If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:12:12

Transkrypcja filmu video

... Dobrze, zajmiemy się zadaniem 7. Po skopiowaniu i wklejeniu zadania zrobiło się ono trochę mniejsze Także przeczytam jego treść, na wypadek gdyby obrazek był zbyt mały. W zadaniu powiedziano: "skorzystaj z dowodu, by odpowiedzieć na poniższe pytanie." Mamy dane, że kąt 2 przystaje do kąta 3. Czyli miara kąta 2 jest równa mierze kąta 3. Staram się wprowadzać pojęcia, których używa się na lekcjach geometrii. Ale przyznam, że taki język w pewien sposób zanika po zajęciach z geometrii. Ale skoro jesteśmy na lekcji geometrii będziemy używać takiego języka. Czyli kąt 2 przystaje do kąta 3. Co oznacza, że ich miary są takie same. Właściwie to jest taki sam kąt. Dobrze. Spójrzmy. Stwierdzenie nr 1, kąt 2 przystaje do kąta 3. To wiemy, już to narysowałem. Stwierdzenie nr 2, kąt 1 przystaje do kąta 2, kąt 3 przystaje do kąta 4. Zatem mówią, że kąt 2 przystaje do kąta 1. Lub kąt 1 przystaje do kąta 2. To jest tutaj. I kąt 4 przystaje do kąta 3. W porządku. I pytają nas, jakiego argumentu użyjesz, by dowieść stwierdzenia 2? Nie pamiętam właściwej terminologii. Ale myślę o tym, że kąty wierzchołkowe są równe lub że ich miary są równe, lub że przystają do siebie. Możemy wyobrazić sobie dwie pałeczki, którymi poruszamy, zmieniając kąt ich przecięcia. Zobaczycie, że kąty wierzchołkowe zawsze są przystające. Tak, takiego argumentu ja bym użył. Wierzchołkowe kąty są przystające. Spójrzmy, która z możliwych odpowiedzi najlepiej pasuje do tego co przed chwilą powiedziałem. (A) "Dopełnienia kątów przystających są przystające." Dopełnienia... (B) "Kąty pionowe są przystające." Mają tu na myśli kąty wierzchołkowe. Kąty pionowe. Tak nazywają kąty wierzchołkowe. (C) "Kąty przyległe do kątów przystających są przystające." Nie, to nieprawda. (D) "Odpowiadające kąty są przystające." Te nie są odpowiadające. To chyba mają na myśli pisząc "kąty pionowe". Dopełnienia kątów przystających są przystające. Wiecie co, wyszukamy to razem na Wikipedii. Zobaczmy. Kąty pionowe. Jak widzicie, w wieku 32 lat, cześć termonologii umyka. Ale to, co jest ważne to rozumienie i odpowiednia intuicja, wtedy można zajrzeć na Wikipedię, żeby upewnić się, czy dobrze rozumiesz terminologię. Spójrzmy, co na to Wikipedia. Kąty pionowe. Para kątów jest parą kątów pionowych lub wierzchołkowych... wydaje się, że używałem brytyjskiego odpowiednika... kąty wierzchołkowe mają wspólny wierzchołek i wspólne pary ramion, ale są naprzeciw siebie. W porządku. Jakimś cudem, wychowując się w Luizjanie, używałem brytyjskiej wersji tego słowa. Może dlatego, że wg mnie słowo "wierzchołkowe" lepiej oddaje sens pojęcia niż słowo "pionowe". To powiedziawszy, wiemy że to to samo. Wikipedia oświeciła nam drogę. Moje rozumowanie dotyczące kątów wierzchołkowych jest takie samo jak ich rozumowanie dotyczące kątów pionowych. Następne pytanie. Następne pytanie... Odtąd będę używał amerykańskiej terminologii. [Przyp. 