Główna zawartość

Kurs: Geometria na poziomie liceum: krok po kroku > Rozdział 9

Lekcja 7: Kąty wpisane

Dowód twierdzenia o kącie wpisanym w okrąg

Google Classroom

Dowód na to, że miara kąta wpisanego jest równa połowie miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Na początek

Zanim porozmawiamy o dowodzie, upewnijmy się, że rozumiemy kilka wyszukanych terminów.

Oto krótkie ćwiczenie na dopasowywanie, żeby sprawdzić czy kojarzysz znaczenie tych określeń:

Korzystając z obrazka, dopasuj zmienne do określeń.

1

Dany kąt można określić jako

kąt środkowy

, gdy jego wierzchołek jest środkiem okręgu, jak na przykład

θ

przedstawiony na obrazku.

Dany kąt można określić jako

kąt wpisany

, gdy jego wierzchołek leży na okręgu, jak na przykład

ψ

przedstawiony na obrazku.

Ramiona kąta wpisanego i kąta środkowego opierają się na części obwodu okręgu. Tę część okręgu nazywamy

łukiem

, na którym opiera się kąt.

Dobra robota! Będziemy korzystać z tych określeń przez resztę tego artykułu.

Co będziemy udowadniać

Zaraz dowiedziemy, że gdy kąt wpisany

(ψ)

i kąt środkowy

(θ)

oparte są na tym samym łuku, dzieje się coś fajnego: Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego.

θ = 2 ψ

Ogólny zarys dowodu

Żeby udowodnić, że

θ = 2 ψ

dla wszystkich

θ

oraz

ψ

(jak określiliśmy powyżej), musimy przyjrzeć się trzem osobnym przypadkom:

Przypadek A	Przypadek B	Przypadek C

Wspólnie wszystkie te przypadki przedstawiają wszystkie możliwe sytuacje, w których kąt wpisany i kąt środkowy oparte są na tym samym łuku.

Przypadek A: Średnica leży wzdłuż jednego z ramion kąta wpisanego, $ψ$ ‍.

Krok 1: Znajdź trójkąt równoramienny.

Odcinki

\overset{―}{B C}

oraz

\overset{―}{B D}

są promieniami, więc są tej samej długość. Oznacza to, że trójkąt

△ C B D

jest równoramienny, co z kolei oznacza, że kąty przy jego podstawie są przystające:

m ∠ C = m ∠ D = ψ

Krok 2: Znajdź kąt półpełny.

Kąt

∠ A B C

to kąt półpełny, więc

\begin{aligned} θ + m ∠ D B C & = 180^{\circ} \\ m ∠ D B C & = 180^{\circ} - θ \end{aligned}

Krok 3: Zapisz równanie i oblicz $ψ$ ‍.

Kąty wewnętrzne trójkąta

△ C B D

ψ

ψ

oraz

(180^{\circ} - θ)

. Wiemy, że suma kątów w każdym trójkącie wynosi

180^{\circ}

\begin{aligned} ψ + ψ + (180^{\circ} - θ) & = 180^{\circ} \\ 2 ψ + 180^{\circ} - θ & = 180^{\circ} \\ 2 ψ - θ & = 0 \\ 2 ψ & = θ \end{aligned}

Super. Ukończyliśmy nasz dowód dla Przypadku A. Zostały jeszcze dwa!

Przypadek B: Średnica leży pomiędzy ramionami kąta wpisanego, $ψ$ ‍.

Krok 1: Bądź sprytny i narysuj średnicę

Używając średnicy rozbijmy

ψ

ψ_{1}

oraz

ψ_{2}

, natomiast

θ

rozbijmy na

θ_{1}

oraz

θ_{2}

Krok 2: Skorzystaj z tego, czego nauczyliśmy się z Przypadku A, żeby utworzyć dwa równania.

Na naszym nowym wykresie, średnica dzieli okrąg na dwie połowy. Każda z nich zawiera kąt wpisany z ramieniem na średnicy. Jest to taka sama sytuacja jak w przypadku A, więc wiemy, że

(1) θ_{1} = 2 ψ_{1}

(2) θ_{2} = 2 ψ_{2}

przez to, czego nauczyliśmy się w Przypadku A.

