Główna zawartość

Kurs: Geometria (cały materiał) > Rozdział 14

Lekcja 3: Długość łuku (gdy kąt mierzymy w stopniach)

Wyzwanie: Długość łuku 1

Rozwiąż cztery trudne zadania, które wymagają znalezienia długości łuku bez bezpośredniego podania miary kąta.

Zadanie 1

Na poniższym rysunku

\overset{―}{D B}

oraz

\overset{―}{A C}

to średnice okręgu

P

. Długość

\overset{―}{P B}

wynosi

8

jednostek.

Ile wynosi długość łuku $\overset{⌢}{D C}$ ‍?

Staramy się obliczyć długość części obwodu okręgu

P

, która zaczyna się w punkcie

D

i kończy się w punkcie

C

Najpierw obliczmy cały obwód, następnie rozwiążmy proporcję i obliczmy długość łuku na podstawie miary kąta podanej w stopniach.

Wiemy, że długość promienia okręgu

P

wynosi

8

jednostek, ponieważ

\overset{―}{P B}

jest promieniem.

$\begin{aligned} Obwód & = 2 π r \\ = 2 π (8) \\ = 16 π \end{aligned}$ ‍

Miara łuku jest równa mierze kąta środkowego, który opiera się na tym łuku.

Ponieważ

\overset{―}{C A}

jest średnicą,

∠ C P D

oraz

∠ D P A

są dopełniające do kąta półpełnego.

$m ∠ C P D + 60^{\circ} = 180^{\circ}$ ‍

Miara łuku

\overset{⌢}{D C}

wynosi

120^{\circ}

Nareszcie możemy ułożyć proporcję żeby obliczyć część obwodu, na której opiera się ten kąt.

$\begin{aligned} \frac{długość łuku}{obwód} & = \frac{miara łuku}{stopnie w okręgu} \\ \frac{długość łuku}{16 π} & = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \\ długość łuku & = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 16 π \\ = \frac{16}{3} π \end{aligned}$ ‍

Długość łuku

\overset{⌢}{D C}

wynosi

\frac{16}{3} π

Zadanie 2

Na poniższym rysunku długość promienia okręgu

P

wynosi

6

jednostek.

Ile wynosi długość łuku $\overset{⌢}{A B C}$ ‍
Wpisz odpowiedź posługując się $π$ ‍ lub użyj $3, 14$ ‍ zamiast $π$ ‍ i wpisz odpowiedź w postaci ułamka dziesiętnego.

Staramy się obliczyć długość części obwodu okręgu

P

, która zaczyna się w punkcie

A

, przechodzi przez punkt

B

i kończy się w punkcie

C

Najpierw obliczmy cały obwód, następnie rozwiążmy proporcję i obliczmy długość łuku na podstawie miary kąta podanej w stopniach.

Wiemy, że długość promienia okręgu

P

wynosi

6

jednostek, ponieważ

\overset{―}{C P}

jest promieniem.

$\begin{aligned} Obwód & = 2 π r \\ = 2 π (6) \\ = 12 π \end{aligned}$ ‍

Miara danego łuku jest równa mierze kąta środkowego opartego na tym łuku.

Suma miar łuków

\overset{⌢}{A B}

oraz

\overset{⌢}{B C}

jest równa mierze łuku

\overset{⌢}{A B C}

$111^{\circ} + 129^{\circ} = 240^{\circ}$ ‍

Nareszcie możemy ułożyć proporcję żeby obliczyć część obwodu, na której opiera się ten kąt.

$\begin{aligned} \frac{długość łuku}{obwód} & = \frac{miara łuku}{stopnie w okręgu} \\ \frac{długość łuku}{12 π} & = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \\ długość łuku & = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 12 π \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍

Długość łuku

\overset{⌢}{A B C}

wynosi

8 π

Zadanie 3

Na poniższym rysunku

\overset{―}{B C}

to średnica okręgu

P

. Długość

\overset{―}{B P}

wynosi

3

jednostki.

