Obliczanie wartości kąta w stopniach

Skoro już wiemy, czym są kąty, pomówmy teraz o ich mierzeniu. O jednym sposobie wspominałem już w poprzednim odcinku. Kąt XYZ wydaje się bardziej rozwarty niż kąt BAC, więc być może miara kąta XYZ jest większa niż miara kąta BAC. I właśnie na tym polega mierzenie kątów. W tym odcinku chcę wam pokazać, jak to się robi. Narysowałem tu półokrąg przypominający przyrząd, który możecie kupić w szkolnym sklepiku. Do pomiaru kątów. A więc na tym rysunku mamy kątomierz. To kątomierz. Możecie nawet zrobić go sami z kawałka papieru. Półokrąg podzielony jest na 180 jednostek. Każda z tych kresek odcina 10 jednostek. Aby zmierzyć dowolny kąt, umieśćmy jedno z ramion kąta, czyli jedną z półprostych tworzących danych kąt. Teraz wierzchołek… wierzchołek naszego kąta umieszczamy w środku… w środku tego półokręgu, lub – jeśli to będzie kątomierz – w środku kątomierza, i jedno z ramion kąta umieszczamy na linii biegnącej od zera. Jedno ramię kąta na tej linii. Przeniosę ten kąt, tutaj, do naszego kątomierza. Jeśli tu jest Y, to Z będzie tutaj, a druga półprosta… YZ… przepraszam, YX w tym przypadku, będzie biegła mniej więcej tak. Linia ta wskazuje… wskazuje na skali kątomierza… tu mamy 70 jednostek… tu 80 jednostek… więc wskazuje mniej więcej 77 jednostek. Zapiszmy: 77 jednostek. Kiedy mierzymy kąt, w tym przypadku kąt XYZ… mam nadzieję, że dobrze go wrysowałem. …mówimy, że miara kąta XYZ… Czasem się mówi: „kąt ma tyle a tyle”, ale prawidłowo jest tak: miara kąta XYZ wynosi 77… Każda z tych jednostek… to tak zwany „stopień”. Czyli miara tego kąta wynosi 77… Zwykle zapisujemy to tak… podobnie jak temperaturę w stopniach. 77 stopni można zapisać tak, albo napisać „stopni”. To tak zwana „miara stopniowa”. Lecz kąty możemy mierzyć nie tylko w stopniach. Są również inne miary kątów. Gdy dojdziemy do trygonometrii, będziemy je mierzyć nie tylko w stopniach, ale także w „radianach”. Ale o tym kiedy indziej. Zmierzmy drugi kąt, czyli kąt BAC. I znów punkt A umieszczam w środku, a półprostą AC ustawiam na linii wskazującej zero stopni na naszym półokręgu, czy też kątomierzu, a następnie półprostą AB… Mam nadzieję, że wyjdzie tak jak tutaj, bo normalnie przykładamy kątomierz do kąta. Drugie ramię biegnie mniej więcej tak. I jak widać, wskazuje… przyjmijmy, że dokładnie, na znak „30 stopni”. Czyli możemy zapisać, że miara kąta BAC wynosi 30 stopni. Jeśli porównamy te dwie liczby, 77 stopni to więcej niż 30 stopni, więc ten kąt jest większy. I słusznie, bo ten kąt jest bardziej rozwarty. A teraz pokażę wam kilka różnych kątów. Jeśli kąt ma zero stopni, to jego ramiona się pokrywają, i mamy tylko półprostą. Jeśli będziemy go coraz bardziej rozchylać, to w końcu jedna z półprostych będzie pionowa, a druga pozioma. Taki kąt wyglądałby tak… Taki kąt wygląda tak. jedna półprosta jest pionowa, a druga jest pozioma. Można sobie także wyobrazić kąt, który wygląda tak. Jak widać, ramiona kąta nie są ani poziome, ani pionowe. Lecz jeśli go obrócimy… to będzie wyglądał, jak ten tutaj. Jedna półprosta będzie pionowa, a druga pozioma. Jak widać na naszym kątomierzu, miara tego kąta to 90 stopni. To bardzo ciekawy kąt. Z takimi kątami spotkamy się nie raz w geometrii i trygonometrii. Kąt, który ma 90 stopni, nazywamy „kątem prostym”. Jeśli obrócić ten kąt, będzie wyglądał identycznie, więc to też jest kąt prosty. Zapiszmy: kąt prosty. Kąt prosty tradycyjnie oznaczamy rysując w nim kwadracik (albo łuk z kropką). Teraz wiemy, że jeśli obrócimy ten kąt, to jedno jego ramię będzie pionowe, a drugie poziome. Jeśli odpowiednio go obrócimy. A jeśli kąt będzie coraz bardziej i bardziej rozwarty, to w końcu uzyskamy kąt, który wygląda tak. To kąt, którego dwa ramiona, czyli półproste, tworzą linię prostą. Dwie półproste, więc niech tu będzie punkt X, tu punkt Y, a tu Z. Możemy to nazwać kątem ZXY, choć ramiona są tak rozwarte, że tworzą linię prostą. Punkty Z, X i Y są współliniowe. Taki kąt bywa nazywany „kątem półpełnym”. Jego miara… miara kąta ZXY Miara kąta ZXY wynosi 180 stopni. Można pójść jeszcze dalej. Można zatoczyć pełny krąg, pełne koło, dotrzeć do 360 stopni, a potem krążyć dalej, wielokrotnie, ale tym zajmiecie się dopiero na lekcjach trygonometrii. Teraz jeszcze dwa terminy, które chcę wam zaprezentować. O innych rodzajach kątów powiem w kolejnej prezentacji. Jeśli kąt ma mniej niż 90 stopni… jeśli ma mniej niż 90 stopni… Na przykład oba kąty, od których zaczynaliśmy, mają mniej niż 90 stopni. Takie kąty nazywamy „kątami ostrymi”. Ten kąt jest ostry… To kąt ostry… i ten też jest ostry. Oba mają mniej niż 90 stopni. A co z kątem, który nie jest „ostry”? Też ma swoją nazwę. Taki kąt ma więcej niż 90 stopni, na przykład… Wezmę nowy kolor. Kąt, który wygląda tak… Narysuję go lepiej. Ten kąt wygląda tak. To jedno z jego ramion, jego półprostych, a drugie ramię jest tutaj, na podstawie. Ma więcej niż 90 stopni. Ile ma? Policzmy: tu jest 100, 110, 120, prawie 130. Powiedzmy, że ma 128 stopni. Taki kąt nazywamy „kątem rozwartym”. To kąt rozwarty. Łatwo to zapamiętać. Kąt ostry jest wąski jak nóż. Słowo „acute” (ang. kąt ostry) pochodzi z łaciny albo greki i znaczy „szpiczasty” albo „zaostrzony”. Wystarczy zapamiętać, że kąt ostry wygląda jak nóż. Kąt rozwarty moim zdaniem wygląda na duży i rozlazły. Tak go widzę, bo nie jest zgrabnie szpiczasty i wąski. Można tak sobie pomagać. To tylko ogólne nazewnictwo różnych rodzajów kątów. Mniej niż 90 stopni to kąt ostry; 90 stopni to kąt prosty; ponad 90 stopni to kąt rozwarty, a kąt mający 180 stopni tworzy linię prostą i nazywa się półpełny.