Euklides jako ojciec geometrii

„Prawa natury, to matematyczne myśli Boga” to cytat z Euklidesa z Aleksandrii, greckiego matematyka i filozofa, który żył ok. 300 lat przed Chrystusem. Użyłem tego cytatu, bo Euklidesa uważa się za ojca geometrii. Poza tym to świetny cytat. Niezależnie od tego, czy wierzycie w istnienie Boga, czy nie, mówimy o podstawowych prawach natury. „Prawa natury, to matematyczne myśli Boga” Matematyka to podstawa wszystkich praw przyrody. Słowo „geometria” pochodzi z greki. „Geo” to po grecku „Ziemia”, a „metria” to „miara”. Znamy przecież pojęcie „system metryczny”. Euklidesa uważa się za ojca geometrii nie dlatego, że jako pierwszy się nią zajmował, bo pewnie interesowała już pierwszych ludzi. Może ktoś zobaczył dwa patyki wyglądające tak, a dwa obok wyglądały tak – i zauważył, że odstęp jest większy. Jak to opisać. Może potem spojrzał na drzewo, którego gałąź wyrastała pod takim kątem i dostrzegł podobieństwo między tym kształtem a tym tutaj. Albo zadał sobie pytanie, jaki jest stosunek obwodu koła do jego średnicy? Czy taki sam dla wszystkich kół? Czy to tylko przeczucie, czy rzetelna prawda? W starożytnej Grecji ludzie zaczęli snuć dużo głębsze rozważania o geometrii otaczającego ich świata. Choćby wielki matematyk Pitagoras, który żył przed Euklidesem. Dlaczego więc za ojca geometrii uważa się Euklidesa? Mówi się wręcz o „geometrii euklidesowej”. Było to jakieś 300 lat przed Chrystusem. Oto obraz przedstawiający Euklidesa, pędzla Rafaela Santi. Nikt nie wie, jak wyglądał Euklides, ani kiedy zmarł. więc to tylko malarska wizja, przedstawiająca jego wykłady w Aleksandrii. Euklides stał się „ojcem geometrii”, ponieważ napisał dzieło pod tytułem „Elementy”. Czym były „Elementy”? To 13-tomowy podręcznik. Dodajmy: najbardziej znany podręcznik świata. W tych 13 tomach, dokonał bardzo wnikliwej, solidnej i logicznej analizy geometrii, teorii liczb i stereometrii, czyli geometrii przestrzennej. A to strona tytułowa pierwszego angielskiego wydania, a dokładniej pierwszego angielskiego tłumaczenia „Elementów”, które ukazało się w 1570 roku. Oczywiście najpierw wydano je po grecku, potem, we wczesnym Średniowieczu, przetłumaczono je na arabski, następnie z arabskiego na łacinę i w końcu z łaciny na angielski. Powiedziałem, że Euklides był solidny. Nie mówił: „Mam wrażenie, że w trójkącie prostokątnym, suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej”. Niedługo omówimy to twierdzenie. Mówił: „Nie zadowolę się tym, że to może być prawda. Chcę udowodnić, że to prawda”. Dlatego w „Elementach”, szczególnie w tomie 6, dotyczącym geometrii płaskiej… Właściwie we wszystkich, ale mówimy o geometrii. …zaczął od założeń podstawowych. Zaczął od założeń podstawowych. Te założenia podstawowe w języku matematyki to „aksjomaty” lub „postulaty”. Z tych aksjomatów wyprowadzał, czyli udowadniał wszystkie tezy, zwane w matematyce „twierdzeniami”. Mówił: „Skoro to i to jest prawdą, to również to musi być prawdą”. Tak samo udowadniał, że coś nie jest prawdą. Udowadniał fałszywość pewnych twierdzeń. Nie mówił: „Każdy okrąg, który widziałem, ma te cechy”. Mówił: „Dowiodłem, że tak jest”. Z udowodnionych twierdzeń możemy wyprowadzać kolejne twierdzenia, także z wykorzystaniem wcześniejszych aksjomatów. Niezwykłe, że nikt tego wcześniej nie zrobił. Nikt nie