If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Geometria (cały materiał)

Kurs: Geometria (cały materiał) > Rozdział 14

Lekcja 12: Równanie okręgu w postaci rozwiniętej
Matematyka
Geometria (cały materiał)
Okręgi/Okręgów/Koła/Kół
Równanie okręgu w postaci rozwiniętej
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Przypomnienie równania okręgu

Google Classroom
Przypomnij sobie równanie okręgu w postaci kanonicznej i ogólnej i rozwiąż kilka zadań na ten temat.

Jak wygląda równanie okręgu w postaci kanonicznej?

left parenthesis, x, minus, start color #11accd, h, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, k, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, r, end color #e07d10, squared
Jest to standardowa forma równania okręgu o środku w punkcie o współrzędnych left parenthesis, start color #11accd, h, end color #11accd, comma, start color #ca337c, k, end color #ca337c, right parenthesis i promieniu start color #e07d10, r, end color #e07d10.
Równanie okręgu można też zapisać w postaci ogólnej, którą otrzymujemy z postaci kanonicznej przez rozwinięcie wyrażeń kwadratowych i uproszczenie wyrazów podobnych.
Na przykład, postać kanoniczna równania okręgu o środku w punkcie left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, comma, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis i promieniu start color #e07d10, 3, end color #e07d10 ma formę left parenthesis, x, minus, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, squared. A tak wygląda postać ogólna:
(x−1)2+(y−2)2=32(x2−2x+1)+(y2−4y+4)=9x2+y2−2x−4y−4=0\begin{aligned} (x-\blueD 1)^2+(y-\maroonD 2)^2&=\goldD 3^2 \\\\ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)&=9 \\\\ x^2+y^2-2x-4y-4&=0 \end{aligned}
Chcesz dowiedzieć się więcej o równaniach okręgu? Obejrzyj ten film.

Ćwiczenie 1: równanie okręgu w postaci kanonicznej

Zadanie 1.1
  • Prąd elektryczny
left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, 6, right parenthesis, squared, equals, 48
W jakim punkcie znajduje się środek tego okręgu?
left parenthesis
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
comma
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
Jaki jest jego promień?
Jeśli trzeba, zaokrąglij odpowiedź do dwóch miejsc po przecinku.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
jednostek

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia oraz do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 2: zapisywanie równań okręgów

Zadanie 2.1
  • Prąd elektryczny
Okrąg ma promień równy square root of, 13, end square root jednostek i środek w punkcie left parenthesis, minus, 9, comma, 3, ;, 4, comma, 1, right parenthesis.
Zapisz równanie tego okręgu.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 3: równanie okręgu w postaci ogólnej

Aby odczytać informację ukrytą w równaniu okręgu zapisanym w postaci ogólnej, powinniśmy zapisać je w postaci kanonicznej. Najprościej zrobić to za pomocą metody, znanej jako "uzupełnianie do pełnego kwadratu."
Rozważmy, na przykład, przekształcenie równania okręgu x, squared, plus, y, squared, plus, 18, x, plus, 14, y, plus, 105, equals, 0 z postaci ogólnej do postaci kanonicznej:
x2+y2+18x+14y+105=0x2+y2+18x+14y=−105(x2+18x)+(y2+14y)=−105(x2+18x+81)+(y2+14y+49)=−105+81+49(x+9)2+(y+7)2=25(x−(−9))2+(y−(−7))2=52\begin{aligned} x^2+y^2+18x+14y+105&=0 \\\\ x^2+y^2+18x+14y&=-105 \\\\ (x^2+18x)+(y^2+14y)&=-105 \\\\ (x^2+18x\redD{+81})+(y^2+14y\blueD{+49})&=-105\redD{+81}\blueD{+49} \\\\ (x+\redD9)^2+(y+\blueD7)^2&=25 \\\\ (x-(-9))^2+(y-(-7))^2&=5^2 \end{aligned}
Teraz widzimy, że środek okręgu znajduje się w punkcie left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis, a jego promień wynosi 5.
Zadanie 3.1
  • Prąd elektryczny
x, squared, plus, y, squared, minus, 10, x, minus, 16, y, plus, 53, equals, 0
W jakim punkcie znajduje się środek tego okręgu?
left parenthesis
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
comma
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
Ile jest równy promień tego okręgu?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
jednostek

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia oraz do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.