Główna zawartość
Geometria (cały materiał)
Kurs: Geometria (cały materiał) > Rozdział 13
Lekcja 4: Znajdowanie miary kąta w trójkącie prostokątnym przy użyciu stosunków trygonometrycznychWprowadzenie do funkcji cyklometrycznych
Poznaj funkcje cyklometryczne: arcsin, arccos i arctan i dowiedz się, w jaki sposób pomogą Ci obliczyć nieznane miary kątów w trójkącie prostokątnym.
Spójrzmy na nowy rodzaj zadania z trygonometrii. Interesujące jest to, że tych zadań nie da się rozwiązać za pomocą sinusa, cosinusa czy tangensa.
Zadanie: Ile wynosi miara kąta w poniższym trójkącie?
Co wiemy: W związku z kątem , znamy długości przyprostokątnych, więc możemy zapisać:
Jednak nie pomaga nam to w wyznaczeniu miary kąta . Mamy problem!
Co potrzebujemy: Potrzebne nam są nowe narzędzia matematyczne do rozwiązywania tego typu problemów. Nasi starzy przyjaciele: sinus, cosinus i tangens niestety nie będą tu pomocne. One, korzystając z kątów, pozwalają wyliczyć stosunek dwóch boków. My jednak potrzebujemy funkcji wyznaczających miary kątów na podstawie stosunku boków. Potrzebujemy funkcji cyklometrycznych.
Funkcje cyklometryczne
Znamy już działania odwrotne. Na przykład dodawanie i dojmowanie czy mnożenie i dzielnie to działania odwrotne. Każde z działań robi przeciwną rzecz do działania odwrotnego.
W trygonometrii jest podobnie. Funkcje cyklometryczne działają odwrotnie do “zwykłych” funkcji trygonometrycznych. Na przykład:
- Funkcja
(odwrotna do funkcji sinus) działa odwrotnie do funkcji sinus. - Funkcja
(odwrotna do funkcji cosinus) działa odwrotnie do funkcji cosinus. - Funkcja
(odwrotna do funkcji tangens) działa odwrotnie do funkcji tangens.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli znamy stosunek trygonometryczny, ale nie znamy miary kąta, możemy skorzystać z odpowiedniej funkcji cyklometrycznej, żeby wyznaczyć miarę kąta. Wszystko to przedstawiono poniżej.
Funkcje trygonometryczne podają stosunki boków na podstawie miar kątów | Funkcje cyklometryczne podają miary kątów na podstawie stosunków boków | |
---|---|---|
Błędne wyrażenie
Wyrażenie to nie to samo co . Innymi słowy: nie działa jak wykładnik potęgi. Notacja oznacza funkcję odwrotną.
Istnieje jednak alternatywna notacja, która pozwala uniknąć nieporozumień. Funkcję odwrotną do sinusa można wyrazić również jako , do cosinusa - , a odwrotną dla tangensa . Ta notacja jest często spotykana w językach programowania, a rzadziej w zapisie matematycznym.
Rozwiązanie wstępnego zadania
We wprowadzającym zadaniu, mamy podane obydwie przyprostokątne, a więc możemy użyć funkcji odwrotnej dla tangensa, żeby znaleźć żądany kąt.
Rozwiążmy teraz kilka zadań treningowych.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
- Jak obliczyć za pomocą kalkulatora tan^-1(35/65)?(1 głos)