Ile wynosi długość łuku $\overset{⌢}{A C D}$ ‍?
Wpisz odpowiedź posługując się $π$ ‍ lub zapisz odpowiedź w postaci ułamka dziesiętnego zaokrąglonego z dokładnością do liczby całkowitej.

Staramy się obliczyć długość części obwodu okręgu

P

, która zaczyna się w punkcie

A

, przechodzi przez punkt

C

i kończy się w punkcie

D

Najpierw obliczmy cały obwód, następnie rozwiążmy proporcję i obliczmy długość łuku na podstawie miary kąta podanej w stopniach.

Wiemy, że długość promienia okręgu

P

wynosi

3

jednostki, ponieważ

\overset{―}{B P}

jest promieniem.

$\begin{aligned} Obwód & = 2 π r \\ = 2 π (3) \\ = 6 π \end{aligned}$ ‍

Z wykresu wynika, że potrzebujemy całego okręgu oprócz łuku o mierze

35^{\circ}

$360^{\circ} - 35^{\circ} = 325^{\circ}$ ‍

Miara łuku

\overset{⌢}{A C D}

wynosi

325^{\circ}

Nareszcie możemy ułożyć proporcję żeby obliczyć część obwodu, na której opiera się ten kąt.

$\begin{aligned} \frac{długość łuku}{obwód} & = \frac{miara łuku}{stopnie w okręgu} \\ \frac{długość łuku}{6 π} & = \frac{325^{\circ}}{360^{\circ}} \\ długość łuku & = \frac{325^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 6 π \\ = \frac{65}{12} π \end{aligned}$ ‍

Długość łuku

\overset{⌢}{A C D}

wynosi

\frac{65}{12} π

Zadanie 4

Na poniższym rysunku

∠ A P B ≅ ∠ B P C

. Długość

\overset{―}{P B}

wynosi

4

jednostki.

Ile wynosi długość łuku $\overset{⌢}{B C}$ ‍ na okręgu $P$ ‍?
Wpisz odpowiedź posługując się $π$ ‍ lub użyj $3, 14$ ‍ zamiast $π$ ‍ i wpisz odpowiedź w postaci ułamka dziesiętnego.

Staramy się obliczyć długość części obwodu okręgu

P

, która zaczyna się w punkcie

B

i kończy się w punkcie

C

Najpierw obliczmy cały obwód, następnie rozwiążmy proporcję i obliczmy długość łuku na podstawie miary kąta podanej w stopniach.

Wiemy, że długość promienia okręgu

P

wynosi

4

jednostki, ponieważ

\overset{―}{P B}

jest promieniem.

$\begin{aligned} Obwód & = 2 π r \\ = 2 π (4) \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍

Miara łuku jest równa mierze kąta środkowego, który opiera się na tym łuku.

Suma kątów środkowych w każdym okręgu wynosi

360^{\circ}

. Wiemy, że kąt

∠ A P B

oraz

∠ B P C

są przystające.

$\begin{array}{r} m ∠ A P B + m ∠ B P C + 152^{\circ} = 360^{\circ} \\ 2 (m ∠ B P C) + 152^{\circ} = 360^{\circ} \\ m ∠ B P C = 104^{\circ} \end{array}$ ‍

Miara kąta

∠ B P C

wynosi

104^{\circ}

. Miara łuku

\overset{⌢}{B C}

też wynosi

104^{\circ}

Nareszcie możemy ułożyć proporcję żeby obliczyć część obwodu, na której opiera się ten kąt.

$\begin{aligned} \frac{długość łuku}{obwód} & = \frac{miara łuku}{stopnie w okręgu} \\ \frac{długość łuku}{8 π} & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \\ długość łuku & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 8 π \\ = \frac{104}{45} π \end{aligned}$ ‍

Długość łuku

\overset{⌢}{B C}

wynosi

\frac{104}{45} π

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.