Główna zawartość

Kurs: Geometria na poziomie liceum: krok po kroku > Rozdział 4

Lekcja 2: Wprowadzenie do podobieństwa trójkątów

Kryterium podobieństwa trójkątów kąt-kąt

Google Classroom

Co to znaczy, że trójkąty są podobne?

Definicja 1

Co podobieństwo oznacza w geometrii?

(Choice A)
Jeżeli wszystkie pary odpowiadających sobie kątów w dwóch figurach są sobie równe to oznacza, że figury są podobne.
(Choice B)
Jeżeli wszystkie pary odpowiadających sobie boków w dwóch figurach mają ten sam współczynnik proporcji to oznacza, że figury są do siebie podobne.
(Choice C)
Jeżeli możemy przekształcić jedną figurę na drugą stosując sekwencję przekształceń izometrycznych to oznacza, że figury są podobne.
(Choice D)
Figury są podobne jeśli możemy znaleźć sekwencję przekształceń izometrycznych i skalowań, które mapują je na siebie.

Udowodnij, że trójkąty są podobne

Wykorzystując właściwości przesunięcia, obrotu i odbicia możemy wykazać, że dwa trójkąty są przystające nawet jeśli znamy tylko niektóre ich wymiary. Jak dużo informacji potrzebujemy mieć aby wiedzieć, że dwa trójkąty są podobne?

Dwie pary kątów i dwie pary boków?

Jak możemy uzasadnić, że $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ jest przystający do $△ D E F$ ‍?

Jaki rodzaj transformacji przekształca $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ na $△ D E F$ ‍?

△ A^{'} B^{'} C^{'}

jest przystający do

△ D E F

, w związku z tym możemy przekształcić

△ A^{'} B^{'} C^{'}

△ D E F

stosując tylko

Dokończ sekwencję transformacji, aby wykazać, że $△ A B C$ ‍ jest podobny do $△ D E F$ ‍.

△ D E F

jest obrazem

△ A B C

po:

Przeskaluj przez współczynnik skalowania
z punktu $P$ ‍.
Przesuń wzdłuż skierowanego odcinka
.
Obróć wokół punktu
o kąt $m ∠ C^{″} E F$ ‍.
Odbij względem linii
.

Wiemy, że

A B = 5

B C = 9

, nie znamy jednak długości trzeciego boku. Jednak dowolny inny trójkąt z dwoma bokami o takich samych długościach i z kątem między nimi, który mierzy

m ∠ B

musi być przystający do

△ A B C

zgodnie z zasadą przystawania bok-kąt-bok. W związku z tym istnieje tylko jedna możliwa długość boku

A C

A zatem, mamy tu tylko jedną możliwą długość

0, 5 (A C)

. w związku z tym

A^{'} C^{'}

musi być równe

F D

Jak nisko możemy zejść?

W oparciu o nasze transformacje wyżej, możemy być pewni, że dwa trójkąty są podobne, jeśli mają

2

pary podobnych kątów i

2

pary odpowiadających sobie boków o równych współczynnikach proporcji. Czy moglibyśmy pokazać, że trójkąty były podobne z mniejszą ilością informacji? Ile mniej?

Dwie pary kątów i jedna para boków?

Uzupełnij uzasadnienie, że $△ G H I$ ‍ jest podobny do $△ J K L$ ‍.

$△ G^{'} H^{'} I^{'}$ ‍ jest obrazem $△ G H I$ ‍ po przeskalowaniu współczynnikiem skalowania
.
Możemy znaleźć przekształcenie izometryczne przekształcające $△ G^{'} H^{'} I^{'}$ ‍ na $△ J K L$ ‍ ponieważ $△ G^{'} H^{'} I^{'} ≅ △ J K L$ ‍ zgodnie z
zasadą przystawania.
Możemy przekształcić $△ G H I$ ‍ na $△ J K L$ ‍ porzez sekwencję transformacji izometrycznych i skalowań więc, więc $△ G H I \sim △ J K L$ ‍.

Tylko dwie pary kątów?

Skopletuj uzasadnienie, że $△ M N O$ ‍ jest podobny do $△ P Q R$ ‍.

	Instrukcja	Uzasadnienie
1	Dane $∠ M ≅ ∠ P$ ‍ i $∠ N ≅ ∠ Q$ ‍
2	Przeskaluj $△ M N O$ ‍ używając współczynnika skalowania .
3	$∠ M^{'} ≅ ∠ M$ ‍ i $∠ N^{'} ≅ ∠ N$ ‍	Skalowanie zachowuje miary kątów.
4	$∠ M^{'} ≅ ∠ P$ ‍ i $∠ N^{'} ≅ ∠ Q$ ‍	Relacja przystawania jest tranzytywna
5	$M^{'} N^{'} =$ ‍	W ten sposób zdefiniowaliśmy skalowanie.
6	$△ M^{'} N^{'} O^{'} ≅ △ P Q R$ ‍	Zasada przystawania trójkątów kąt-bok-kąt
7	Istnieje sekwencja przekształceń izometrycznych, która przekształca $△ M^{'} N^{'} O^{'}$ ‍ to $△ P Q R$ ‍.	Definicja
8	$△ M N O \sim △ P Q R$ ‍	Istnieje sekwencja przekształceń izometrycznych i skalowań, która przekształca $△ M N O$ ‍ to $△ P Q R$ ‍.

Tak! Tak możemy wykazać, że dwa trójkąty są podobne nawet wtedy jeśli wszystko co wiemy to fakt, że dwie pary odpowiednich kątów tych trójkątów są równe.

Wejdźmy głębiej

Tu znajdziesz trochę więcej pytań, które zmuszą cię do głębszych przemyśleń. Podziel się proszę swoimi odpowiedziami w komentarzach.

Jak możemy udowodnić zasadę podobieństwa kąt-kąt (KK) wykorzystując zasadę przystawania kąt-kąt-bok (KKB) zamiast zasady przystawania kąt-bok-kąt (KBK)?
Jaka jest różnica pomiędzy zasadą podobieństwa bok-bok-bok a zasadą przystawania bok-bok-bok?
Czy istnieje zasada podobieństwa oparta tylko na kątach dla czworoboków?

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.