'vertical' - pionowe, zamiast 'opposite' - wierzchołkowe] Choć pewnie jest mnóstwo ludzi poza Stanami, którzy to oglądają. Może to dobrze, że używałem brytyjskiej wersji. OK... Ponownie, może być Wam trudno przeczytać. Przeczytam dla Was. "Dwie proste na płaszczyźnie przecinają się w dokładnie jednym punkcie." Dobra. "Który z podanych niżej przykładów jest kontrprzykładem dla powyższego stwierdzenia?" Lubię zastanowić się nad odpowiedzią zanim jeszcze zobaczę możliwe odpowiedzi. Mogę łatwo wymyślić dwie proste na płaszczyźnie, które zawsze przecinają się w dokładnie jednym punkcie. Ale...co jeśli są równoległe? Co jeśli wezmę tę prostą i tę prostą. Nigdy się nie przetną. Są równoległe. Taka jest definicja prostych równoległych. Inny przykład, który przychodzi mi do głowy to gdy jest to ta sama prosta. Można wstrzymywać się przed nazwaniem ich dwiema prostymi. Ale ja tak bym je nazwał. To jest prosta i to jest prosta. Są równoległe, dodatkowo wyobraźmy sobie, że jedna pokrywa drugą, wtedy przecinają się w każdym punkcie. To są kontrprzykłady dla stwierdzenia, że każde dwie proste na płaszczyźnie przecinają się w dokładnie jednym punkcie. Jeśli spojrzymy na możliwe odpowiedzi, od razu mamy to, co powiedziałem na początku. Proste równoległe, oczywiście są to dwie proste na płaszczyźnie. Ale te proste nie przecinają się w żadnym punkcie. Zadanie 8. Postaram się, żeby tym razem było trochę większe, tak że będziecie mogli przeczytać. Dobrze, zadanie 9. ... Która z figur może posłużyć jako kontrprzykład dla poniższego przypuszczenia? "Jeśli jedna para przeciwległych boków czworokąta jest równoległa, wówczas czworokąt ten jest równoległobokiem." Raz jeszcze, mamy dużo terminologii. Pamiętam to z lekcji geometrii. Czworokąt oznacza cztery boki. Figurę o czterech bokach. Równoległobok oznacza, że wszystkie przeciwległe boki są równoległe. Np. to jest równoległobok. Jeśli pamiętacie... Zobaczmy czy uda mi się to zrobić. ... Jeśli pominiemy tę małą część, mamy równoległobok. I jeśli wszystkie boki są takie same, dostajemy romb. Ale tu mamy równoległobok. To jest równoległobok, bo ten bok jest równoległy do tego boku. A ten bok jest równoległy do tego. Wszystkie boki są równoległe. A teraz, mamy powiedziane, że jeśli para boków czworokąta jest równoległa, to ten czworokąt jest równoległobokiem. Chcę podać kontrprzykład. Pozwólcie, że narysuję figurę, której dwa boki są równoległe. Powiedzmy, że ten bok i ten bok są równoległe. Przy czym nie chcę, by pozostałe dwa były równoległe. Żeby nie dostać równoległoboku. Powiedzmy, że pozostałe boki nie są równoległe. Niech wyglądają o tak. I tak. Ponownie, szukając w głowie odpowiednich definicji różnych figur, to wg mnie wygląda jak trapez. Spójrzmy. O, dobrze, mamy do wyboru odpowiedź "trapez". (D) Trapez. Pozostałe są równoległobokami. Prostokąt, ma wszystkie boki równoległe. Wszystkie kąty mają po 90 stopni. Prostokąty są podzbiorem równoległoboków. Romb, to jest równoległobok o wszystkich bokach równej długości. Ale kąty niekoniecznie są równe. Kwadrat ma wszystkie boki równoległe, równe, oraz wszystkie kąty mierzące 90 stopni. To wszystko są podzbiory równoległoboków. A to nie jest równoległobok. Mimo, że ma parę boków równoległych. Czyli znaleźliśmy kontrprzykład dla naszego przypuszczenia. Chyba już dostrzegacie pewien wzorzec. W geometrii, to często terminologia stanowi trudność. Te zadania nie są aż tak trudne, jak sugeruje używana terminologia. "Wiedząc, że TRAP [ang. pułapka]..." to już mnie martwi... "Wiedząc, że TRAP jest równoramiennym trapezem o przekątnych RP i TA, które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe?" OK, zobaczmy co da się tu zrobić. Trapez równoramienny