If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Obrót wielokąta dookoła początku układu współrzędnych

Jak narysować obraz figury po obrocie wokół początku układu współrzędnych o dowolną wielokrotność 90°? Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Wprowadzenie

W tym artykule poćwiczymy obracanie figur. Mówiąc w języku matematyki, nauczymy się jak rysować obraz danej figury po wskazanym obrocie.
W tym artykule skupimy się na obrotach o kąty będące wielokrotnościami 90, zarówno dodatnie (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) jak i ujemne (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Część 1: Obroty punktów o 90, 180 i 90

Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu

Chcemy znaleźć obraz A dla punktu A(3,4) po obrocie 90 wokół początku układu współrzędnych.
Zacznijmy od narysowania tego zadania. Dodatnie obroty są przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, więc nasz obrót powinien wyglądać mniej więcej tak:
Świetnie, oszacowaliśmy położenie A na oko. Teraz musimy jednak znaleźć dokładne współrzędne. Są na to dwa sposoby.

Metoda 1: Podejście rysunkowe

Możemy sobie wyobrazić prostokąt, który ma jeden wierzchołek w początku układu współrzędnych, a przeciwny wierzchołek w punkcie A.
Obrót o 90 jest jak przewrócenie prostokąta na bok:
Widzimy teraz, że obraz punktu A(3,4) po obrocie to A(4,3).
Zauważ, że łatwiej jest obracać punkty leżące na osiach, a to pomaga nam znaleźć obraz punktu A:
Punkt(3,0)(0,4)(3,4)
Obraz(0,3)(4,0)(4,3)

Metoda 2: Podejście algebraiczne

Przyjrzyjmy się bliżej punktom A i A:
PunktWspółrzędna xWspółrzędna y
A34
A43
Zauważamy interesujące zjawisko: Współrzędna x punktu A staje się współrzędną y punktu A, a przeciwieństwo współrzędnej y punktu A staje się współrzędną x punktu A.
Możemy przedstawić to matematycznie w ten sposób:
R(0,0),90(x,y)=(y,x)
Okazuje się, że jest to prawdą dla dowolnego punktu, nie tylko dla punktu A. Tutaj jest kilka przykładów:
Ponadto okazuje się, że obroty o 180 czy 90 mają podobne wzory:
R(0,0),180(x,y)=(x,y)
R(0,0),90(x,y)=(y,x)
Możemy tego użyć do obrócenia dowolnego punktu podstawiając jego współrzędne do odpowiedniego równania.

Twoja kolej!

Zadanie 1

Narysuj obraz punktu B(7,3) po obrocie R(0,0),90.

Zadanie 2

Narysuj obraz punktu C(5,6) po obrocie R(0,0),180.

Metoda graficzna a metoda algebraiczna

W zasadzie każdy może wybrać metodę, jaka mu najbardziej pasuje. Każdy lubi co innego!
Metoda algebraiczna wymaga mniej pracy i czasu, jednak musisz zapamiętać te wzory. Metoda graficzna jest zawsze do dyspozycji, jednak zajmuje więcej czasu.

Część 2: Rozszerzenie do dowolnej wielokrotności 90

Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu

Chcemy znaleźć obraz D dla punktu D(5,4) po obrocie 270 wokół początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Ponieważ obrót o 270 da taki sam efekt co obrót o 90 trzy razy, możemy rozwiązać to zadanie graficznie wykonując trzy kolejne obroty o 90:
Ale zaraz! Możemy po prostu wykonać obrót o 90 zamiast o 270. Te obroty nazywane są równoważnymi. Przekonaj się:
Z tego samego powodu możemy też użyć wzoru R(0,0),90(x,y)=(y,x):
R(0,0),270(5,4)=(4,5)

Prześledźmy jeszcze jedno przykładowe zadanie

Chcemy znaleźć obraz punktu (9,7) po obrocie o 810 wokół początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Obrót o 810 to obrót o 360 wykonany dwa razy, a następnie dodany jeszcze obrót o 90 (ponieważ 810=2360+90).
Obrót o 360 przenosi każdy punkt z powrotem w to samo miejsce. Mówiąc prościej - nic się nie zmienia.
Tak więc obrót o 810 to to samo, co obrót o 90. Możemy więc po prostu użyć wzotu R(0,0),90(x,y)=(y,x):
R(0,0),810(9,7)=(7,9)

Twoja kolej!

Zadanie 1

Narysuj obraz punktu E(8,6) po obrocie R(0,0),270.

Zadanie 2

Który obrót jest równoważny do obrotu R(0,0),990?
Wybierz 1 odpowiedź:

Część 3: Obroty wielokątów

Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu

Zastanówmy się nad czworokątem DEFG narysowanym poniżej. Narysujmy jego obraz, DEFG, po obrocie R(0,0),270.

Rozwiązanie

Podobnie jak w przypadku przesunięć, kiedy obracamy wielokąt, musimy wykonać tylko obrót jego wierzchołków, a następnie połączyć ich obrazy po obrocie, żeby ponownie powstał wielokąt.

Twoja kolej!

Narysuj obraz HIJ poniżej, po obrocie R(0,0),90.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.