Przegląd wiadomości na temat twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów

Przegląd zastosowań twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów oraz ich użycie do rozwiązywania zadań o dowolnych trójkątach. Tłumaczenie na polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.

Twierdzenie sinusów

start fraction, a, divided by, sine, left parenthesis, alpha, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, b, divided by, sine, left parenthesis, beta, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, c, divided by, sine, left parenthesis, gamma, right parenthesis, end fraction

Twierdzenie cosinusów

c, start superscript, 2, end superscript, equals, a, start superscript, 2, end superscript, plus, b, start superscript, 2, end superscript, minus, 2, a, b, cosine, left parenthesis, gamma, right parenthesis
Chcesz dowiedzieć się więcej o twierdzeniu sinusów? Obejrzyj ten film.
Chcesz dowiedzieć się więcej o twierdzeniu cosinusów? Obejrzyj ten film.

Ćwiczenie 1: wyznaczanie miar kątów i długości boków w trójkątach za pomocą twierdzenia sinusów

Dzięki twierdzeniu sinusów możemy wyznaczyć brakującą miarę kąta, mając dane dwa boki i kąt, lub obliczyć nieznaną długość boku znając dwa kąty i jeden bok.

Przykład 1: obliczanie nieznanej długości boku

Obliczmy długość boku A, C w tym trójkącie:
Z twierdzenia sinusów wynika, że start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, C, divided by, sine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis, end fraction. Podstawmy odpowiednie wartości i rozwiążmy otrzymane równanie:
ABsin(C)=ACsin(B)5sin(33)=ACsin(67)5sin(67)sin(33)=AC8.45AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin(\angle C)}&=\dfrac{AC}{\sin(\angle B)} \\\\ \dfrac{5}{\sin(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\sin(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\sin(67^\circ)}{\sin(33^\circ)}&=AC \\\\ 8.45&\approx AC \end{aligned}

Przykład 1: obliczanie miary nieznanego kąta

Obliczmy nieznaną miarę kąta, m, angle, A, w tym trójkącie:
Z twierdzenia sinusów wynika, że start fraction, B, C, divided by, sine, left parenthesis, angle, A, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis, end fraction. Podstawmy odpowiednie wartości i rozwiążmy otrzymane równanie:
BCsin(A)=ABsin(C)11sin(A)=5sin(25)11sin(25)=5sin(A)11sin(25)5=sin(A)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{AB}{\sin(\angle C)} \\\\ \dfrac{11}{\sin(\angle A)}&=\dfrac{5}{\sin(25^\circ)} \\\\ 11\sin(25^\circ)&=5\sin(\angle A) \\\\ \dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}&=\sin(\angle A) \end{aligned}
Do obliczeń wykorzystamy kalkulator, a wynik zaokrąglimy do dziesiątych:
m, angle, A, equals, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 11, sine, left parenthesis, 25, degree, right parenthesis, divided by, 5, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 68, comma, 4, degree
Pamiętaj, że jeśli nieznany kąt jest kątem rozwartym, prawidłową odpowiedź otrzymasz odejmując od 180, degree wynik działania na kalkulatorze.
Problem 1.1
B, C, equals
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, p, i lub 2, slash, 3, space, p, i

Zaokrąglij wynik do części dziesiątych.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 2: wyznaczanie miar kątów i długości boków w trójkątach za pomocą twierdzenia cosinusów

Dzięki twierdzeniu cosinusów możemy wyznaczyć brakującą miarę kąta, mając dane trzy boki trójkąta. Twierdzenie cosinusów możemy także wykorzystać do wyznaczenia brakującej długości boku trójkąta, jeśli znamy pozostałe dwa boki i jeden kąt.

Przykład 1: obliczanie miary kąta

Obliczmy nieznaną miarę kąta, m, angle, B, w tym trójkącie:
Korzystając z twierdzenia cosinusów:
left parenthesis, A, C, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, left parenthesis, A, B, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, minus, 2, left parenthesis, A, B, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, B, right parenthesis
Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:
(5)2=(10)2+(6)22(10)(6)cos(B)25=100+36120cos(B)120cos(B)=111cos(B)=111120\begin{aligned} (5)^2&=(10)^2+(6)^2-2(10)(6)\cos(\angle B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\angle B) \\\\ 120\cos(\angle B)&=111 \\\\ \cos(\angle B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
Do obliczeń wykorzystamy kalkulator, a wynik zaokrąglimy do dziesiątych:
m, angle, B, equals, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 111, divided by, 120, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 22, comma, 33, degree

Przykład 2: obliczanie nieznanej długości boku

Obliczmy długość boku A, B w tym trójkącie:
Korzystając z twierdzenia cosinusów:
left parenthesis, A, B, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, left parenthesis, A, C, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, minus, 2, left parenthesis, A, C, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, angle, C, right parenthesis
Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:
(AB)2=(5)2+(16)22(5)(16)cos(61)(AB)2=25+256160cos(61)AB=281160cos(61)AB14,3\begin{aligned} (AB)^2&=(5)^2+(16)^2-2(5)(16)\cos(61^\circ) \\\\ (AB)^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14{,}3 \end{aligned}
Problem 2.1
m, angle, A, equals
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, p, i lub 2, slash, 3, space, p, i
degree
Zaokrąglij wynik do pełnych stopni.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 3: trójkąty w zadaniach z tekstem

Problem 3.1
„Został już tylko jeden.” Rafał zasygnalizował do swojego brata z kryjówki.
Mateusz kiwa głowa, że zrozumiał. Dostrzegł ostatniego złego robota.
"34 stopnie." Mateusz zasygnalizował do brata, informując Rafała o kącie, jaki zaobserwował pomiędzy Rafałem a robotem.
Rafał notuje tę wartość na rysunku (pokazanym poniżej) i wykonuje obliczenia. Kalibruje swoje działo laserowe na odpowiednią odległość, wstaje, celuje i odpala broń .
Na jaką odległość skalibrował Rafał swoje działo laserowe?
Nie zaokrąglaj wyników podczas obliczeń. Zaokrąglij dopiero swoją ostateczną odpowiedź do pełnego metra.
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, p, i lub 2, slash, 3, space, p, i
space, m

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.