Główna zawartość

Geometria na poziomie liceum

Kurs: Geometria na poziomie liceum > Rozdział 5

Lekcja 7: Znajdowanie miary kąta w trójkącie prostokątnym przy użyciu stosunków trygonometrycznych

Wprowadzenie do funkcji cyklometrycznych

Poznaj funkcje cyklometryczne: arcsin, arccos i arctan i dowiedz się, w jaki sposób pomogą Ci obliczyć nieznane miary kątów w trójkącie prostokątnym.

Spójrzmy na nowy rodzaj zadania z trygonometrii. Interesujące jest to, że tych zadań nie da się rozwiązać za pomocą sinusa, cosinusa czy tangensa.

Zadanie: Ile wynosi miara kąta

L

w poniższym trójkącie?

Co wiemy: W związku z kątem

∠ L

, znamy długości przyprostokątnych, więc możemy zapisać:

\tan (L) = \frac{przyprostokątna przyległa}{przyprostokątna przeciwległa} = \frac{35}{65}

Jednak nie pomaga nam to w wyznaczeniu miary kąta

∠ L

. Mamy problem!

Co potrzebujemy: Potrzebne nam są nowe narzędzia matematyczne do rozwiązywania tego typu problemów. Nasi starzy przyjaciele: sinus, cosinus i tangens niestety nie będą tu pomocne. One, korzystając z kątów, pozwalają wyliczyć stosunek dwóch boków. My jednak potrzebujemy funkcji wyznaczających miary kątów na podstawie stosunku boków. Potrzebujemy funkcji cyklometrycznych.

Funkcje cyklometryczne

Znamy już działania odwrotne. Na przykład dodawanie i dojmowanie czy mnożenie i dzielnie to działania odwrotne. Każde z działań robi przeciwną rzecz do działania odwrotnego.

W trygonometrii jest podobnie. Funkcje cyklometryczne działają odwrotnie do “zwykłych” funkcji trygonometrycznych. Na przykład:

Funkcja $(\sin^{- 1})$ ‍ (odwrotna do funkcji sinus) działa odwrotnie do funkcji sinus.
Funkcja $(\cos^{- 1})$ ‍ (odwrotna do funkcji cosinus) działa odwrotnie do funkcji cosinus.
Funkcja $(\tan^{- 1})$ ‍ (odwrotna do funkcji tangens) działa odwrotnie do funkcji tangens.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli znamy stosunek trygonometryczny, ale nie znamy miary kąta, możemy skorzystać z odpowiedniej funkcji cyklometrycznej, żeby wyznaczyć miarę kąta. Wszystko to przedstawiono poniżej.

Funkcje trygonometryczne podają stosunki boków na podstawie miar kątów		Funkcje cyklometryczne podają miary kątów na podstawie stosunków boków
$\sin (θ) = \frac{przyprostokątna przeciwległa}{przeciwprostokątna}$ ‍	$\to$ ‍	$\sin^{- 1} (\frac{przyprostokątna przeciwległa}{przeciwprostokątna}) = θ$ ‍
$\cos (θ) = \frac{przyprostokątna przyległa}{przeciwprostokątna}$ ‍	$\to$ ‍	$\cos^{- 1} (\frac{przyprostokątna przyległa}{przeciwprostokątna}) = θ$ ‍
$\tan (θ) = \frac{przyprostokątna przeciwległa}{przyprostokątna przyległa}$ ‍	$\to$ ‍	$\tan^{- 1} (\frac{przyprostokątna przeciwległa}{przyprostokątna przyległa}) = θ$ ‍

Błędne wyrażenie

Wyrażenie

\sin^{- 1} (x)

to nie to samo co

\frac{1}{\sin (x)}

. Innymi słowy:

- 1

nie działa jak wykładnik potęgi. Notacja oznacza funkcję odwrotną.

[Jestem zdezorientowany. Proszę dokładniej to wyjaśnić.]

Istnieje jednak alternatywna notacja, która pozwala uniknąć nieporozumień. Funkcję odwrotną do sinusa można wyrazić również jako

\arcsin

, do cosinusa -

\arccos

, a odwrotną dla tangensa

\arctan

. Ta notacja jest często spotykana w językach programowania, a rzadziej w zapisie matematycznym.

Rozwiązanie wstępnego zadania

We wprowadzającym zadaniu, mamy podane obydwie przyprostokątne, a więc możemy użyć funkcji odwrotnej dla tangensa, żeby znaleźć żądany kąt.

\begin{aligned} m ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{przyprostokątna naprzeciwległa}{przyprostokątna przyległa}) Definicja. \\ m ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{35}{65}) Podstawienie wartości liczbowych. \\ m ∠ L & \approx 28, 30^{\circ} Obliczenie za pomocą kalkulatora. \end{aligned}

Rozwiążmy teraz kilka zadań treningowych.

zadanie 1

Dany jest $△ K I P$ ‍, wyznacz $m ∠ I$ ‍.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej setnej części stopnia.

^{\circ}

Zadanie 2

Dany jest $△ D E F$ ‍. Wyznacz $m ∠ E$ ‍.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej setnej części stopnia.

^{\circ}

Zadanie 3

Dany jest $△ L Y N$ ‍. Wyznacz $m ∠ Y$ ‍.
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej części setnej stopnia.

^{\circ}

Wyzwanie

Rozwiąż trójkąt prostokątny. Znajdź wszystkie brakujące boki i kąty.
Zaokrąglij liczby do najbliższych części setnych.

O E =

m ∠ O =

^{\circ}

m ∠ Z =

^{\circ}

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Agnieszka Wiśniewska
Opublikowane miesiąc temu. Odnosi się do postu Agnieszka Wiśniewska's o treści “Jak obliczyć za pomocą ka...”
Jak obliczyć za pomocą kalkulatora tan^-1(35/65)?
Kliknij, aby przejść do strony rejestracjiKliknij, aby przejść do strony rejestracji
(1 głos)
Odpowiedź

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.