Płatek Kocha

Załóżmy, że mamy tutaj trójkąt równoboczny. Chcę na postawie tego trójkąta stworzyć inny kształt. Uczynię to poprzez podzielenie każdego z boków na trzy równe części. ... trzy równe części... Mój trójkąt równoboczny nie jest idealny, ale myślę że złapiecie o co mi chodzi. Na środkowej części chcę skonstruować kolejny trójkąt równoboczny. Na tej środkowej części skonstruuję kolejny trójkąt równoboczny. ... będzie wyglądał mniej więcej tak. ... jeszcze tutaj ... dodam kolejny trójkąt równoboczny. Teraz przeszliśmy od trójkąta równobocznego do czegoś co przypomina gwiazdę Dawida, i teraz zrobię to ponownie! Każdy z boków podzielę na trzy równe części i na środkowym segmencie zbuduję trójkąt równoboczny. ... zbuduję trójkąt równoboczny. ... na środkowym segmencie umieszczę trójkąt równoboczny. Zrobię to dla każdego z boków. Dodamy tutaj i tutaj. ... pewnie już widzicie co chcę zrobić... ... ale dla jasności. Jeszcze tutaj i tutaj. ... już prawie kończymy dla tej iteracji. Tej serii. Teraz mogę to zrobić jeszcze raz! Każdy z segmentów mogę podzielić na trzy równe części i na środkowej części zbudować trójkąt równoboczny, tutaj, tutaj, tutaj i tutaj... ... chyba już widzicie dokąd to zdaje się zmierzać. i mogę powtarzać to w nieskończoność. W tym filmie chciałbym zastanowić się co tutaj tak naprawdę robimy. Gdybyśmy rzeczywiście rysowali w nieskończoność, w każdej iteracji bierzemy jeden bok, dzielimy na trzy równe części i w następnej iteracji środkowy segment zamieniamy na kolejny trójkąt równoboczny. Kształt, który tutaj opisujemy jest nazywany również gwiazdką lub śnieżynką Kocha. (jestem pewien, że nie wymawiam właściwie słowa "Koch"). ... "gwiazdka Kocha". Została po raz pierwszy opisana przez tego tutaj pana, szwedzkiego matematyka Nielsa Fabiana Helge von Kocha (prawie na pewno nie wymówiłem poprawnie...), Jest to jeden z najwcześniej opisanych fraktali. Jest to fraktal. Powodem dla którego jest uważana za fraktal jest to, że wygląda tak samo lub bardzo podobnie w dowolnej skali. Jeżeli patrzymy na gwiazdkę w tej skali ... jeżeli patrzymy na ten fragment... wygląda to jak grupa trójkątów z wypustkami, ale jeżeli powiększylibyśmy ten obszar to ciągle obserwowalibyśmy ten sam wzór. Jeżeli przybliżalibyśmy coraz bardziej, obserwowalibyśmy powtarzający się wzorzec. W dowolnej skali, w dowolnym powiększeniu wygląda bardzo podobnie (własność samopodobieństwa). Takie właśnie kształty nazywamy fraktalami. Szczególnie interesującą cechą, powodem dla którego umieszczam ten film w playliście poświęconej geometrii jest to, że ten kształt posiada nieskończony obwód. Jeżeli kontynuowalibyśmy naszą zabawę jeżeli rysowalibyśmy dalej gwiazdkę kocha, i na każdym z tych małych trójkątów dorysowywali na bokach kolejne trójkąty równoboczne. By pokazać, że ma nieskończony obwód weźmy pod uwagę tylko tą stronę. Załóżmy, że to jest ta strona z oryginalnego trójkąta równobocznego. Załóżmy, że ma długość s. Następnie dzielimy na 3 równe części. To będzie s/3, s/3 i s/3. Na środkowym segmencie tworzymy trójkąt równoboczny. Każdy z tych boków będzie równy s/3. Teraz długość tej nowej części będzie równa, nie możemy nazywać jej już linią, ponieważ ma wybrzuszenie. Długość tej części nie jest już równa s, teraz jest równa s/3 razy 4. Wcześniej to było s/3 razy 3. Teraz mamy 4 segmenty, które mają długość s/3. Teraz po jednej rundzie dodawania trójkątów, nasz bok będzie równy 4 * s/3 lub inaczej 4/3 * s. Jeżeli nasz pierwotny obwód był równy p0, to po pierwszej rundzie dodawania trójkątów nasz obwód będzie równy 4/3 p0. Ponieważ każdy z boków jest 4/3 razy dłuższy. Obwód składał się z 3 boków, każdy z boków jest 4/3 razy dłuższy, więc nowy obwód również będzie równy 4/3 starego. Następnie, gdy znów zaczynamy dodawać trójkąty, obwód będzie równy 4/3 obwodu po