Jeśli widzisz tę wiadomość oznacza to, że mamy problemy z załadowaniem zewnętrznych materiałów na naszej stronie internetowej.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Główna zawartość

Wprowadzenie do funkcji cyklometrycznych

Poznaj funkcje cyklometryczne: arcsin, arccos i arctan i dowiedz się, w jaki sposób pomogą Ci obliczyć nieznane miary kątów w trójkącie prostokątnym.
Spójrzmy na nowy rodzaj zadania z trygonometrii. Interesujące jest to, że tych zadań nie da się rozwiązać za pomocą sinusa, cosinusa czy tangensa.
Zadanie: Ile wynosi miara kąta L w poniższym trójkącie?
Co wiemy: W związku z kątem L, znamy długości przyprostokątnych, więc możemy zapisać:
tan(L)=przyprostokątna przyległaprzyprostokątna przeciwległa=3565
Jednak nie pomaga nam to w wyznaczeniu miary kąta L. Mamy problem!
Co potrzebujemy: Potrzebne nam są nowe narzędzia matematyczne do rozwiązywania tego typu problemów. Nasi starzy przyjaciele: sinus, cosinus i tangens niestety nie będą tu pomocne. One, korzystając z kątów, pozwalają wyliczyć stosunek dwóch boków. My jednak potrzebujemy funkcji wyznaczających miary kątów na podstawie stosunku boków. Potrzebujemy funkcji cyklometrycznych.

Funkcje cyklometryczne

Znamy już działania odwrotne. Na przykład dodawanie i dojmowanie czy mnożenie i dzielnie to działania odwrotne. Każde z działań robi przeciwną rzecz do działania odwrotnego.
W trygonometrii jest podobnie. Funkcje cyklometryczne działają odwrotnie do “zwykłych” funkcji trygonometrycznych. Na przykład:
  • Funkcja (sin1) (odwrotna do funkcji sinus) działa odwrotnie do funkcji sinus.
  • Funkcja (cos1) (odwrotna do funkcji cosinus) działa odwrotnie do funkcji cosinus.
  • Funkcja (tan1) (odwrotna do funkcji tangens) działa odwrotnie do funkcji tangens.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli znamy stosunek trygonometryczny, ale nie znamy miary kąta, możemy skorzystać z odpowiedniej funkcji cyklometrycznej, żeby wyznaczyć miarę kąta. Wszystko to przedstawiono poniżej.
Funkcje trygonometryczne podają stosunki boków na podstawie miar kątówFunkcje cyklometryczne podają miary kątów na podstawie stosunków boków
sin(θ)=przyprostokątna przeciwległaprzeciwprostokątnasin1(przyprostokątna przeciwległaprzeciwprostokątna)=θ
cos(θ)=przyprostokątna przyległaprzeciwprostokątnacos1(przyprostokątna przyległaprzeciwprostokątna)=θ
tan(θ)=przyprostokątna przeciwległaprzyprostokątna przyległatan1(przyprostokątna przeciwległaprzyprostokątna przyległa)=θ

Błędne wyrażenie

Wyrażenie sin1(x) to nie to samo co 1sin(x). Innymi słowy: 1 nie działa jak wykładnik potęgi. Notacja oznacza funkcję odwrotną.
Istnieje jednak alternatywna notacja, która pozwala uniknąć nieporozumień. Funkcję odwrotną do sinusa można wyrazić również jako arcsin, do cosinusa - arccos, a odwrotną dla tangensa arctan. Ta notacja jest często spotykana w językach programowania, a rzadziej w zapisie matematycznym.

Rozwiązanie wstępnego zadania

We wprowadzającym zadaniu, mamy podane obydwie przyprostokątne, a więc możemy użyć funkcji odwrotnej dla tangensa, żeby znaleźć żądany kąt.
mL=tan1( przyprostokątna naprzeciwległa  przyprostokątna przyległa )Definicja.mL=tan1(3565)Podstawienie wartości liczbowych.mL28,30Obliczenie za pomocą kalkulatora.

Rozwiążmy teraz kilka zadań treningowych.

zadanie 1
Dany jest KIP, wyznacz mI.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej setnej części stopnia.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Zadanie 2
Dany jest DEF. Wyznacz mE.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej setnej części stopnia.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Zadanie 3
Dany jest LYN. Wyznacz mY.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej części setnej stopnia.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Wyzwanie
Rozwiąż trójkąt prostokątny. Znajdź wszystkie brakujące boki i kąty.
Zaokrąglij liczby do najbliższych części setnych.
OE=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
mO=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
mZ=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.