus, zajmijmy się teraz wyrazami z j, A razy druga pochodna j plus B razy pochodna j plus C razy j. Zgodnie z tym jak zdefiniowaliśmy h i j, czemu to wszysko jest równe? Powiedzieliśmy, że h jest rozwiązaniem jednorodnego równania, czyli całe to wyrażenie wynosi 0. Czyli to jest równe 0. Oraz zgodnie z naszą definicją j, czemu to jest równe? Założliśmy, że j jest szczególnym rozwiązaniem niejenorodnego równania, czyli to wyrażenie jest równe g od x. Tak więc, jeżeli podstawiasz h plus do tego równania różniczkowego, to po lewej i po prawej stronie otrzymamy g od x. Pokazaliśmy właśnie, że jeżeli zdefiniujemy h i j w ten sposób. i funkcja, nie wiem, nazwijmy ją k od x jest równa h od x plus h od x, kończy mi się miejsce, to jest to rozwiązanie ogólne. Co prawda nie udowodniłem jeszcze że jest to najbardziej ogólne rozwiązanie, ale sądzę że macie taką intuicję, prawda? Ponieważ ogólne rozwiązanie jednorodnego było tym najbardziej ogólnym rozwiązaniem i teraz kiedy dodajemy szczególne rozwiązanie, otrzymujemy g od x po prawej stronie równania. To wszystko może wydawać Ci się trochę pogmatwane więc może lepiej zróbmy teraz przykład z konkretnymi liczbami. Sądzę, że to będzie dużo bardziej zrozumiałe. Powiedzmy, że mamy równanie różniczkowe -- i zamierzam was teraz nauczyć sposobu na znajdowanie j takiego jak w ostatnim przykładzie. Więc jak możemy znaleźć to rozwiązanie szczególne? Powiedzmy że mam równanie różniczkowe: druga pochodna y minus 3 razy pierwsza pochodna minus 4 razy y równa się 3e do 2x. Tak więc, pierwszym krokiem jest znalezienie ogólnego rozwiązania jednorodnego równania. I jak w przykładzie, który właśnie zrobiłem, to będzie nasze h od x. Chcemy znaleźć rozwiązanie, gdy druga pochodna y minus 3 razy pochodna y minus 4y równa się zero. Wypiszmy równanie chakrakterystyczne. I to jest równe zero. r minus 4 razy r plus 1 równa się 0. 2 pierwiastki, r może być 4 lub minus 1 A więc nasze rozwiązanie ogólne -- nazwę je h. Cóż jednak to ogólne nazwijmy y. y z indeksem g. A więc nasze rozwiązanie ogólne jest równe -- i robiliśmy to już wiele razy -- C1 e do 4x plust C2 e do minus 1x, lub minus x. No dobrze. A więc rozwiązaliśmy jednorodne równanie. Więc teraz jak otrzymamać (tak jak w ostatnim przykładzie) j od x, które będzie szczególnym rozwiązaniem, takim aby po prawej stronie otrzymać to. Musimy po prostu trochę pomyśleć. I ta metoda nazywana jest Metodą Współczyników Nieokreślonych (metoda przewidywań) Musimy pomyśleć, cóż, jeżeli chcemy funkcje, której gdy weźmiemy drugą pochodną i dodamy albo odejmiemy pewną wielokrotność pierwszej pochodnej minus pewna wielokrotność funkcji, to otrzymamy e do 2x. Ta funkcja i jej pierwsza oraz druga pochodna muszą zawierać w jakiejś formie coś razy e do 2x. Więc zasadniczo będziemy zgadywać. Zastanówmy się teraz jak może wyglądać to coś, że gdy bierzemy różne pochodne czy tę funkcje i mnożymy je przez ich wielokrotności i dodajemy to wszystko do siebie, i to wszystko, tak że otrzymalibyśmy e do 2x lub pewną wielokrotność e do 2x. Cóż dobrym przypuszczeniem, mogłoby tu być po prostu j -- cóż nazwę to y szczególne (ang praticular). Rozwiązaniem szczególnym mogłoby tutaj być -- i rozwiązanie szczególne jest tu trochę inne niż rozwiązanie szczególne, kiedy mieliśmy warunki początkowe. Tutaj możemy przedstawić to jako rozwiązanie szczególne. Rozwiązanie które da nam prawą stronę tej równości. Powiedzmy że jedno które wybiore to będzie pewna stała A razy e do 2x. Jeżeli to jest moje przypuszeczenie, wtedy pochodna tego jest równa 2Ae do 2x. I druga pochodna tego mojego szczególnego rozwiązania, jest równa 4Ae do 2x. Teraz możemy podstawić to tutaj i zobaczymy czy mogę rozwiązać to dla A, i jeśli tak to będę miał moje rozwiązanie szczególne. Więc druga pochodna to jest to. Otrzymałem więc 4Ae do 2x minus 3 razy pierwsza pochodna. Więc minus 3 razy to. Tak więc, minus 6Ae do 2x minus 4 razy funkcja. Więc minus 4Ae do 2x i to wszystko ma być równe 3 e do 2x. Cóż, wiemy że e do 2x nie jest równe zero, więc możemy podzielić przez nie obie strony. Można po prostu nie brać tego pod uwagę, naprawdę. Pozbądźmy się więc tych wszystkich e do 2x A więc po lewej stronie mamy 4A i minus 4A. Cóż, one się skrócą. I oto otrzymujemy, minus 6A równa się 3. Dzieląc obie strony przez 6 otrzymujemy, że A równa się minus 1/2. A więc. Mamy nasze rozwiązanie szczególne. Jest ono równe minus 1/2 e do 2x. I teraz pokażę wam podobnie, jak zanim wyczyściłem ekran, nasze ogólne rozwiązanie tego niejednorodnego równania, które będzie równe rozwiązaniu szczególnemu plus rozwiązanie ogólne równania jednorodnego. Tak więc, możemy nazwać to najbardziej ogólnym rozwiązaniem -- no nie wiem, może nazwę je po prostu y. To nasze rozwiązanie ogólne: C1e do 4x plus C2e do minus x plus rozwiązanie szczególne, które znaleźliśmy. Czyli to będzie minus 1/2 e do 2x. Nieźle :) . Tak czy inaczej, zrobię trochę więcej przykładów. I myślę, że zrozumiesz główną idee. W następnym przykładzie, będzie jednak co innego niż e do 2x czy jakaś inna funcja e. Spróbujemy coś zrobić coś z wielomianami i funcjami trygonometrycznymi. Do zobaczenia w następnym video.