Poznaj funkcje cyklometryczne: arcsin, arccos i arctan i dowiedz się, w jaki sposób pomogą Ci obliczyć nieznane miary kątów w trójkącie prostokątnym.
Spójrzmy na nowy rodzaj zadania z trygonometrii. Interesujące jest to, że tych zadań nie da się rozwiązać za pomocą sinusa, cosinusa czy tangensa.
Zadanie: Ile wynosi miara kąta LL w poniższym trójkącie?
Co wiemy: W związku z kątem L\angle L, znamy długości przyprostokątnych, więc możemy zapisać:
tan(L)=przyprostokątna przyległaprzyprostokątna przeciwległa=3565\tan(L) = \dfrac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przyprostokątna przeciwległa}} = \dfrac{35}{65}
Jednak nie pomaga nam to w wyznaczeniu miary kąta L\angle L. Mamy problem!
Co potrzebujemy: Potrzebne nam są nowe narzędzia matematyczne do rozwiązywania tego typu problemów. Nasi starzy przyjaciele: sinus, cosinus i tangens niestety nie będą tu pomocne. One, korzystając z kątów, pozwalają wyliczyć stosunek dwóch boków. My jednak potrzebujemy funkcji wyznaczających miary kątów na podstawie stosunku boków. Potrzebujemy funkcji cyklometrycznych.

Funkcje cyklometryczne

Znamy już działania odwrotne. Na przykład dodawanie i dojmowanie czy mnożenie i dzielnie to działania odwrotne. Każde z działań robi przeciwną rzecz do działania odwrotnego.
W trygonometrii jest podobnie. Funkcje cyklometryczne działają odwrotnie do “zwykłych” funkcji trygonometrycznych. Na przykład:
  • Funkcja (sin1)(\sin^{-1}) (odwrotna do funkcji sinus) działa odwrotnie do funkcji sinus.
  • Funkcja (cos1)(\cos^{-1}) (odwrotna do funkcji cosinus) działa odwrotnie do funkcji cosinus.
  • Funkcja (tan1)(\tan^{-1}) (odwrotna do funkcji tangens) działa odwrotnie do funkcji tangens.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli znamy stosunek trygonometryczny, ale nie znamy miary kąta, możemy skorzystać z odpowiedniej funkcji cyklometrycznej, żeby wyznaczyć miarę kąta. Wszystko to przedstawiono poniżej.
Funkcje trygonometryczne podają stosunki boków na podstawie miar kątówFunkcje cyklometryczne podają miary kątów na podstawie stosunków boków
sin(θ)=przyprostokątna przeciwległaprzeciwprostokątna\sin (\theta)=\dfrac {\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}\rightarrowsin1(przyprostokątna przeciwległaprzeciwprostokątna)=θ\sin^{-1}\left(\dfrac {\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}\right)=\theta
cos(θ)=przyprostokątna przyległaprzeciwprostokątna\cos (\theta)=\dfrac {\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}\rightarrowcos1(przyprostokątna przyległaprzeciwprostokątna)=θ\cos^{-1}\left(\dfrac {\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}\right)=\theta
tan(θ)=przyprostokątna przeciwległaprzyprostokątna przyległa\tan (\theta)=\dfrac {\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przyprostokątna przyległa}}\rightarrowtan1(przyprostokątna przeciwległaprzyprostokątna przyległa)=θ\tan^{-1}\left(\dfrac {\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przyprostokątna przyległa}}\right)=\theta

