Główna zawartość
Geometria na poziomie liceum
Kurs: Geometria na poziomie liceum > Rozdział 1
Lekcja 1: Wprowadzenie do geometrii euklidesowejEuklides jako ojciec geometrii
Euklides, wielki grecki matematyk, zwany często ojcem geometrii. Z tego filmu dowiesz się więcej o Euklidesie i jego matematycznych odkryciach, z których korzystamy do tej pory. Stworzone przez: Sal Khan.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
- dlaczego geo to ziemia a metria to miara(1 głos)
Transkrypcja filmu video
„Prawa natury,
to matematyczne myśli Boga” to cytat z Euklidesa z Aleksandrii,
greckiego matematyka i filozofa, który żył ok. 300 lat przed Chrystusem. Użyłem tego cytatu, bo Euklidesa
uważa się za ojca geometrii. Poza tym to świetny cytat. Niezależnie od tego, czy wierzycie
w istnienie Boga, czy nie, mówimy o podstawowych
prawach natury. „Prawa natury,
to matematyczne myśli Boga” Matematyka to podstawa
wszystkich praw przyrody. Słowo „geometria”
pochodzi z greki. „Geo” to po grecku „Ziemia”, a „metria” to „miara”. Znamy przecież pojęcie
„system metryczny”. Euklidesa uważa się
za ojca geometrii nie dlatego, że jako pierwszy
się nią zajmował, bo pewnie interesowała
już pierwszych ludzi. Może ktoś zobaczył dwa patyki
wyglądające tak, a dwa obok wyglądały tak – i zauważył,
że odstęp jest większy. Jak to opisać. Może potem spojrzał na drzewo, którego gałąź wyrastała
pod takim kątem i dostrzegł podobieństwo
między tym kształtem a tym tutaj. Albo zadał sobie pytanie, jaki jest stosunek obwodu koła
do jego średnicy? Czy taki sam dla wszystkich kół? Czy to tylko przeczucie,
czy rzetelna prawda? W starożytnej Grecji ludzie zaczęli snuć dużo głębsze rozważania
o geometrii otaczającego ich świata. Choćby wielki matematyk Pitagoras,
który żył przed Euklidesem. Dlaczego więc za ojca geometrii
uważa się Euklidesa? Mówi się wręcz o
„geometrii euklidesowej”. Było to jakieś 300 lat przed Chrystusem. Oto obraz przedstawiający
Euklidesa, pędzla Rafaela Santi. Nikt nie wie, jak wyglądał Euklides,
ani kiedy zmarł. więc to tylko malarska wizja, przedstawiająca
jego wykłady w Aleksandrii. Euklides stał się „ojcem geometrii”, ponieważ napisał dzieło
pod tytułem „Elementy”. Czym były „Elementy”? To 13-tomowy podręcznik. Dodajmy: najbardziej
znany podręcznik świata. W tych 13 tomach, dokonał bardzo
wnikliwej, solidnej i logicznej analizy geometrii, teorii liczb i stereometrii,
czyli geometrii przestrzennej. A to strona tytułowa pierwszego
angielskiego wydania, a dokładniej pierwszego
angielskiego tłumaczenia „Elementów”, które ukazało się w 1570 roku. Oczywiście najpierw wydano je po grecku, potem, we wczesnym Średniowieczu,
przetłumaczono je na arabski, następnie z arabskiego na łacinę
i w końcu z łaciny na angielski. Powiedziałem, że Euklides był solidny. Nie mówił: „Mam wrażenie, że
w trójkącie prostokątnym, suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi
przeciwprostokątnej”. Niedługo omówimy to twierdzenie. Mówił: „Nie zadowolę się tym,
że to może być prawda. Chcę udowodnić, że to prawda”. Dlatego w „Elementach”, szczególnie w tomie 6,
dotyczącym geometrii płaskiej… Właściwie we wszystkich,
ale mówimy o geometrii. …zaczął od założeń podstawowych. Zaczął od założeń podstawowych. Te założenia podstawowe
w języku matematyki to „aksjomaty” lub „postulaty”. Z tych aksjomatów wyprowadzał,
czyli udowadniał wszystkie tezy, zwane w matematyce „twierdzeniami”. Mówił: „Skoro to i to jest prawdą,
to również to musi być prawdą”. Tak samo udowadniał,
że coś nie jest prawdą. Udowadniał fałszywość
pewnych twierdzeń. Nie mówił: „Każdy okrąg,
który widziałem, ma te cechy”. Mówił: „Dowiodłem, że tak jest”. Z udowodnionych twierdzeń
możemy wyprowadzać kolejne twierdzenia, także z wykorzystaniem
wcześniejszych aksjomatów. Niezwykłe, że nikt
tego wcześniej nie zrobił. Nikt nie udowadniał twierdzeń w oparciu o całą, dostępną wiedzę. I nie był to jeden czy dwa dowody. Euklides przeprowadził dowód
całej wielkiej gałęzi nauki. Dlatego mówiłem, że był solidny. Zbudował fundament wiedzy z tych aksjomatów, postulatów,
teorii i hipotez. „Teoria” i „hipoteza” to jest to samo. Ten podręcznik był w użyciu przez
prawie 2 tysiące lat – niewiarygodne. Ówcześni ludzie nie uznaliby
za człowieka wykształconego kogoś, kto nie przeczytał
i nie rozumiał „Elementy” Euklidesa. Ta książka to drugi najczęściej
wydawany tytuł świata, zaraz po Biblii. Podręcznik matematyki
ustępujący popularnością tylko Biblii! Gdy po raz pierwszy wydrukowano Biblię,
zaraz potem wydano „Elementy”. Aby pokazać znaczenie tej książki
w niezbyt odległej przeszłości, bo przyznacie, że w tej skali
150 czy 160 lat to niezbyt wiele, mam tu cytat z jednego z największych
prezydentów USA, Abrahama Lincolna. Na tym zdjęciu widzimy go
w wieku niespełna 40 lat. Był wielkim miłośnikiem
„Elementów” Euklidesa i wykorzystywał dzieło
do ćwiczenia umysłu. Podobno czytał je jeżdżąc konno,
czytał je w Białym Domu. Oto , co napisał Lincoln: „W trakcie studiów prawniczych,
wciąż napotykałem słowo «wykazać». Najpierw myślałem, że je rozumiem,
lecz okazało się, że tak nie jest. Spytałem siebie: Co robię, gdy wykazuję
więcej niż jestem w stanie udowodnić? Czym «wykazywanie»
różni się od «udowadniania»?” Lincolna prześladowało słowo „wykazać”, zdefiniowane jako
„udowodnić ponad wszelką wątpliwość”. To coś bardziej rygorystycznego
niż poczucie, że ma się rację. „Sprawdziłem w słowniku Webstera” –
ten słownik istniał już w tych czasach – „i okazało się, że to «dowód pewny,
nie pozostawiający wątpliwości». Lecz nie miałem pojęcia,
jaki to miałby być dowód. Myślałem, że wiele rzeczy
udowodniono ponad wszelką wątpliwość bez przeprowadzania żmudnego procesu
myślowego, za jaki uważałem wykazywanie. Sprawdzałem w innych słownikach,
lecz nie znalazłem lepszej definicji. Równie dobrze można opisywać
kolory komuś, kto nie widzi. Powiedziałem sobie: Lincoln” – mówi sam do siebie… „Powiedziałem sobie: Lincoln,
nigdy nie zostaniesz prawnikiem, jeśli nie zrozumiesz, co
znaczy «wykazywać». Opuściłem Springfield
i wróciłem do domu mojego ojca, gdzie zostałem dotąd,
aż umiałem udowodnić wszystkie twierdzenia
z 6 ksiąg «Elementów» Euklidesa.” Pierwsze 6 ksiąg to geometria płaska. Gdy zrozumiałem, czym jest «wykazywanie»,
powróciłem na studia.” Ten wielki amerykański mąż stanu uznał,
że aby być dobrym prawnikiem, trzeba umieć udowodnić
wszystkie twierdzenia z 6 ksiąg „Elementów” Euklidesa z pamięci, bez namysłu. Co więcej, już w Białym Domu,
Lincoln nadal doskonalił swój umysł, aby być lepszym prezydentem. My, zajmując się geometrią,
będziemy robić to samo. Będziemy zastanawiać się, jak daną tezę solidnie,
ponad wszelką wątpliwość udowodnić, czyli w nieco nowocześniejszy sposób będziemy robić to samo,
co robił Euklides 2300 lat temu. Będziemy trzymać się żelaznej logiki. Nauczymy się wyciągać
wnioski z różnych twierdzeń, aby mieć pewność, że gdy coś twierdzimy,
potrafimy tego dowieść. To są prawdziwe fundamenty
matematyki i zajmiemy się nimi. Arytmetyka to tylko liczenie. Teraz, gdy zajmiemy się
geometrią euklidesową, zrozumiecie, czym jest
prawdziwa matematyka. To stawianie tez i wyciąganie
z nich logicznych wniosków.