Krok 3: Zsumuj równania.

\begin{aligned} θ_{1} + θ_{2} & = 2 ψ_{1} + 2 ψ_{2} & Dodaj równania (1) i (2) \\ (θ_{1} + θ_{2}) & = 2 (ψ_{1} + ψ_{2}) & Grupowanie zmiennych \\ θ & = 2 ψ & θ = θ_{1} + θ_{2} i ψ = ψ_{1} + ψ_{2} \end{aligned}

Przypadek B skończony. Jeszcze tylko jeden!

Przypadek C: Średnica leży poza ramionami kąta wpisanego.

Krok 1: Bądź sprytny i narysuj średnicę

Posłużmy się średnicą, żeby stworzyć dwa nowe kąty:

θ_{2}

oraz

ψ_{2}

Krok 2: Skorzystaj z tego, czego nauczyliśmy się z Przypadku A, żeby utworzyć dwa równania.

Podobnie jak w Przypadku B, stworzyliśmy wykres, który pozwala nam skorzystać z tego, czego nauczyliśmy się z Przypadku A. Z tego wykresu wynika:

(1) θ_{2} = 2 ψ_{2}

(2) (θ_{2} + θ) = 2 (ψ_{2} + ψ)

Krok 3: Podstaw i uprość.

\begin{aligned} (θ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & (2) \\ (2 ψ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & θ_{2} = 2 ψ_{2} \\ 2 ψ_{2} + θ & = 2 ψ_{2} + 2 ψ \\ θ & = 2 ψ \end{aligned}

I daliśmy radę! Udowodniliśmy, że

θ = 2 ψ

we wszystkich trzech przypadkach.

Podsumowanie tego, co zrobiliśmy

Na początku chcieliśmy udowodnić, że miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego, jeśli oba są oparte na tym samym łuku.

Nasz dowód rozpoczęliśmy od ustalenia trzech przypadków, które przedstawiają wszystkie możliwe sytuacje, w których kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym łuku.

Przypadek A	Przypadek B	Przypadek C

W przypadku A, zauważyliśmy trójkąt równoramienny i kąt prosty. Dzięki temu ułożyliśmy kilka równań, posługując się

ψ

oraz

θ

. Z małą pomocą algebry udowodniliśmy, że

θ = 2 ψ

W przypadkach B i C sprytnie wprowadziliśmy średnicę:

Przypadek B	Przypadek C

Dzięki temu mogliśmy użyć wyniku z Przypadku C, co zrobiliśmy. Zarówno w Przypadku B jak i w Przypadku C, zapisaliśmy równania ze zmiennymi z figur, co było możliwe dzięki temu, czego nauczyliśmy się w Przypadku A. Po utworzeniu równań, z pomocą algebry pokazaliśmy, że

θ = 2 ψ

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Geometria na poziomie liceum: krok po kroku

Kurs: Geometria na poziomie liceum: krok po kroku > Rozdział 9

Na początek

Co będziemy udowadniać

Ogólny zarys dowodu

Przypadek A: Średnica leży wzdłuż jednego z ramion kąta wpisanego, ψ‍ .

Krok 1: Znajdź trójkąt równoramienny.

Krok 2: Znajdź kąt półpełny.

Krok 3: Zapisz równanie i oblicz ψ‍ .

Przypadek B: Średnica leży pomiędzy ramionami kąta wpisanego, ψ‍ .

Krok 1: Bądź sprytny i narysuj średnicę

Krok 2: Skorzystaj z tego, czego nauczyliśmy się z Przypadku A, żeby utworzyć dwa równania.

Krok 3: Zsumuj równania.

Przypadek C: Średnica leży poza ramionami kąta wpisanego.

Krok 1: Bądź sprytny i narysuj średnicę

Krok 2: Skorzystaj z tego, czego nauczyliśmy się z Przypadku A, żeby utworzyć dwa równania.

Krok 3: Podstaw i uprość.

Podsumowanie tego, co zrobiliśmy

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przypadek A: Średnica leży wzdłuż jednego z ramion kąta wpisanego, $ψ$ ‍.

Krok 3: Zapisz równanie i oblicz $ψ$ ‍.

Przypadek B: Średnica leży pomiędzy ramionami kąta wpisanego, $ψ$ ‍.