Błędne wyrażenie

Wyrażenie sin1(x)\sin^{-1}(x) to nie to samo co 1sin(x)\dfrac{1}{\sin(x)}. Innymi słowy: 1\small{-1} nie działa jak wykładnik potęgi. Notacja oznacza funkcję odwrotną.
Jeśli liczba lub zmienna jest podnoszona do potęgi 1\small{-1}, to zapis ten odwołuje się do inwersji mnożenia. Przykładowo 31=133^{-1}=\dfrac13. Ogólnie: jeżeli aa jest niezerową liczbą rzeczywistą, to a1=1aa^{-1}=\dfrac1a.
Ale tej zasady nie stosujemy dla sin1(x)\sin^{-1}(x). Dzieje się tak dlatego, iż sinus jest funkcją, a nie wielkością liczbową.
Ogólnie, kiedy zobaczysz 1\small{{-}1} po nazwie funkcji, będzie to odwołanie do funkcji odwrotnej. Przykładowo: jeśli ff jest funkcją, to f1f^{-1} będzie funkcją odwrotną do ff. Wyrażenie f1(x)f^{-1}(x) odwoływać się będzie do wartości liczbowej funkcji odwrotnej dla argumentu xx.
Istnieje jednak alternatywna notacja, która pozwala uniknąć nieporozumień. Funkcję odwrotną do sinusa można wyrazić również jako arcsin\arcsin, do cosinusa - arccos\arccos, a odwrotną dla tangensa arctan\arctan. Ta notacja jest często spotykana w językach programowania, a rzadziej w zapisie matematycznym.

Rozwiązanie wstępnego zadania

We wprowadzającym zadaniu, mamy podane obydwie przyprostokątne, a więc możemy użyć funkcji odwrotnej dla tangensa, żeby znaleźć żądany kąt.
mL=tan1( przyprostokątna naprzeciwległa  przyprostokątna przyległa )Definicja.mL=tan1(3565)Podstawienie wartoci liczbowych.sˊmL28,30Obliczenie za pomocą kalkulatora.\begin{aligned} { m\angle L}&=\tan^{-1} \left(\dfrac{\text{} \blueD{\text{ przyprostokątna naprzeciwległa }} }{\text{}\maroonC{\text{ przyprostokątna przyległa} }\text{ }} \right)\quad\small{\gray{\text{Definicja.}}} \\\\ m\angle L&=\tan^{-1}\left(\dfrac{\blueD{35}}{\maroonC{65}}\right)\quad\small{\gray{\text{Podstawienie wartości liczbowych.}}} \\\\ m\angle L &\approx 28{,}30^\circ \quad\small{\gray{\text{Obliczenie za pomocą kalkulatora.}}}\end{aligned}

Rozwiążmy teraz kilka zadań treningowych.

Zadanie 1
Dany jest KIP\triangle KIP, wyznacz mIm\angle I.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej setnej części stopnia.
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 66
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/53/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/47/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/41\ 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,750{,}75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi12\ \text{pi} lub 2/3 pi2/3\ \text{pi}
^\circ

Zadanie 2
Dany jest DEF\triangle DEF. Wyznacz mEm\angle E.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej setnej części stopnia.
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 66
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/53/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/47/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/41\ 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,750{,}75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi12\ \text{pi} lub 2/3 pi2/3\ \text{pi}
^\circ

Zadanie 3
Dany jest LYN\triangle LYN. Wyznacz mYm\angle Y.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej części setnej stopnia.
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 66
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/53/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/47/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/41\ 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,750{,}75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi12\ \text{pi} lub 2/3 pi2/3\ \text{pi}
^\circ

Wyzwanie
Rozwiąż trójkąt prostokątny. Znajdź wszystkie brakujące boki i kąty.
Zaokrąglij liczby do najbliższych części setnych.
OE=OE=
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 66
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/53/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/47/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/41\ 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,750{,}75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi12\ \text{pi} lub 2/3 pi2/3\ \text{pi}
mO=m\angle O =
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 66
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/53/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/47/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/41\ 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,750{,}75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi12\ \text{pi} lub 2/3 pi2/3\ \text{pi}
^\circ
mZ=m\angle Z =
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 66
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/53/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/47/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/41\ 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,750{,}75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi12\ \text{pi} lub 2/3 pi2/3\ \text{pi}
^\circ

Ładowanie