If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:10:19

Geometria CA: Pole, twierdzenie Pitagorasa

Transkrypcja filmu video

. Dobra. Jesteśmy przy zadaniu 26. Dla czworoboku pokazanego niżej, miara kąta A i miara kąta C jest równa czemu? I w tym momencie, powinniście wiedzieć że suma kątów w czworokącie jest równa 360 stopni. Możecie powiedzieć, ok, zachowam to w pamięci wśrod rzeczy które warto zapamiętać. Tak jak suma kątów w trójkącie jest równa 180. Ale ja pokaże wam, że nie musicie tego zapamiętywać. Bo jeśli wyobrazicie sobie dowolny czworobok, niech no narysuję czworobok dla was. I to jest prawda dla każdego wielokąta. Więc powiedzmy, że to jest jakiś czworokąt. Nie musicie zapamiętywać że suma kątów jest równa 360 stopni. Chociaż to może być użyteczne dla czworokąta. Ale pokaże wam jak zawsze udowodnić to dla dowolnego wielokąta. Po prostu rozbija się go na trójkąty. Potem wystarczy zapamiętać jedną rzecz. Jeśli podzielicie go na trójkąty, ten kąt plus ten kąt plus ten kąt dają razem 180 stopni. I ten kąt, ten kąt i ten kąt muszą być razem równe 180. Więc kąty w czworokącie to ten kąt i ten. A potem ten kąt i ten kąt. Więc, ten tu jest sumą tych dwóch, i ten jest sumą tych dwóch. Więc, te trzy sumują się do 180. i te trzy do 180. To plus to da w sumie 360 stopni. I możecie to zrobić z wielokątem o dowolnym kształcie. Weżmy np pięciokąt. Jeden, drugi, trzeci, czwarty, piąty bok. Ile kątów jest w pięciokącie, Rozdzielmy to na trójkąty. Jak wiele trójkątów można tu umieścić? Zobaczmy. Jeden Dwa, Każdy z tych trójkątów , sumują się do 180. Więc to, to i to, to To będzie 180 razy 3 czyli 540 . To będzie 180 razy 3 czyli 540 . i to oczywiście będą miary kątów w tym pięciokącie. Bo te trzy kąty sumują sie do tego. Właśnie. Te się sumują do tego jednego. Te sumują sie do tego i tak dalej. Więc teraz mam nadzieję, że jak dam 20-kąt , to to wymyślicie na ile trójkątów moge go podzielić wg wcześniej opisanej zasady. I będziecie wiedziec ile kątów tam jest. Jaka jest ich suma. Jaka jest ich suma. W czworokącie suma kątów będzie 360 stopni. Więc jeśli powiemy, miara kąta A plus miara kąta C plus te dwa kąty. Napiszę to. Dodać 95 dodać 32 to będzie razem 360. Napiszę A plus C, na szybko. Zobaczmy, 95 plus 32 to 127. A + C + 127 = 360. A + C jest równe 360 - 127. Ile to? To jest 233. Zgadza się, odpowiedź D. W porządku. Zadanie 27. Jeśli ABCD jest równoległobokiem, którego boki są równoległe, Jaka jest długość BD? Czyli stąd do tego miejsca. I to jest kolejna interesująca sprawa, nie zamierzam jej tu udowadniać, ale to jest dobra rzecz by zapamiętać, szczególnie jeśli bierzesz udział w konkursach. Bo to pojawia się w matematycznych konkursach od czasu do czasu. Jeśli macie równoległobok, przeciwne boki są równoległe, wtedy przekątne przecinają się w połowie. Co oznacza, że dzielą drugą przekątną na pół. Więc ta przekątna dzieli tą na pół. Więc jeśłi to jest 6, to też będzie 6. I ta przekątna dzieli BD na dwa. Więc jeśli to jest 5, to także będzie 5. WIęc BE jest 5, ED jest 5, zatem BD musi być 10. Odpowiedź A. Odpowiedź A. Skopiuję i wkleję zadanie 28. Stożek prosty ma promień podstawy 5 cali i wysokość 8 cali. Dobra, narysowali to za nas. Jaka jest boczna powierzchnia stożka? Dobrze, podali nam definicje. Boczna powierzchnia stożka jest równa Pi razy r razy l, gdzie l to długość tworzącej (odcinka łączącego dowolny punktna brzegu podstawy z wierzchołkiem). więc wiemy, jakie jest r. r jest 5. Musimy policzyć , jaka jest długość tworzącej, czyli l. To wygląda na zadanie z twierdzenia Pitagorasa. To jest kąt prosty, wiem że to wydaje się dziwne, bo jest trójwymiarowe. Ale mamy do czynienia w trójkątem prostokątnym. Tak jakby bierzemy jeden plaster stożka zawierający ten