udowadniał twierdzeń w oparciu o całą, dostępną wiedzę. I nie był to jeden czy dwa dowody. Euklides przeprowadził dowód całej wielkiej gałęzi nauki. Dlatego mówiłem, że był solidny. Zbudował fundament wiedzy z tych aksjomatów, postulatów, teorii i hipotez. „Teoria” i „hipoteza” to jest to samo. Ten podręcznik był w użyciu przez prawie 2 tysiące lat – niewiarygodne. Ówcześni ludzie nie uznaliby za człowieka wykształconego kogoś, kto nie przeczytał i nie rozumiał „Elementy” Euklidesa. Ta książka to drugi najczęściej wydawany tytuł świata, zaraz po Biblii. Podręcznik matematyki ustępujący popularnością tylko Biblii! Gdy po raz pierwszy wydrukowano Biblię, zaraz potem wydano „Elementy”. Aby pokazać znaczenie tej książki w niezbyt odległej przeszłości, bo przyznacie, że w tej skali 150 czy 160 lat to niezbyt wiele, mam tu cytat z jednego z największych prezydentów USA, Abrahama Lincolna. Na tym zdjęciu widzimy go w wieku niespełna 40 lat. Był wielkim miłośnikiem „Elementów” Euklidesa i wykorzystywał dzieło do ćwiczenia umysłu. Podobno czytał je jeżdżąc konno, czytał je w Białym Domu. Oto , co napisał Lincoln: „W trakcie studiów prawniczych, wciąż napotykałem słowo «wykazać». Najpierw myślałem, że je rozumiem, lecz okazało się, że tak nie jest. Spytałem siebie: Co robię, gdy wykazuję więcej niż jestem w stanie udowodnić? Czym «wykazywanie» różni się od «udowadniania»?” Lincolna prześladowało słowo „wykazać”, zdefiniowane jako „udowodnić ponad wszelką wątpliwość”. To coś bardziej rygorystycznego niż poczucie, że ma się rację. „Sprawdziłem w słowniku Webstera” – ten słownik istniał już w tych czasach – „i okazało się, że to «dowód pewny, nie pozostawiający wątpliwości». Lecz nie miałem pojęcia, jaki to miałby być dowód. Myślałem, że wiele rzeczy udowodniono ponad wszelką wątpliwość bez przeprowadzania żmudnego procesu myślowego, za jaki uważałem wykazywanie. Sprawdzałem w innych słownikach, lecz nie znalazłem lepszej definicji. Równie dobrze można opisywać kolory komuś, kto nie widzi. Powiedziałem sobie: Lincoln” – mówi sam do siebie… „Powiedziałem sobie: Lincoln, nigdy nie zostaniesz prawnikiem, jeśli nie zrozumiesz, co znaczy «wykazywać». Opuściłem Springfield i wróciłem do domu mojego ojca, gdzie zostałem dotąd, aż umiałem udowodnić wszystkie twierdzenia z 6 ksiąg «Elementów» Euklidesa.” Pierwsze 6 ksiąg to geometria płaska. Gdy zrozumiałem, czym jest «wykazywanie», powróciłem na studia.” Ten wielki amerykański mąż stanu uznał, że aby być dobrym prawnikiem, trzeba umieć udowodnić wszystkie twierdzenia z 6 ksiąg „Elementów” Euklidesa z pamięci, bez namysłu. Co więcej, już w Białym Domu, Lincoln nadal doskonalił swój umysł, aby być lepszym prezydentem. My, zajmując się geometrią, będziemy robić to samo. Będziemy zastanawiać się, jak daną tezę solidnie, ponad wszelką wątpliwość udowodnić, czyli w nieco nowocześniejszy sposób będziemy robić to samo, co robił Euklides 2300 lat temu. Będziemy trzymać się żelaznej logiki. Nauczymy się wyciągać wnioski z różnych twierdzeń, aby mieć pewność, że gdy coś twierdzimy, potrafimy tego dowieść. To są prawdziwe fundamenty matematyki i zajmiemy się nimi. Arytmetyka to tylko liczenie. Teraz, gdy zajmiemy się geometrią euklidesową, zrozumiecie, czym jest prawdziwa matematyka. To stawianie tez i wyciąganie z nich logicznych wniosków.