Metoda nieokreślonych współczynników 2 — film z polskimi napisami

Zróbmy więcej przykładów nieliniowych równań. Zajmijmy się więc tym samym przykładem zmienińmy jednak prawą strone równania. Ponieważ uważam że w gruncie rzeczy wiesz jak rozwiązać jednorodną wersje. Tak więc, zajmijmy się tym sam problemem co w ostantim video. Druga pochodna y minus 3 razy pierwsza pochodna y minus 4 razy funkcja. I teraz w ostatnim przykładzie nieliniowa cześć była równa 3e do 2x. Mamy już dosyć zabawy z funkcjami wykładniczymi, więc niech ta będzie trygonometryczna. Powiedzmy więc że to jest równe 2 sinus x. A więc pierszym krokiem, który zrobisz, jest to co już robiliśmy. W gruncie rzeczy rozwiążesz jednorodne równanie. Więc lewa strona jest równa zero. Rozwiążesz to poprzez znalezienie równania charakterystycznego r do kwadratu minus 3r minus 4 równa się 0. Otrzymujesz rozwiązenie: r jest równe 4 lub r jest równe minus 1, następnie znajdujesz rozwiązanie ogólne. Robliśmy to w ostatnim video. Otrzymujesz rozwiązanie ogólne równania jednorodnego. Może nazwiemy to rozwiązaniem jednorodnym. y jednorodne. Otrzymaliśmy C1 e do 4x plus C2 e do minus x. I to wszytko jest ok, jeżeli jednak chcemy otrzymać rozwiązanie ogólne tego niejednorodnego równania, musimy mieć rozwiazanie jednodorodnego równania, czyli wtedy kiedy to jest równe 0, i dodać do tego rozwiązanie szczególne, które spełnia to równanie. Coś co to spełnia -- kiedy weźmiesz drugą pochodną odejmiesz 3 razy pierwszą pochodną i odejmiesz 4 razy funkcję, to otrzymasz 2 sinus x. I tu po raz kolejny, wykorzystamy współczynniki nieokreślone. Współczynniki nieokreślone, po prostu pomyśl przez chwilę. Jaka funkcja, jeżeli weźmę jej drugą pochodną i pierwszą pochodną i dodam albo odejmę ich wielkrotności od siebie, to otrzymam sinus x? Cóż, dwie funkcje z których otrzymasz sinus x, kiedy weźmiesz pierwszą i drugą pochodną. To jest sinus x i cosinus x. I to jest dobre przypuszczenie. I jest to czym naprawdę zajmujemy się w metodzie współczynników nieokreślonych (metoda przewidywań). Przewidujesz jaką postać ma rozwiązanie szczególne a następnie rozwiązujesz dla nieokreślonych współczynników. Powiedzmy więc że naszym przypuszczeniem jest y równe -- Nie wiem, może jakiś współczynnik razy sinus x. Jeżeli jednak tu byłby sinus dwóch x umieściłbym tutaj A razy sinus dwóch x. Tylko dlatego że ciągle chce aby -- nie ważne co stanie się tutaj -- sinus dwóch x lub cosinus 2x ciągle istniał. Jeżeli tutaj byłby sinus 2x to tu nie mógbym nic zrobić z sinusem x a przynajmniej nic łatwego nie mógłbym zrobić z sinusem x jeżeli chciałbym na koniec otrzymać sinus 2x. Więc cokolwiek jest tutaj, chce mieć to samo tutaj. Plus B, pewnien nieokreślony wspóczynnik, razy cosinus x. I jeszcze raz, jeżeli tutaj byłby sinus 2x. To tutaj chciałbym mieć cosinus 2x. Wyliczmy więc pierwszą i drugą pochodną. Pierwsza pochodna y jest równa A cosinus x. Pochodna cosinusa jest równa minus sinus, więc minus B sinus x. I druga pochodna -- Zapiszę ją tu. Czemu jest równa druga pochodna? Pochodna cosinus to jest minus sinus, więc minus A sinus x minus B cosinus x. Sądzę, że zaczynasz widzieć, że najtrudniejszą rzeczą w rozwiązywaniu równań różniczkowych jest nierobienie błedów wynikających z nieuwagi. To dużo algebry i sporo dość podstawowych rachunków. I prawdziwą sztuką jest nierobienie błędów spowodowanych nieuwagą. Za każdym razem kiedy to powiem, prędzej czy później zrobię jeden. Czyli muszę się teraz dodatkowo skupić. Więc tak czy inaczej, weźmy to i podstawmy spowrotem do tego niejednorodnego równania. Zobaczmy czy umiem to rozwiązać dla A i B. A więc druga pochodna jest taka. Przepiszę to tylko tutaj, żebyś widział co robię. Zamierzam więc policzyć drugą pochodną y, to będzie minus A sinus x minus B cosinus x. Zamierzam dodać