If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Geometria na poziomie liceum

Kurs: Geometria na poziomie liceum > Rozdział 5

Lekcja 7: Znajdowanie miary kąta w trójkącie prostokątnym przy użyciu stosunków trygonometrycznych
Matematyka
Geometria na poziomie liceum
Trójkąty prostokątne i trygonometria
Znajdowanie miary kąta w trójkącie prostokątnym przy użyciu stosunków trygonometrycznych
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Wprowadzenie do funkcji cyklometrycznych

Google Classroom
Poznaj funkcje cyklometryczne: arcsin, arccos i arctan i dowiedz się, w jaki sposób pomogą Ci obliczyć nieznane miary kątów w trójkącie prostokątnym.
Spójrzmy na nowy rodzaj zadania z trygonometrii. Interesujące jest to, że tych zadań nie da się rozwiązać za pomocą sinusa, cosinusa czy tangensa.
Zadanie: Ile wynosi miara kąta L w poniższym trójkącie?
Co wiemy: W związku z kątem angle, L, znamy długości przyprostokątnych, więc możemy zapisać:
tangent, left parenthesis, L, right parenthesis, equals, start fraction, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, y, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, e, c, i, w, l, e, g, ł, a, end text, end fraction, equals, start fraction, 35, divided by, 65, end fraction
Jednak nie pomaga nam to w wyznaczeniu miary kąta angle, L. Mamy problem!
Co potrzebujemy: Potrzebne nam są nowe narzędzia matematyczne do rozwiązywania tego typu problemów. Nasi starzy przyjaciele: sinus, cosinus i tangens niestety nie będą tu pomocne. One, korzystając z kątów, pozwalają wyliczyć stosunek dwóch boków. My jednak potrzebujemy funkcji wyznaczających miary kątów na podstawie stosunku boków. Potrzebujemy funkcji cyklometrycznych.

Funkcje cyklometryczne

Znamy już działania odwrotne. Na przykład dodawanie i dojmowanie czy mnożenie i dzielnie to działania odwrotne. Każde z działań robi przeciwną rzecz do działania odwrotnego.
W trygonometrii jest podobnie. Funkcje cyklometryczne działają odwrotnie do “zwykłych” funkcji trygonometrycznych. Na przykład:
  • Funkcja left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis (odwrotna do funkcji sinus) działa odwrotnie do funkcji sinus.
  • Funkcja left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis (odwrotna do funkcji cosinus) działa odwrotnie do funkcji cosinus.
  • Funkcja left parenthesis, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis (odwrotna do funkcji tangens) działa odwrotnie do funkcji tangens.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli znamy stosunek trygonometryczny, ale nie znamy miary kąta, możemy skorzystać z odpowiedniej funkcji cyklometrycznej, żeby wyznaczyć miarę kąta. Wszystko to przedstawiono poniżej.
Funkcje trygonometryczne podają stosunki boków na podstawie miar kątówFunkcje cyklometryczne podają miary kątów na podstawie stosunków boków
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, e, c, i, w, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, e, c, i, w, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, end text, end fractionright arrowsine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, e, c, i, w, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, e, c, i, w, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, y, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, e, c, i, w, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, end text, end fractionright arrowcosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, y, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, e, c, i, w, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, e, c, i, w, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, y, l, e, g, ł, a, end text, end fractionright arrowtangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, e, c, i, w, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, y, l, e, g, ł, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta

Błędne wyrażenie

Wyrażenie sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis to nie to samo co start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. Innymi słowy: minus, 1 nie działa jak wykładnik potęgi. Notacja oznacza funkcję odwrotną.
Istnieje jednak alternatywna notacja, która pozwala uniknąć nieporozumień. Funkcję odwrotną do sinusa można wyrazić również jako \arcsin, do cosinusa - \arccos, a odwrotną dla tangensa \arctan. Ta notacja jest często spotykana w językach programowania, a rzadziej w zapisie matematycznym.

Rozwiązanie wstępnego zadania

We wprowadzającym zadaniu, mamy podane obydwie przyprostokątne, a więc możemy użyć funkcji odwrotnej dla tangensa, żeby znaleźć żądany kąt.
m∠L=tan⁡−1( przyprostokątna naprzeciwległa  przyprostokątna przyległa )Definicja.m∠L=tan⁡−1(3565)Podstawienie wartosˊci liczbowych.m∠L≈28,30∘Obliczenie za pomocą kalkulatora.\begin{aligned} { m\angle L}&=\tan^{-1} \left(\dfrac{\text{} \blueD{\text{ przyprostokątna naprzeciwległa }} }{\text{}\maroonC{\text{ przyprostokątna przyległa} }\text{ }} \right)\quad\small{\gray{\text{Definicja.}}} \\\\ m\angle L&=\tan^{-1}\left(\dfrac{\blueD{35}}{\maroonC{65}}\right)\quad\small{\gray{\text{Podstawienie wartości liczbowych.}}} \\\\ m\angle L &\approx 28{,}30^\circ \quad\small{\gray{\text{Obliczenie za pomocą kalkulatora.}}}\end{aligned}

Rozwiążmy teraz kilka zadań treningowych.

zadanie 1
Dany jest triangle, K, I, P, wyznacz m, angle, I.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej setnej części stopnia.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Zadanie 2
Dany jest triangle, D, E, F. Wyznacz m, angle, E.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej setnej części stopnia.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Zadanie 3
Dany jest triangle, L, Y, N. Wyznacz m, angle, Y.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej części setnej stopnia.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Wyzwanie
Rozwiąż trójkąt prostokątny. Znajdź wszystkie brakujące boki i kąty.
Zaokrąglij liczby do najbliższych części setnych.
O, E, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
m, angle, O, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
m, angle, Z, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.