If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Odwrotności funkcji trygonometrycznych

Naucz się, dlaczego cosecans, secans i cotangens to odwrotności podstawowych stosunków trygonometrycznych: sinusa, cosinusa i tangensa.
Nauczyliśmy się już o podstawowych stosunkach trygonometrycznych:
Można jednak wymyślić jeszcze trzy stosunki:
  • Zamiast start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction, możemy rozważać start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction.
  • Zamiast start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction, możemy rozważać start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction.
  • Zamiast start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction, możemy rozważać start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction.
Te nowe stosunki to odwrotności stosunków trygonometrycznych. Za moment poznamy ich nazwy.

Cosecans left parenthesis, \csc, right parenthesis

Cosecans jest odwrotnością sinusa. Jest to stosunek długości przeciwprostokątnej do długości przyprostokątnej naprzeciwległej do danego kąta w trójkącie prostokątnym.
sine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #11accd, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, n, a, p, r, z, e, c, i, w, l, e, g, ł, a, end text, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, start text, p, r, z, e, c, i, w, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, end text, end color #aa87ff, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction
\csc, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #aa87ff, start text, p, r, z, e, c, i, w, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, n, a, p, r, z, e, c, i, w, l, e, g, ł, a, end text, end color #11accd, end fraction, equals, start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction

Secans left parenthesis, \sec, right parenthesis

Secans jest odwrotnością cosinusa. Jest to stosunek długości przeciwprostokątnej do długości przyprostokątnej przyległej do danego kąta w trójkącie prostokątnym.
cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #ed5fa6, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, y, l, e, g, ł, a, end text, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, start text, p, r, z, e, c, i, w, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, end text, end color #aa87ff, end fraction, equals, start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction
\sec, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #aa87ff, start text, p, r, z, e, c, i, w, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, y, l, e, g, ł, a, end text, end color #ed5fa6, end fraction, equals, start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction

Cotangens left parenthesis, cotangent, right parenthesis

Cotangens jest odwrotnością tangensa. Jest to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do przyprostokątnej naprzeciwległej do danego kąta w trójkącie prostokątnym.
tangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #11accd, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, n, a, p, r, z, e, c, i, w, l, e, g, ł, a, end text, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, y, l, e, g, ł, a, end text, end color #ed5fa6, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction
cotangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #ed5fa6, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, y, l, e, g, ł, a, end text, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, n, a, p, r, z, e, c, i, w, l, e, g, ł, a, end text, end color #11accd, end fraction, equals, start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction

Jak można to zapamiętać?

Większość ludzi najłatwiej zapamiętuje te stosunki wiążąc je z ich odwrotnościami. Poniższa tabela podsumowuje te związki.
Opis słownyMatematyczny związek
cosecansCosecans jest odwrotnością sinusa.\csc, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction
secansSecans jest odwrotnością cosinusa.\sec, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction
cotangensCotangens jest odwrotnością tangensa.cotangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, tangent, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction

Znajdowanie odwrotnych stosunków trygonometrycznych

Przeanalizujmy następujący przykład.

W poniższym trójkącie znajdź \csc, left parenthesis, C, right parenthesis, \sec, left parenthesis, C, right parenthesis i cotangent, left parenthesis, C, right parenthesis.

Rozwiązanie

Znajdowanie cosecansa
Wiemy, że cosecans jest odwrotnością sinusa.
Skoro sinus jest stosunkiem długości przyprostokątnej naprzeciwległej do długości przeciwprostokątnej, to cosecans jest stosunkiem długości przeciwprostokątnej do długości przyprostokątnej naprzeciwległej.
csc(C)=przeciwprostokątna przyprostokątna naprzeciwległa=1715\begin{aligned}\csc (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{przeciwprostokątna}}} {\blueD{\text{ przyprostokątna naprzeciwległa}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{15}} \end{aligned}
Znajdowanie secansa
wiemy, że secans jest odwrotnością cosinusa.
Skoro cosinus jest stosunkiem długości przyprostokątnej przyległej do długości przeciwprostokątnej, to secans jest stosunkiem długości przeciwprostokątnej do długości przyprostokątnej przyległej.
sec(C)=przeciwprostokątnaprzyprostokątna przyległa=178\begin{aligned}\sec (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{przeciwprostokątna}}}{\maroonC{\text{przyprostokątna przyległa}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{8}} \end{aligned}
Znajdowanie cotangensa
Wiemy, że cotangens jest odwrotnością tangensa.
Skoro tangens jest stosunkiem długości przyprostokątnej naprzeciwległej do długości przyprostokątnej przyległej, to cotangens jest stosunkiem długości przyprostokątnej przyległej do długości przyprostokątnej naprzeciwległej.
cot(C)=przyprostokątna przyległaprzyprostokątna naprzeciwległa=815\begin{aligned}\cot (C) &= \dfrac{\maroonC{\text{przyprostokątna przyległa}}}{\blueD{\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}} \\\\ &= \dfrac{{8}}{{15}} \end{aligned}

Spróbuj sam!

zadanie 1
\csc, left parenthesis, X, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4

Zadanie 2
\sec, left parenthesis, W, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4

Zadanie 3
cotangent, left parenthesis, R, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4

Wyzwanie
Jaka jest dokładna wartość \csc, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.