Główna zawartość

Geometria na poziomie liceum

Kurs: Geometria na poziomie liceum > Rozdział 6

Lekcja 3: Rozwiązywanie trójkątów

Przegląd wiadomości na temat twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów

Przegląd zastosowań twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów oraz ich użycie do rozwiązywania zadań o dowolnych trójkątach. Tłumaczenie na polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego

Twierdzenie sinusów

\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}

Twierdzenie cosinusów

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)

Chcesz dowiedzieć się więcej o twierdzeniu sinusów? Obejrzyj ten film.
Chcesz dowiedzieć się więcej o twierdzeniu cosinusów? Obejrzyj ten film.

Ćwiczenie 1: wyznaczanie miar kątów i długości boków w trójkątach za pomocą twierdzenia sinusów

Dzięki twierdzeniu sinusów możemy wyznaczyć brakującą miarę kąta, mając dane dwa boki i kąt, lub obliczyć nieznaną długość boku znając dwa kąty i jeden bok.

Przykład 1: obliczanie nieznanej długości boku

Obliczmy długość boku

A C

w tym trójkącie:

Z twierdzenia sinusów wynika, że

\frac{A B}{\sin (∠ C)} = \frac{A C}{\sin (∠ B)}

. Podstawmy odpowiednie wartości i rozwiążmy otrzymane równanie:

\begin{aligned} \frac{A B}{\sin (∠ C)} & = \frac{A C}{\sin (∠ B)} \\ \frac{5}{\sin (33^{\circ})} & = \frac{A C}{\sin (67^{\circ})} \\ \frac{5 \sin (67^{\circ})}{\sin (33^{\circ})} & = A C \\ 8, 45 & \approx A C \end{aligned}

Przykład 1: obliczanie miary nieznanego kąta

Obliczmy nieznaną miarę kąta,

m ∠ A

, w tym trójkącie:

Z twierdzenia sinusów wynika, że

\frac{B C}{\sin (∠ A)} = \frac{A B}{\sin (∠ C)}

. Podstawmy odpowiednie wartości i rozwiążmy otrzymane równanie:

\begin{aligned} \frac{B C}{\sin (∠ A)} & = \frac{A B}{\sin (∠ C)} \\ \frac{11}{\sin (∠ A)} & = \frac{5}{\sin (25^{\circ})} \\ 11 \sin (25^{\circ}) & = 5 \sin (∠ A) \\ \frac{11 \sin (25^{\circ})}{5} & = \sin (∠ A) \end{aligned}

Do obliczeń wykorzystamy kalkulator, a wynik zaokrąglimy do dziesiątych:

m ∠ A = \sin^{- 1} (\frac{11 \sin (25^{\circ})}{5}) \approx 68, 4^{\circ}

Pamiętaj, że jeśli nieznany kąt jest kątem rozwartym, prawidłową odpowiedź otrzymasz odejmując od

180^{\circ}

wynik działania na kalkulatorze.

Zadanie 1.1

B C =

Zaokrąglij wynik do części dziesiątych.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 2: wyznaczanie miar kątów i długości boków w trójkątach za pomocą twierdzenia cosinusów

Dzięki twierdzeniu cosinusów możemy wyznaczyć brakującą miarę kąta, mając dane trzy boki trójkąta. Twierdzenie cosinusów możemy także wykorzystać do wyznaczenia brakującej długości boku trójkąta, jeśli znamy pozostałe dwa boki i jeden kąt.

Przykład 1: obliczanie miary kąta

Obliczmy nieznaną miarę kąta,

m ∠ B

, w tym trójkącie:

Korzystając z twierdzenia cosinusów:

(A C)^{2} = (A B)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A B) (B C) \cos (∠ B)

Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:

\begin{aligned} (5)^{2} & = (10)^{2} + (6)^{2} - 2 (10) (6) \cos (∠ B) \\ 25 & = 100 + 36 - 120 \cos (∠ B) \\ 120 \cos (∠ B) & = 111 \\ \cos (∠ B) & = \frac{111}{120} \end{aligned}

Do obliczeń wykorzystamy kalkulator, a wynik zaokrąglimy do dziesiątych:

m ∠ B = \cos^{- 1} (\frac{111}{120}) \approx 22, 33^{\circ}

Przykład 2: obliczanie nieznanej długości boku

Obliczmy długość boku

A B

w tym trójkącie:

Korzystając z twierdzenia cosinusów:

(A B)^{2} = (A C)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A C) (B C) \cos (∠ C)

Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:

\begin{aligned} (A B)^{2} & = (5)^{2} + (16)^{2} - 2 (5) (16) \cos (61^{\circ}) \\ (A B)^{2} & = 25 + 256 - 160 \cos (61^{\circ}) \\ A B & = \sqrt{281 - 160 \cos (61^{\circ})} \\ A B & \approx 14, 3 \end{aligned}

Zadanie 2.1

m ∠ A =

^{\circ}

Zaokrąglij wynik do pełnych stopni.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 3: trójkąty w zadaniach z tekstem

Zadanie 3.1

„Został już tylko jeden.” Rafał zasygnalizował do swojego brata z kryjówki.

Mateusz kiwa głowa, że zrozumiał. Dostrzegł ostatniego złego robota.

34

stopnie." Mateusz zasygnalizował do brata, informując Rafała o kącie, jaki zaobserwował pomiędzy Rafałem a robotem.

Rafał notuje tę wartość na rysunku (pokazanym poniżej) i wykonuje obliczenia. Kalibruje swoje działo laserowe na odpowiednią odległość, wstaje, celuje i odpala broń .

Na jaką odległość skalibrował Rafał swoje działo laserowe?
Nie zaokrąglaj wyników podczas obliczeń. Zaokrąglij dopiero swoją ostateczną odpowiedź do pełnego metra.

m

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.