to trapez, którego dwa boki łączące podstawy sa równe. Podobnie do trójkata równoramiennego. Narysuję to. Tak naprawdę, to zgaduję. Nie pamietam kiedy ostatnio widziałem definicję trójkąta równoramiennego. Trapez równoramienny. Brzmi sensownie. Niech będzie. To ważna umiejętność. Uups... Myślę, że kiedy mówią nam "trapez równoramienny", mówią po prostu, że to ramię... to jest trapez... będzie takie samo jak to ramię. Ten bok jest równy temu bokowi. Trapez równoramienny. ... Ponadto jest powiedziane, że RP i TA to przekątne. Pozwólcie, że to narysuję. Narysuję i oznaczę TRAP. To jest trapez T R A P. Zaznaczę przekątne. RP jest przekątną. I tutaj mamy TA, drugą przekątną. ... OK. No dobrze, zobaczmy co da się z tym zrobić. Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe? RP jest prostopadła do TA. Od razu mogę Wam powiedzieć, że to nie będzie prawda. I nawet nie trzeba tego udowadniać. Bo to można sobie łatwo wyobrazić. Wystarczy "zwęzić" górną podstawę. Wyobraźcie sobie, że to jest przekrój jakiegoś urządzenia. Jeśli zwężymy górę... i nie wiemy jaką to ma wysokość. To wówczas te kąty... spróbuję to narysować. te kąty, które są wierzchołkowe [opposite] lub pionowe [vertical] ("vertical" to amerykański odpowiednik) Te kąty będą robić się coraz mniejsze i mniejsze jeśli będziemy zwężać górę. Aby przekątne były prostopadłe musiałyby mieć po 90 stopni. Widzimy, że tutaj tak nie będzie. W porządku. RP jest równoległa do TA. To oczywiście nieprawda, one się przecinają. Są przekątnymi. RP przystaje do TA. Według mnie to brzmi dobrze. Bo to jest trapez równoramienny. Jeśli poprowadzimy tu oś symetrii, wszystko co mamy po tej stronie jest lustrzanym odbiciem tego, co znajduje się po drugiej stronie. Obydwie te linie będą równe. Mógłbym to formalnie zaargumentować, ale widac że RP... skoro to jest trapez równoramienny, możemy wyobrazić sobie, że przedłużamy go i tworzymy trójkąt równoramienny. I wtedy już widać, że ten kąt jest równy temu kątowi. ... Nie chcę się w to wdawać. Widać to bardzo dokładnie. Chociaż, może powinienem podać bardziej rygorystyczną definicję. Tak czy owak, RP na pewno przystaje do TA. Bo obydwie strony tego trapezu są symetryczne. To niemożliwe, żeby RP miała różną długość od TA. Ten trapez jest idealnie symetryczny, skoro jest równoramienny. A teraz (D), RP dzieli TA na dwa równe odcinki. Ponownie, można pokazać... Spróbuję narysować ten trapez nieco inaczej. Teraz wygląda tak. ... Jeśli to byłby trapez... .... To także jest trapez równoramienny. ... Wtedy jego przekątne wyglądają tak. Wtedy jego przekątne wyglądają tak... Tutaj widać wyraźnie, że nie dzielą się wzajemnie na odcinki równej długości. Żeby dzieliły sie na odcinki równej długości, ten odcinek musiłaby być równy temu odcinkowi. Wystarczy spojrzeć na rysunek, żeby zrozumieć, że tutaj to nie zachodzi. To nie jest równe temu. Te przekątne z pewnością nie dzielą się na dwa odcinki równej długości. Także w tym zadaniu możemy odzucić odpowiedzi A, B i D. I stwierdzić, że to C musi być poprawne. Można to wywnioskować korzystając z własności kątów. Że ten kąt jest równy temu... Ale w ten sposób zmarnujecie tylko czas. Choć to dobre ćwiczenie. Sformułować formalny dowód, że to jest prawda. Jakkolwiek, rozumując intuicyjnie, widać to dobrze z symetrii trójkata. Do zobaczenia w następnym filmie. ...