Pole trójkąta równobocznego

Załóżmy, że ten trójkąt tutaj jest równoboczny, czyli że wszystkie jego boki mają taką samą długość. Załóżmy, że ta długość to S. W tym filmie chcę pokazać w jaki sposób można obliczyć pole takiego trójkąta równobocznego, jako funkcji S. Aby to zrobić, podzielę ten trójkąt równoboczny na dwie części. Z górnego wierzchołka poprowadzę wysokość, która będzie prostopadła do podstawy i która przepołowi ten górny kąt. Zatem ten kąt będzie równy temu kątowi. Takie rzeczy pokazywałem już wcześniej w filmie, w którym udowadniałem związek pomiędzy bokami trójkąta o kątach 30, 60, 90 stopni. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają 60 stopni. Więc ten tutaj będzie miał 60 stopni... – zapiszę to innym kolorem – ten na dole będzie miał 60 stopni, ten na dole będzie miał 60 stopni. Ten na górze również ma 60 stopni, ale podzieliliśmy go na dwa, więc ten kąt będzie miał 30 stopni i ten kąt będzie miał 30 stopni. Wiemy także, że wysokość ta dzieli ten bok na pół, a więc ta długość jest równa tej długości. To wszystko pokazaliśmy dużo bardziej szczegółowo w filmie z trójkątami o kątach 30, 60, 90 stopni, ale to mówi nam, że jeżeli ta cała długość wynosi S – jako że wszystkie trzy boki w trójkącie równobocznym to S – to każda z tych części... więc ta część tutaj to będzie S/2. Jeżeli ta część to S/2, to możemy wykorzystać naszą wiedzę na temat trójkątów o kątach 30, 60, 90 stopni żeby obliczyć ten bok, czyli obliczyć wysokość trójkąta. Zależy nam na wyliczeniu wysokości, ponieważ pole trójkąta to 1/2 razy podstawa razy wysokość. Więc to jest S/2, krótszy bok, bok przeciwległy do kąta 30 stopni, naprzeciwko kąta 30 stopni jest bok S/2. Bok naprzeciwko kąta 60 stopni wynosi √3S przez 2, czyli √3S/2. Znamy tę wartość ponieważ znamy stosunki boków w trójkącie o kątach 30, 60, 90 stopni. Jeśli bok naprzeciw kąta 30 stopni wynosi 1, to bok naprzeciw kąta 60 stopni będzie wynosił √3 razy 1, a bok naprzeciwko kąta 90 stopni, czyli przeciwprostokątna, wynosi dwa razy tyle, zatem mamy 1: √3: 2. Czyli to jest ten krótszy bok, bok naprzeciw kąta 30 stopni. Bok naprzeciw kąta 60 stopni to będzie √3 razy to, czyli √3S/2. Teraz musimy obliczyć, musimy obliczyć... jakie jest pole tego trójkąta, używając wzoru, że pole jest równe 1/2 razy podstawa razy wysokość trójkąta. Jaka jest zatem podstawa trójkąta? Cała podstawa trójkąta to S, więc to będzie S. Jaka jest wysokość tego trójkąta? To właśnie obliczyliśmy – to jest √3 razy S/2. Teraz przemnóżmy to i otrzymamy – najpierw licznik – √3 razy 1 razy S razy S, więc √3 razy S kwadrat... a mianownik to 2 razy 2 – wszystko podzielone przez 4. Zatem przykładowo, jeżeli mielibyście trójkąt równoboczny, którego boki byłyby równe 1, wtedy jego pole wynosiłoby √3 podzielony przez 4. Pole trójkąta równobocznego, którego boki byłyby równe 2, wynosiłoby... 2 razy 2 przez 4, czyli 1, więc mielibyśmy √3. A więc jest to ogólny sposób obliczenia pola trójkąta równobocznego.