pierwszej rundzie. Po każdym obiegu dodawania trójkątów kończymy z 4/3 razy dłuższym obwodem. Staje się o 1/3 dłuższy po każdym obiegu. Jeżeli będziemy powtarzać tą czynność w nieskończoność. Jeżeli przemnażalibyśmy dowolną liczbę w nieskończoność przez 4/3 to dostaniemy nieskończoność. Obwód po nieskończonej ilości rund dodawania trójkątów jest nieskończony. Samo w sobie jest to całkiem ciekawe, ciekawsze jest jednak to, że ten obiekt posiada skończona powierzchnię. Pokrywa ograniczoną powierzchnię. Mógłbym narysować wokół tej gwiazdy kształt i ta gwiazda nigdy nie rozrośnie się poza ten kształt. Pomyślmy o tym, nie będę tworzył formalnego dowodu. Pomyślmy co się dzieje na każdym z tych boków. Po pierwszym obiegu wyskakuje trójkąt. W następnej iteracji rysujemy te trójkąty. W następnej jeszcze iteracji dodajemy kolejne trójkąty w tych miejscach. Ale możemy dodawać kolejne trójkąty, w zasadzie możemy dodawać nieskończoną ilość trójkątów ale nigdy nie przekroczymy tej pierwotnej linii. To samo będzie prawdziwe dla tego boku. Podobnie dla kolejnych boków. Nawet jeżeli będziemy powtarzać tą procedurę nieskończoną ilość razy, śnieżynka Kocha nie pokryje większej powierzchni niż powierzchnia ograniczającego ją sześciokąta. Lub nie będzie miała większej powierzchni od takiego kształtu. Mogę narysować na zewnątrz okrąg. Ten kształt narysowany na niebiesko lub ten sześciokąt narysowany w kolorze magenty mają z pewnością skończoną powierzchnię. Gwiazdka Kocha będzie zawsze przez nie ograniczona, nawet pomimo dodawania kolejnych wystających trójkątów nieskończoną ilość razy. Mamy tutaj całą masę naprawdę interesujących własności. Jest to fraktal, więc możemy ciągle przybliżać i będzie wyglądał podobnie. Ponadto posiada nieskończony obwód i skończoną powierzchnię. Możecie teraz powiedzieć Sal, to jest bardzo abstrakcyjny byt, takie obiekty tak naprawdę nie istnieją rzeczywistym świecie. Jest ciekawy eksperyment myślowy przytaczany przez ludzi w świecie fraktali. Chodzi o obliczenie obwodu Anglii. Można ten eksperyment przeprowadzić z dowolną wyspą. Anglia wygląda mniej więcej tak, nie jestem ekspertem. Przybliżając obwód, możemy najpierw obliczyć tą odległość, plus kilka kolejnych. I możemy powiedzieć, patrzcie! Ma skończony obwód. Z pewnością ma skończoną powierzchnię. Możemy stwierdzić, że to przybliżenie nie jest wystarczająco dobre i chcemy obliczyć dokładniej obwód Anglii. Zamiast robić to tak zgrubnie, może chcemy dopasować większą ilość mniejszych linii. Tak by otulić dokładniej linię brzegową. W porządku, widać, że jest to znacznie lepsze przybliżenie. Załóżmy, jeżeli przybliżymy jakiś fragment wybrzeża. Jeżeli przybliżymy wystarczająco, właściwa linia brzegowa będzie wyglądała mniej więcej tak. Będzie miała serię pofałdowań. Zasadniczo, gdy wcześniej mierzyliśmy długość tego odcinka mierzyliśmy tą długość. Możemy się oburzyć, to nie jest przecież obwód linii brzegowej! Musimy to podzielić na znacznie więcej boków. Musimy teraz poprowadzić linie, które będą wyglądać mniej więcej tak. Możemy teraz powiedzieć, że wreszcie mamy sensowne przybliżenie długości linii brzegowej. Ale jeżeli teraz przybliżylibyśmy ten fragment linii brzegowej okaże się, że nie będzie wyglądał dokładnie tak. Okaże się, że będzie wyglądał tak. Zamiast tych zgrubnych linii mierzących długość linii brzegowej w ten sposób będziemy chcieli dopasować nieco dokładniej i szczelniej otulić linię brzegową. Możemy kontynuować tą procedurę, aż zejdziemy do poziomu atomów. Czyli właściwa długość linii brzegowej wyspy, kontynentu czy dowolnej rzeczy jest nieco fraktalna. Można o niej myśleć niemalże jakby miała nieskończony obwód. Oczywicie w pewnym momencie zejdziemy do poziomu atomów, więc to nie jest dokładnie to samo ale w pewien sposób jest to podobne zjawisko. Warto się nad tym zastanowić.