trójkąt na różowo. Mówimy 5 do kwadratu, dodać 8 do kwadratu równa się l do kwadratu. To jest kąt prosty, a l jest przeciwprostokątną. WIęc dostajemy 25 plus 64 jest równe l do kwadratu. Czyli 89 równa się l kwadrat. Więc l równa się pierwiastek z 89. Chyba że popełniłem błąd wcześniej. Pierwiastek z 89. Dobra, widzę pierwiastek kwadratowy z 89 w odpowiedziach. Więc prawdopodobnie jesteśmy na własciwym torze. Więc l równa się pierwiastek z 89. I podają nam wzór na boczną powierzchnię stożka (pi<i>r</i>l) Więc pi r l jest równe pi razy r (promień podstawy równy 5), Razy długość tworzącej, czyli pierwiastek z 89. to równe 5pi razy pierwiastek z 89.. Co jest, jak zerknąłem, w odpowiedzi D. Kiedy się widzi liczbę typu 89, można się zaniepokoić. Ale dobrze, że to była jedna z odpowiedzi. Zadanie 29. OK. Skopiuję i wkleję. Skopiuję i wkleję. Wyczyszczę okno. Wyczyszczę okno. Jest sobota, wczesny poranek, a moja żona ciągle śpi. W tym miesiącu oczekujemy naszego pierwszego dziecka. Więc zdaje mi się, że sen jej dobrze służy. Daje mi więcej czasu na nagrywanie matematycznych filmików. Ok, nie wiem czemu zbaczam z tematu. Dobra, figura ABCD jest deltoidem. Wygląda jak latawiec. Jaka jest powierzchnia figury ABCD w centymetrach kwadratowych? Wszystkie dane są w centymetrach. Więc jeśli pozostaniemy przy centymetrach, nie będzie problemu. Więc jaka jest powierzchnia tego? Po prostu policzymy powierzchnie poszczególnych trójkątów. Jak się wyraża powierzchnię trójkąta? Powierzchnia trójkąta jest równa 1/2 <i> podstawa </i> wysokość. Więc jaka jest powierzchnia tego trójkąta? Właściwie ten deltoid jest symetryczny. Więc jeśli znamy powierzchnię tego trójkąta, to znamy też tego. Bo to jest 6 i 8, to jest 6 i 8. Więc powierzchnia trójkąta to 6 razy 8 razy 1/2 = 24. 24. To także będzie 24, ten sam argument. Więc kiedy dodamy je to będzie w sumie 48. Więc kiedy dodamy je to będzie w sumie 48. Teraz, ten trójkąt, 8 razy 15 razy 1/2 Czyli 60. W trójkącie wyżej powołując sie na to samo uzasadnienie , też będzie 60. 60. Nie musimy nawet mnożyć przez 1/2, ponieważ zamierzamy mnożyć przez 2 ostatecznie. Albo dodać te figury do siebie. W każdym razie, mamy 60 dodać 60 dodać 24 dodać 24, czyli razem 120. dodać 48, to 168. Odpowiedź C. Następne zadanie. Zadanie 31 Lubię takie zadania. Teraz skończyły się te momenty gdzie bawiliśmy się w przystawanie i podobieństwa. W sumie myślałem że zrobili parę błedów w tych zadaniach. W każdym razie, jeśli walec mierzy 22 cale średnicy, ile cali się przeturla robiąc 8 obrotów po gładkiej powierzchni. Wyobraźmy sobie koło, Jakąś oponę. Narysujmy kółko. Spojrzymy na walec z boku, bo to własciwie nas obchodzi. To jego bok. Twierdzą, że średnica ma 22 cale. Więc odległosć tu jest 22. Więc odległosć tu jest 22. Więc odległosć tu jest 22. I to co mówią, to że ten walec będzie się obracał 8 razy po gładkiej powierzchni. Będzie się kręcił dookoła 8 razy. Będzie się obracał i poruszał w prawą stronę. Więc jak długo będzie się toczył? Jeśli się zastanowimy, to pokryje swój obwód 8 razy. Jeśli ten punkt zaczyna dotykać ziemii, zanim przemieści się w prawo o długość obwodu, ten punkt będzie znowu dotykał ziemii. Łatwo o tym pomyśleć w ten sposób: jak ten obiekt rusza się w prawo, tocząc się, kiedy poruszy się 1 stopę, 1 stopę wzdłuż obwodu to dalej będzie dotykał ziemii. Czy 1 cm, czy 2 cale czy cokolwiek. Wtedy po 2 calach wzdłuż obwodu będzie dalej dotykał ziemii. Zatem walec poruszy się 8 długości obwodu w 8 obrotach. Jaki jest jego obwód? Obwód jest równy pi razy średnica. Średnicę dali 22. Więc obwód równa się 22pi. Poruszy się na długość 8 obwodów w 8 obrotach. Więc 22 pi razy 8 to 176 pi. Odpowiedź C. Do zobaczenia w następnym filmie. Do zobaczenia w następnym filmie.