Główna zawartość
Geometria na poziomie liceum
Kurs: Geometria na poziomie liceum > Rozdział 2
Lekcja 3: Własności i definicje przekształceń- Sekwencje przekształceń
- Sekwencje przekształceń
- Określanie przekształceń na podstawie ich opisu
- Precyzyjne definiowanie obrotów
- Określanie przekształceń na podstawie ich opisu
- Rozpoznawanie przekształcenia na podstawie opisu
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Precyzyjne definiowanie obrotów
Przeczytaj rozmowę, w której uczeń i nauczyciel zastanawiają się, jak precyzyjnie zdefiniować obrót.
Poniższej mamy rozmowę ucznia z nauczycielem. Ich celem jest opisanie obrotów w precyzyjnym języku matematyki. Możesz obserwować jak uczeń poprawia swoją definicję kilkukrotnie, uzyskując coraz większą precyzję. Baw się dobrze!
Nauczyciel:
Dzisiaj będziemy próbowali opisać co właściwie robią obroty.
Załóżmy, że mamy obrót o stopni wokół punktu . Jak opiszesz efekt tego obrotu dla innego punktu ?
Uczeń:
Co ma pan na myśli? Skąd mam wiedzieć co obrót zrobi z punktem jeśli nic o nim nie wiem?
Nauczyciel:
To prawda, że nie wiesz nic o tym konkretnym obrocie, jednak wszystkie obroty zachowują się w podobny sposób. Czy przychodzi Ci do głowy jakikolwiek sposób na opisanie tego, co obrót zrobi z punktem ?
Uczeń:
Hmmmm... Niech pomyślę... No więc wydaje mi się, że punkt przesuwa się w w inne miejsce w odniesieniu do . Na przykład Jeśli znajduje się na prawo od , to może się po obrocie znaleźć ponad , albo coś takiego. Zależy jak duże jest .
Nauczyciel:
Nieźle. To co mówisz, można opisać w taki sposób:
Załóżmy, że jeśli obrót nakłada punkt na punkt , to kąt pomiędzy odcinkami i to .
Uczeń:
Tak, zgadzam się z tym.
Nauczyciel:
Pamiętaj jednak, że w matematyce powinniśmy być bardzo precyzyjni. Czy jest tylko jeden sposób żeby stworzyć kąt , który jest równy ?
Uczeń:
Niech spojrzę... No nie, są dwa sposoby żeby stworzyć taki kąt: zgodnie z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Nauczyciel:
Dokładnie! Obroty są wykonywane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, i nasza definicja powinna to uwzględniać:
Obrót o stopni wokół punktu przemieszcza dowolny punkt przeciwnie do ruchu wskazówek zegara do punktu , gdzie .
Oczywiście jeśli ma ujemną miarę, to obrót jest wykonywany w przeciwnym kierunku, czyli zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Uczeń:
Fajnie. Czy to już koniec?
Nauczyciel:
Ty mi to powiedz. Definicja powinna zupełnie jasno określać gdzie przenosimy . Czyli powinien być tylko jeden punkt, który pasuje do opisu .
Czy jest tylko jeden punkt, który tworzy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara kąt równy ?
Uczeń:
Tak sądzę... Moment! Nie! Jest wiele punktów, które mogą stworzyć taki kąt! Dowolny punkt na półprostej wychodzącej z w kierunku stworzy kąt z punktem .
Nauczyciel:
Trafne spostrzeżenie! Jak więc można ulepszyć naszą definicję?
Uczeń:
Zgadza się, dodatkowo do tego, że kąt musi być równy , odległość od powinna zostać taka sama. Myślę, że matematycznie można to zapisać jako .
Nauczyciel:
Brawo! Możemy podsumować naszą pracę w następującej definicji:
Obrót o stopni wokół punktu przemieszcza dowolny punkt przeciwnie do ruchu wskazówek zegara do punktu , gdzie i .
Uczeń:
Wow, to jest bardzo precyzyjne!
Nauczyciel:
W rzeczy samej. Dodatkowo pokażę ci inny sposób na zdefiniowanie obrotu:
Obrót o stopni wokół punktu przemieszcza dowolny punkt przeciwnie do ruchu wskazówek zegara do punktu takiego, że zarówno jak i znajdują się na tym samym okręgu o środku , a .
Uczeń:
Rzeczywiście, to również będzie działać, ponieważ punkty na okręgu znajdują się w tej samej odległości od jego środka.
Nauczyciel:
Masz rację! Główna różnica pomiędzy tymi dwoma definicjami jest taka, że w pierwszej używamy odcinków, a w drugiej okręgu.
Uczeń:
Super. I to już wszystko?
Nauczyciel:
Tak. Sądzę, że zdefiniowaliśmy obroty tak precyzyjnie, jak się tylko da.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji