Promień, średnica, obwód i π

Okrąg to bez wątpienia najbardziej fundamentalny kształt we Wszechświecie. Okrągłe są orbity planet… koła pojazdów… również na poziomie atomów dominuje kształt okręgu. Okręgi są wszędzie. Warto więc poznać cechy tej niezwykłej figury. Kiedy ludzie wynaleźli koło znali już ten kształt na przykład z Księżyca w pełni. A zatem, jakie cechy ma okrąg? Zacznijmy od podstaw. Okrąg to zbiór wszystkich punktów leżących w równej odległości od środka. Wszystkie te punkty są tak samo odległe od środka. Można zapytać jak nazywa się równa odległość wszystkich punktów od środka. Tę odległość nazywamy promieniem. To po prostu dystans od środka do okręgu. Jeśli tu są 3 centymetry, to tu będzie tyle samo. I tu także, bo ta wartość jest stała. Okrąg to zbiór punktów leżących w danej odległości od punktu w środku. Ta odległość to właśnie promień. Kolejna cecha okręgu… Ktoś mógłby zapytać: jak duży jest okrąg? Jak szeroki jest w najszerszym miejscu, czyli przecięty przez środek? Jaki ma tam wymiar? To nie musi być ta linia; równie dobrze mógłbym ją poprowadzić tak. Nie w ten sposób bo linia musi biec w najszerszym miejscu. Przez środek można przeciąć okrąg w wielu miejscach. Wiemy już, co to jest promień i wiemy, że zaczyna się w środku okręgu. Więc nasza linia to właściwie dwa promienie. Jeden promień… i drugi promień. Taki odcinek tnący okrąg przez środek nazywamy średnicą. To jest średnica okręgu. Między średnicą a promieniem jest prosta zależność. średnica = 2 * promień Kolejną cechą okręgu jest jego długość. Wyjmujemy taśmę mierniczą i mierzymy okrąg w ten sposób. Jak nazywa się ta odległość? Długość okręgu. (Czyli obwód koła.) (Ang. "circle" znaczy i okrąg, i koło. Dla jasności przyjmijmy, że odtąd mamy do czynienia z kołem.) Wiemy już, jak się ma średnica do promienia. A jak ma się do nich obwód koła? Jak się ma obwód do średnicy i promienia? Wiele tysięcy lat temu ludzie z wielkim zapałem mierzyli promienie i obwody różnych kół. Używali różnych jednostek, ale jeśli – dajmy na to – zmierzyli, że obwód wynosi około 3… a potem mierzyli średnicę to wychodziło im, że średnica jest równa około 1. Zapiszmy to. Interesuje nas ta proporcja. Zapiszmy to inaczej. Stosunek… obwodu… …do średnicy. Stosunek obwodu do średnicy. Załóżmy, że mieli takie koło. Nie dysponowali wówczas jeszcze taśmą mierniczą. Zmierzyli to koło i ustalili, że ma mniej więcej 3 łokcie w obwodzie. Gdy zmierzyli średnicę tego koła, wyszło im około 1 łokcia. Stosunek obwodu do średnicy wyniósł w przybliżeniu 3 : 1. Obwód był około 3 razy większy od średnicy. Tak było z tym kołem. Weźmy inne, niech będzie mniejsze. Ktoś zmierzył jego obwód i otrzymał 6 centymetrów. W przybliżeniu, bo miał kiepską miarkę. A potem zmierzył średnicę i uzyskał mniej więcej 2 centymetry. Następnie policzył stosunek obwodu do średnicy i znów okazało się, że wynosi on około 3. To stała cecha wszystkich kół. Stosunek obwodu do średnicy jest zawsze taki sam, bez względu na jednostki. Potem powstały dokładniejsze miarki. Zmierzyli średnicę swojego koła i uzyskali dokładnie 1. Po zmierzeniu obwodu otrzymali wynik 3,1. Wciąż w przybliżeniu. Już tym ludziom wyszło nieco więcej niż 3. Później mierzono coraz dokładniej… i po wielu kolejnych, coraz lepszych pomiarach uzyskano