Główna zawartość
Geometria na poziomie liceum
Kurs: Geometria na poziomie liceum > Rozdział 5
Lekcja 7: Znajdowanie miary kąta w trójkącie prostokątnym przy użyciu stosunków trygonometrycznychWprowadzenie do funkcji cyklometrycznych
Poznaj funkcje cyklometryczne: arcsin, arccos i arctan i dowiedz się, w jaki sposób pomogą Ci obliczyć nieznane miary kątów w trójkącie prostokątnym.
Spójrzmy na nowy rodzaj zadania z trygonometrii. Interesujące jest to, że tych zadań nie da się rozwiązać za pomocą sinusa, cosinusa czy tangensa.
Zadanie: Ile wynosi miara kąta L w poniższym trójkącie?
Co wiemy: W związku z kątem angle, L, znamy długości przyprostokątnych, więc możemy zapisać:
Jednak nie pomaga nam to w wyznaczeniu miary kąta angle, L. Mamy problem!
Co potrzebujemy: Potrzebne nam są nowe narzędzia matematyczne do rozwiązywania tego typu problemów. Nasi starzy przyjaciele: sinus, cosinus i tangens niestety nie będą tu pomocne. One, korzystając z kątów, pozwalają wyliczyć stosunek dwóch boków. My jednak potrzebujemy funkcji wyznaczających miary kątów na podstawie stosunku boków. Potrzebujemy funkcji cyklometrycznych.
Funkcje cyklometryczne
Znamy już działania odwrotne. Na przykład dodawanie i dojmowanie czy mnożenie i dzielnie to działania odwrotne. Każde z działań robi przeciwną rzecz do działania odwrotnego.
W trygonometrii jest podobnie. Funkcje cyklometryczne działają odwrotnie do “zwykłych” funkcji trygonometrycznych. Na przykład:
- Funkcja left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis (odwrotna do funkcji sinus) działa odwrotnie do funkcji sinus.
- Funkcja left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis (odwrotna do funkcji cosinus) działa odwrotnie do funkcji cosinus.
- Funkcja left parenthesis, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis (odwrotna do funkcji tangens) działa odwrotnie do funkcji tangens.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli znamy stosunek trygonometryczny, ale nie znamy miary kąta, możemy skorzystać z odpowiedniej funkcji cyklometrycznej, żeby wyznaczyć miarę kąta. Wszystko to przedstawiono poniżej.
Funkcje trygonometryczne podają stosunki boków na podstawie miar kątów | Funkcje cyklometryczne podają miary kątów na podstawie stosunków boków | |
---|---|---|
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, e, c, i, w, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, e, c, i, w, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, end text, end fraction | right arrow | sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, e, c, i, w, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, e, c, i, w, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, y, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, e, c, i, w, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, end text, end fraction | right arrow | cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, y, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, e, c, i, w, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, e, c, i, w, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, y, l, e, g, ł, a, end text, end fraction | right arrow | tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, e, c, i, w, l, e, g, ł, a, end text, divided by, start text, p, r, z, y, p, r, o, s, t, o, k, ą, t, n, a, space, p, r, z, y, l, e, g, ł, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
Błędne wyrażenie
Wyrażenie sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis to nie to samo co start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. Innymi słowy: minus, 1 nie działa jak wykładnik potęgi. Notacja oznacza funkcję odwrotną.
Istnieje jednak alternatywna notacja, która pozwala uniknąć nieporozumień. Funkcję odwrotną do sinusa można wyrazić również jako \arcsin, do cosinusa - \arccos, a odwrotną dla tangensa \arctan. Ta notacja jest często spotykana w językach programowania, a rzadziej w zapisie matematycznym.
Rozwiązanie wstępnego zadania
We wprowadzającym zadaniu, mamy podane obydwie przyprostokątne, a więc możemy użyć funkcji odwrotnej dla tangensa, żeby znaleźć żądany kąt.
Rozwiążmy teraz kilka zadań treningowych.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji