Główna zawartość
Geometria na poziomie liceum
Kurs: Geometria na poziomie liceum > Rozdział 1
Lekcja 4: Obroty- Obroty punktów na płaszczyźnie
- Obroty punktów na płaszczyźnie
- Wyznaczanie kąta obrotu
- Wyznaczanie kąta obrotu
- Określanie obrotów
- Obrót wielokąta dookoła początku układu współrzędnych
- Obrót wielokąta dookoła początku układu współrzędnych
- Obroty figur
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Obrót wielokąta dookoła początku układu współrzędnych
Jak narysować obraz figury po obrocie wokół początku układu współrzędnych o dowolną wielokrotność 90°? Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Wprowadzenie
W tym artykule poćwiczymy obracanie figur. Mówiąc w języku matematyki, nauczymy się jak rysować obraz danej figury po wskazanym obrocie.
W tym artykule skupimy się na obrotach o kąty będące wielokrotnościami , zarówno dodatnie (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) jak i ujemne (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).
Część 1: Obroty punktów o , i
Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu
Chcemy znaleźć obraz dla punktu po obrocie wokół początku układu współrzędnych.
Zacznijmy od narysowania tego zadania. Dodatnie obroty są przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, więc nasz obrót powinien wyglądać mniej więcej tak:
Świetnie, oszacowaliśmy położenie na oko. Teraz musimy jednak znaleźć dokładne współrzędne. Są na to dwa sposoby.
Metoda 1: Podejście rysunkowe
Możemy sobie wyobrazić prostokąt, który ma jeden wierzchołek w początku układu współrzędnych, a przeciwny wierzchołek w punkcie .
Obrót o jest jak przewrócenie prostokąta na bok:
Widzimy teraz, że obraz punktu po obrocie to .
Zauważ, że łatwiej jest obracać punkty leżące na osiach, a to pomaga nam znaleźć obraz punktu :
Punkt | |||
---|---|---|---|
Obraz |
Metoda 2: Podejście algebraiczne
Przyjrzyjmy się bliżej punktom i :
Punkt | Współrzędna | Współrzędna |
---|---|---|
Zauważamy interesujące zjawisko: Współrzędna punktu staje się współrzędną punktu , a przeciwieństwo współrzędnej punktu staje się współrzędną punktu .
Możemy przedstawić to matematycznie w ten sposób:
Okazuje się, że jest to prawdą dla dowolnego punktu, nie tylko dla punktu . Tutaj jest kilka przykładów:
Ponadto okazuje się, że obroty o czy mają podobne wzory:
Możemy tego użyć do obrócenia dowolnego punktu podstawiając jego współrzędne do odpowiedniego równania.
Twoja kolej!
Zadanie 1
Zadanie 2
Metoda graficzna a metoda algebraiczna
W zasadzie każdy może wybrać metodę, jaka mu najbardziej pasuje. Każdy lubi co innego!
Metoda algebraiczna wymaga mniej pracy i czasu, jednak musisz zapamiętać te wzory. Metoda graficzna jest zawsze do dyspozycji, jednak zajmuje więcej czasu.
Część 2: Rozszerzenie do dowolnej wielokrotności
Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu
Chcemy znaleźć obraz dla punktu po obrocie wokół początku układu współrzędnych.
Rozwiązanie
Ponieważ obrót o da taki sam efekt co obrót o trzy razy, możemy rozwiązać to zadanie graficznie wykonując trzy kolejne obroty o :
Ale zaraz! Możemy po prostu wykonać obrót o zamiast o . Te obroty nazywane są równoważnymi. Przekonaj się:
Z tego samego powodu możemy też użyć wzoru :
Prześledźmy jeszcze jedno przykładowe zadanie
Chcemy znaleźć obraz punktu po obrocie o wokół początku układu współrzędnych.
Rozwiązanie
Obrót o to obrót o wykonany dwa razy, a następnie dodany jeszcze obrót o (ponieważ ).
Obrót o przenosi każdy punkt z powrotem w to samo miejsce. Mówiąc prościej - nic się nie zmienia.
Tak więc obrót o to to samo, co obrót o . Możemy więc po prostu użyć wzotu :
Twoja kolej!
Zadanie 1
Zadanie 2
Część 3: Obroty wielokątów
Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu
Zastanówmy się nad czworokątem narysowanym poniżej. Narysujmy jego obraz, , po obrocie .
Rozwiązanie
Podobnie jak w przypadku przesunięć, kiedy obracamy wielokąt, musimy wykonać tylko obrót jego wierzchołków, a następnie połączyć ich obrazy po obrocie, żeby ponownie powstał wielokąt.
Twoja kolej!
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji