If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Przegląd wiadomości na temat twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów

Przegląd zastosowań twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów oraz ich użycie do rozwiązywania zadań o dowolnych trójkątach. Tłumaczenie na polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego

Twierdzenie sinusów

asin(α)=bsin(β)=csin(γ)

Twierdzenie cosinusów

c2=a2+b22abcos(γ)
Chcesz dowiedzieć się więcej o twierdzeniu sinusów? Obejrzyj ten film.
Chcesz dowiedzieć się więcej o twierdzeniu cosinusów? Obejrzyj ten film.

Ćwiczenie 1: wyznaczanie miar kątów i długości boków w trójkątach za pomocą twierdzenia sinusów

Dzięki twierdzeniu sinusów możemy wyznaczyć brakującą miarę kąta, mając dane dwa boki i kąt, lub obliczyć nieznaną długość boku znając dwa kąty i jeden bok.

Przykład 1: obliczanie nieznanej długości boku

Obliczmy długość boku AC w tym trójkącie:
Z twierdzenia sinusów wynika, że ABsin(C)=ACsin(B). Podstawmy odpowiednie wartości i rozwiążmy otrzymane równanie:
ABsin(C)=ACsin(B)5sin(33)=ACsin(67)5sin(67)sin(33)=AC8,45AC

Przykład 1: obliczanie miary nieznanego kąta

Obliczmy nieznaną miarę kąta, mA, w tym trójkącie:
Z twierdzenia sinusów wynika, że BCsin(A)=ABsin(C). Podstawmy odpowiednie wartości i rozwiążmy otrzymane równanie:
BCsin(A)=ABsin(C)11sin(A)=5sin(25)11sin(25)=5sin(A)11sin(25)5=sin(A)
Do obliczeń wykorzystamy kalkulator, a wynik zaokrąglimy do dziesiątych:
mA=sin1(11sin(25)5)68,4
Pamiętaj, że jeśli nieznany kąt jest kątem rozwartym, prawidłową odpowiedź otrzymasz odejmując od 180 wynik działania na kalkulatorze.
Zadanie 1.1
BC=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Zaokrąglij wynik do części dziesiątych.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 2: wyznaczanie miar kątów i długości boków w trójkątach za pomocą twierdzenia cosinusów

Dzięki twierdzeniu cosinusów możemy wyznaczyć brakującą miarę kąta, mając dane trzy boki trójkąta. Twierdzenie cosinusów możemy także wykorzystać do wyznaczenia brakującej długości boku trójkąta, jeśli znamy pozostałe dwa boki i jeden kąt.

Przykład 1: obliczanie miary kąta

Obliczmy nieznaną miarę kąta, mB, w tym trójkącie:
Korzystając z twierdzenia cosinusów:
(AC)2=(AB)2+(BC)22(AB)(BC)cos(B)
Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:
(5)2=(10)2+(6)22(10)(6)cos(B)25=100+36120cos(B)120cos(B)=111cos(B)=111120
Do obliczeń wykorzystamy kalkulator, a wynik zaokrąglimy do dziesiątych:
mB=cos1(111120)22,33

Przykład 2: obliczanie nieznanej długości boku

Obliczmy długość boku AB w tym trójkącie:
Korzystając z twierdzenia cosinusów:
(AB)2=(AC)2+(BC)22(AC)(BC)cos(C)
Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:
(AB)2=(5)2+(16)22(5)(16)cos(61)(AB)2=25+256160cos(61)AB=281160cos(61)AB14,3
Zadanie 2.1
mA=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Zaokrąglij wynik do pełnych stopni.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 3: trójkąty w zadaniach z tekstem

Zadanie 3.1
„Został już tylko jeden.” Rafał zasygnalizował do swojego brata z kryjówki.
Mateusz kiwa głowa, że zrozumiał. Dostrzegł ostatniego złego robota.
"34 stopnie." Mateusz zasygnalizował do brata, informując Rafała o kącie, jaki zaobserwował pomiędzy Rafałem a robotem.
Rafał notuje tę wartość na rysunku (pokazanym poniżej) i wykonuje obliczenia. Kalibruje swoje działo laserowe na odpowiednią odległość, wstaje, celuje i odpala broń .
Na jaką odległość skalibrował Rafał swoje działo laserowe?
Nie zaokrąglaj wyników podczas obliczeń. Zaokrąglij dopiero swoją ostateczną odpowiedź do pełnego metra.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
 m

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.