do tego minus 3 razy pierwszą pochodną. Zapiszę sinusy pod sinusami oraz cosinusy pod cosinusami. Więc minus 3 razy to. Więc sinus jest, spójrzmy. To jest plus 3B sinus x minus 3 razy to. Więc minus 3A cosinus x. Następnie minus 4 razy nasza wyjściowa funkcja. Czyli minus 4A sinus x. Prawda? Minus 4 razy to. Minus 4 razy to. Minus 4B cosinus x. I kiedy zsumuje to wszystko, --to w zasadzie lewa strona tego równania -- kiedy zsumuje to wszystko, będzie równe 2 sinus x. Mogłem zapisać to wszystko w jednej lini, ale wtedy byłoby to bardziej mylące. A w ten sposób jest nam łatwiej dodać do siebie sinusy i cosinusy. Więc jeżeli dodadm do siebie wszystkie współczynniki stojące przed sinusem x otrzymam minus A plus 3B minus 4A. Czyli to będzie minus 5A plus 3B sinus x plus -- i teraz jakie są tutaj współczynniki? Mam minus B i znowu mam minus 4B, czyli minus 5B dalej mam minus 3A. Więc mam minus 3A minus 5B cosinus x. Tutaj powinien być cosinus x. Tak więc w każdym razie, jak mam rozwiązać to dla A i B? Cóż, mam minus 5A plus 3B jest równe jakiemuś wspóczynnikowi stojącemu przed tym sinusem x. Tak więc minus 5A plus 3B musi być równe 2. Następnie minus 3A minus 5B jest współczynnikem stojącem przed cosinusem x, pomimo że go trochę ścisnąłem, to tutaj jest cosinus x, prawda? Czyli to musi być równe jakiemuś wspóczynnikowi stojącemu przed cosinusem x, który jest po prawej stronie. Cóż współczynnik przy cosinusie x, tego po prawej stronie, jest równy 0. Czyli mamy w ten sposób układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi. Układ liniowy. Otrzymujemy więc minus 5A plus 3B równa się 2. Oraz otrzymujemy minus 3A minus 5B równa się 0. Spójrzmy teraz czy umiem to trochę uprościć. Zobaczmy. To jest układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi. Co jeśli pomnożę górne przez 5/3, tak? Pomnóżę, więc naprawdę górne równanie przez 5/3. Otrzymam minus 25/3 A plus 5B równa się 5/3 razy to. 5/3 razy 2 wynosi 10/3. Oraz dolne równanie: minus 3A minus 5B wynosi 0. Dodam do siebie te dwa równania. Otrzymam 10/3 równa się -- to się skróci. To jest minus 25/3. minus 9/3 A równa się 10/3 Zaczyna siętu robić większy bałagan niż bym tego chciał, ale poradzimy sobie z tym. Więc minus 25 minus 9. Ile wynosi minus 25 minus 9? To jest 34. Otrzymaliśmy więc 34A przez 3 równa sę 10/3. Możemy obie strony pomnożyć przez 3. Oraz podzielić obie strony przez 34. A równa się 10/34, co po skróceniu równa się 5/17. Miła - brzydka liczba. 5/17 i teraz możemy rozwiązać to dla B. Zobaczmy. Minus 3 razy A, minus 3 razy A 5/17 minus 5B równa się 0. A więc co to jest? Minus 15/17 równa się plus 5B. Przeniosłem to na prawą stronę. A następnie podzielę obie strony przez 5. I wiecie co? Właśnie zdałem sobie sprawę, że zrobiłem tutaj błąd rachunkowy. Minus 25 minus 9. To jest minus 34 przez 3. czyli minus 34A wynosi 10. A wynosi minus 10/34, czyli minus 5/17. Więc mamy minus 3 razy minus 5/17. Tak więc 5/17 równa się plus 5B, prawda? Następnie otrzymujemy, że B równa się 3/17. To było trudne. Zauważcie, że trudną częścią było tutaj nie zgubienie znaku minus. Tak czy inaczej, mamy teraz szczególnego rozwiązanie tego. Przepiszę to w mniej mdłym kolorze, chociaż myślę, że znowu wybrałem mdły. Rozwiązaniem szczególnym jest A, minus 5/17 sinus x -- prawda? To był współczynnik przy sinusie x -- plus B, plus 3/17 razy cosinus x. Jeżeli spojrzymy na nasz wyjściowy problem, rozwiazanie ogólne tego niejednorodnego równania będzie wynosiło -- rozwiązanie ogólne równania jednorodnego, które robiliśmy juz na wielu filmach video-- plus nasze rozwązanie szczególne, do którego użyliśmy metody współczynników nieokreślonych (metody przewidywań). Tak więc jeżeli weźmiesz to i dodasz to do tego, to zrobiłeś już wszystko. Kończy mi się czas. Do zobaczenia w następnym video.