If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Dowód twierdzenia o kącie wpisanym w okrąg

Dowód na to, że miara kąta wpisanego jest równa połowie miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Na początek

Zanim porozmawiamy o dowodzie, upewnijmy się, że rozumiemy kilka wyszukanych terminów.
Oto krótkie ćwiczenie na dopasowywanie, żeby sprawdzić czy kojarzysz znaczenie tych określeń:
Korzystając z obrazka, dopasuj zmienne do określeń.

Dobra robota! Będziemy korzystać z tych określeń przez resztę tego artykułu.

Co będziemy udowadniać

Zaraz dowiedziemy, że gdy kąt wpisany left parenthesis, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis i kąt środkowy left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis oparte są na tym samym łuku, dzieje się coś fajnego: Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego.
start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Ogólny zarys dowodu

Żeby udowodnić, że start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd dla wszystkich start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff oraz start color #11accd, \psi, end color #11accd (jak określiliśmy powyżej), musimy przyjrzeć się trzem osobnym przypadkom:
Przypadek APrzypadek BPrzypadek C
Wspólnie wszystkie te przypadki przedstawiają wszystkie możliwe sytuacje, w których kąt wpisany i kąt środkowy oparte są na tym samym łuku.

Przypadek A: Średnica leży wzdłuż jednego z ramion kąta wpisanego, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Krok 1: Znajdź trójkąt równoramienny.

Odcinki start overline, start color #e84d39, B, C, end color #e84d39, end overline oraz start overline, start color #e84d39, B, D, end color #e84d39, end overline są promieniami, więc są tej samej długość. Oznacza to, że trójkąt triangle, C, B, D jest równoramienny, co z kolei oznacza, że kąty przy jego podstawie są przystające:
m, angle, C, equals, m, angle, D, equals, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Krok 2: Znajdź kąt półpełny.

Kąt angle, start color #e84d39, A, B, C, end color #e84d39 to kąt półpełny, więc
θ+mDBC=180mDBC=180θ\begin{aligned} \purpleC \theta + m\angle DBC &= 180^\circ \\\\ m\angle DBC &= 180^\circ - \purpleC \theta \end{aligned}

Krok 3: Zapisz równanie i oblicz start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Kąty wewnętrzne trójkąta triangle, C, B, D to start color #11accd, \psi, end color #11accd, start color #11accd, \psi, end color #11accd oraz left parenthesis, 180, degrees, minus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis. Wiemy, że suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180, degrees.
ψ+ψ+(180θ)=1802ψ+180θ=1802ψθ=02ψ=θ\begin{aligned} \blueD{\psi} + \blueD{\psi} + (180^\circ- \purpleC{\theta}) &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi} + 180^\circ- \purpleC{\theta} &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi}- \purpleC{\theta} &=0 \\\\ 2\blueD{\psi} &=\purpleC{\theta} \end{aligned}
Super. Ukończyliśmy nasz dowód dla Przypadku A. Zostały jeszcze dwa!

Przypadek B: Średnica leży pomiędzy ramionami kąta wpisanego, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Krok 1: Bądź sprytny i narysuj średnicę

Używając średnicy rozbijmy start color #11accd, \psi, end color #11accd na start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd oraz start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd, natomiast start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff rozbijmy na start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff oraz start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff:

Krok 2: Skorzystaj z tego, czego nauczyliśmy się z Przypadku A, żeby utworzyć dwa równania.

Na naszym nowym wykresie, średnica dzieli okrąg na dwie połowy. Każda z nich zawiera kąt wpisany z ramieniem na średnicy. Jest to taka sama sytuacja jak w przypadku A, więc wiemy, że
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd
i
left parenthesis, 2, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd
przez to, czego nauczyliśmy się w Przypadku A.

Krok 3: Zsumuj równania.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Dodaj roˊwnania (1) i (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Grupowanie zmiennychθ=2ψθ=θ1+θ2 i ψ=ψ1+ψ2\begin{aligned} \purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2} &= 2\blueD{\psi_1}+2\blueD{\psi_2}&\small \text{Dodaj równania (1) i (2)} \\\\\\ (\purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2}) &= 2(\blueD{\psi_1}+\blueD{\psi_2}) &\small \text{Grupowanie zmiennych} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} &\small\purpleC{\theta=\theta_1+\theta_2} \text{ i } \blueD{\psi=\psi_1+\psi_2} \end{aligned}
Przypadek B skończony. Jeszcze tylko jeden!

Przypadek C: Średnica leży poza ramionami kąta wpisanego.

Krok 1: Bądź sprytny i narysuj średnicę

Posłużmy się średnicą, żeby stworzyć dwa nowe kąty: start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6 oraz start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10:

Krok 2: Skorzystaj z tego, czego nauczyliśmy się z Przypadku A, żeby utworzyć dwa równania.

Podobnie jak w Przypadku B, stworzyliśmy wykres, który pozwala nam skorzystać z tego, czego nauczyliśmy się z Przypadku A. Z tego wykresu wynika:
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, equals, 2, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10
left parenthesis, 2, right parenthesis, left parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, plus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, plus, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis

Krok 3: Podstaw i uprość.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ\begin{aligned} (\maroonC{\theta_2} + \purpleC{\theta}) &= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi})&\small \text{(2)} \\\\\\ (2\goldD{\psi_2} + \purpleC{\theta})&= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi}) &\small \maroonC{\theta_2}=2\goldD{\psi_2} \\\\\\ 2\goldD{\psi_2}+ \purpleC{\theta} &= 2\goldD{\psi_2} + 2\blueD{\psi} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} \end{aligned}
I daliśmy radę! Udowodniliśmy, że start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd we wszystkich trzech przypadkach.

Podsumowanie tego, co zrobiliśmy

Na początku chcieliśmy udowodnić, że miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego, jeśli oba są oparte na tym samym łuku.
Nasz dowód rozpoczęliśmy od ustalenia trzech przypadków, które przedstawiają wszystkie możliwe sytuacje, w których kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym łuku.
Przypadek APrzypadek BPrzypadek C
W przypadku A, zauważyliśmy trójkąt równoramienny i kąt prosty. Dzięki temu ułożyliśmy kilka równań, posługując się start color #11accd, \psi, end color #11accd oraz start color #7854ab, theta, end color #7854ab. Z małą pomocą algebry udowodniliśmy, że start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
W przypadkach B i C sprytnie wprowadziliśmy średnicę:
Przypadek BPrzypadek C
Dzięki temu mogliśmy użyć wyniku z Przypadku C, co zrobiliśmy. Zarówno w Przypadku B jak i w Przypadku C, zapisaliśmy równania ze zmiennymi z figur, co było możliwe dzięki temu, czego nauczyliśmy się w Przypadku A. Po utworzeniu równań, z pomocą algebry pokazaliśmy, że start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.