liczbę 3,14159… Dodawali kolejne cyfry, a liczba wciąż okazywała się niedokładna. Tak powstała iście magiczna liczba o fundamentalnym znaczeniu bo koło jest fundamentalnym kształtem dla Wszechświata. Ta liczba określa proporcje KAŻDEGO koła i okręgu. Uznano ją za tak ważną, że otrzymała nazwę. To jest liczba Pi. Najczęściej zapisuje się ją grecką literą Π. Kryje się pod nią ta liczba, chyba najbardziej fascynująca na świecie. Wiemy już, że określa stosunek obwodu do średnicy koła ale w trakcie swojej przygody z matematyką zobaczycie, że przewija się niemal wszędzie. To najmocniejsza przesłanka, że we Wszechświecie istnieje ład. Zobaczmy jednak, jak można ją wykorzystać w naszym zadaniu. Wiemy już, że stosunek obwodu koła… Mówiąc „stosunek” mam na myśli wynik dzielenia obwodu przez średnicę. Do jego średnicy… jest równy Π. Mógłbym tu napisać 3,14159 i tak dalej ale po co, skoro można to zastąpić prostą grecką literą Π. Co z tego wynika? Możemy pomnożyć obie strony przez średnicę i wyjdzie nam obwód = Π * średnica Albo, ponieważ średnica to 2 * promień możemy napisać, że obwód = Π * 2 * promień Ten wzór najczęściej zapisuje się w taki sposób: 2Πr Spróbujmy zastosować go w praktyce. Powiedzmy, że mamy koło. Takie koło. I znamy jego promień. Jest on równy 3. Napiszmy to: promień = 3 Powiedzmy, 3 metry. Jaki jest obwód tego koła? Obwód koła jest równy 2 * Π * promień: 2 * Π * 3 m To się równa 6 m * Π, czyli 6Π metrów. Mógłbym to przemnożyć, bo Π to zwykła liczba. Π = 3,14159... 6Π to będzie 18 i wiele liczb po przecinku. Można skorzystać z kalkulatora ale zwykle pozostawia się Π, bo każdy wie, ile wynosi Π. Gdybyśmy to przemnożyli uzyskalibyśmy w przybliżeniu 19 a dokładnie 18 i wiele cyfr po przecinku. Nie mam kalkulatora, więc zamiast tej długiej liczby pozostawię 6Π. Chyba jednak wynik byłby bliższy 19. Zadajmy inne pytanie: jaką średnicę ma to koło? Ile wynosi średnica? Skoro promień wynosi 3, to średnica dwa razy tyle. 3 m * 2 = 3 m + 3 m = 6 m obwód = 6Π m średnica = 6 m promień = 3 m Spróbujmy teraz odwrotnie. Narysuję kolejne koło. Wiadomo, że jego obwód wynosi 10 metrów. Obwód koła to droga, jaką trzeba przejść, żeby je okrążyć. Mamy obliczyć, ile wynosi jego średnica. Jak wiemy, średnica * Π albo Π * średnica równa się obwód, czyli w naszym przypadku 10 m. Teraz wystarczy podzielić obie strony przez Π. Średnica będzie równa 10 m / Π albo 10/Π metrów. 10/Π to liczba. Można wykonać to dzielenie na kalkulatorze i wyjdzie 3 przecinek coś tam metrów. Umiem liczyć takie rzeczy w pamięci, ale 10/Π to liczba, można ją tak zostawić. A jaki jest promień? Promień to połowa średnicy. Skoro ten odcinek to 10/Π metrów to długość tego odcinka będzie równa 1/2 * 10/Π metrów Tę dwójkę można skrócić i w liczniku zostaje 5. Wynik wynosi więc 5/Π. Promień jest równy 5/Π metrów. To nic trudnego. Jedyne, co sprawia ludziom problem, to zrozumienie, że Π jest liczbą. Pod tym symbolem kryje się 3,14159 i wiele dalszych cyfr. O liczbie Π i jej wartości napisano tysiące książek. No, może nie tysiące, ale bardzo wiele. Ludzie piszą o niej książki, ale Π to tylko liczba. Jeśli ktoś bardzo chce uzyskać normalnie wyglądającą liczbę może to sobie przemnożyć, ale zwykle zostawia się Π w spokoju. Na tym skończymy, a następnym razem omówię pole koła.