Główna zawartość
Geometria (cały materiał)
Kurs: Geometria (cały materiał) > Rozdział 7
Lekcja 9: Pole powierzchni trójkąta dla zaawansowanychPole trójkąta równobocznego
Wyznaczanie wzoru na pole trójkąta równobocznego o boku s. Stworzone przez: Sal Khan.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji
Transkrypcja filmu video
Załóżmy, że ten trójkąt tutaj
jest równoboczny, czyli że wszystkie jego boki
mają taką samą długość. Załóżmy, że ta długość to S. W tym filmie chcę pokazać w
jaki sposób można obliczyć pole takiego trójkąta
równobocznego, jako funkcji S. Aby to zrobić,
podzielę ten trójkąt równoboczny na dwie części. Z górnego wierzchołka poprowadzę
wysokość, która będzie prostopadła do podstawy i która
przepołowi ten górny kąt. Zatem ten kąt będzie równy temu kątowi. Takie rzeczy pokazywałem już wcześniej
w filmie, w którym udowadniałem związek pomiędzy bokami trójkąta
o kątach 30, 60, 90 stopni. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają 60 stopni. Więc ten tutaj będzie miał 60 stopni...
– zapiszę to innym kolorem – ten na dole
będzie miał 60 stopni, ten na dole będzie miał 60 stopni. Ten na górze również ma 60 stopni,
ale podzieliliśmy go na dwa, więc ten kąt będzie miał 30 stopni
i ten kąt będzie miał 30 stopni. Wiemy także, że wysokość
ta dzieli ten bok na pół, a więc ta długość
jest równa tej długości. To wszystko pokazaliśmy dużo bardziej
szczegółowo w filmie z trójkątami o kątach 30, 60, 90 stopni, ale
to mówi nam, że jeżeli ta cała długość wynosi S – jako że wszystkie
trzy boki w trójkącie równobocznym to S – to każda z tych części...
więc ta część tutaj to będzie S/2. Jeżeli ta część to S/2,
to możemy wykorzystać naszą wiedzę na
temat trójkątów o kątach 30, 60, 90 stopni żeby obliczyć ten
bok, czyli obliczyć wysokość trójkąta. Zależy nam na wyliczeniu
wysokości, ponieważ pole trójkąta to 1/2 razy
podstawa razy wysokość. Więc to jest S/2, krótszy
bok, bok przeciwległy do kąta 30 stopni, naprzeciwko kąta
30 stopni jest bok S/2. Bok naprzeciwko kąta 60 stopni wynosi √3S przez 2, czyli √3S/2. Znamy tę wartość ponieważ
znamy stosunki boków w trójkącie o kątach
30, 60, 90 stopni. Jeśli bok naprzeciw kąta
30 stopni wynosi 1, to bok naprzeciw kąta 60 stopni
będzie wynosił √3 razy 1, a bok naprzeciwko kąta 90 stopni,
czyli przeciwprostokątna, wynosi dwa razy tyle,
zatem mamy 1: √3: 2. Czyli to jest ten krótszy bok, bok naprzeciw kąta 30 stopni. Bok naprzeciw kąta 60 stopni to będzie √3 razy to, czyli √3S/2. Teraz musimy obliczyć, musimy obliczyć... jakie jest pole tego trójkąta,
używając wzoru, że pole jest równe 1/2 razy podstawa
razy wysokość trójkąta. Jaka jest zatem podstawa trójkąta? Cała podstawa trójkąta to S, więc to będzie S. Jaka jest wysokość tego trójkąta? To właśnie obliczyliśmy – to jest √3 razy S/2. Teraz przemnóżmy to i otrzymamy – najpierw
licznik – √3 razy 1 razy S razy S, więc √3 razy S kwadrat...
a mianownik to 2 razy 2 – wszystko
podzielone przez 4. Zatem przykładowo, jeżeli mielibyście
trójkąt równoboczny, którego boki byłyby równe 1, wtedy jego pole
wynosiłoby √3 podzielony przez 4. Pole trójkąta
równobocznego, którego boki byłyby równe
2, wynosiłoby... 2 razy 2 przez 4, czyli 1, więc mielibyśmy √3. A więc jest to ogólny
sposób obliczenia pola trójkąta równobocznego.