Główna zawartość

Geometria na poziomie liceum: krok po kroku

Kurs: Geometria na poziomie liceum: krok po kroku > Rozdział 1

Lekcja 4: Obroty

Obrót wielokąta dookoła początku układu współrzędnych

Jak narysować obraz figury po obrocie wokół początku układu współrzędnych o dowolną wielokrotność 90°? Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Wprowadzenie

W tym artykule poćwiczymy obracanie figur. Mówiąc w języku matematyki, nauczymy się jak rysować obraz danej figury po wskazanym obrocie.

W tym artykule skupimy się na obrotach o kąty będące wielokrotnościami

90^{\circ}

, zarówno dodatnie (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) jak i ujemne (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Część 1: Obroty punktów o $90^{\circ}$ ‍, $180^{\circ}$ ‍ i $- 90^{\circ}$ ‍

Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu

Chcemy znaleźć obraz

A^{'}

dla punktu

A (3, 4)

po obrocie

90^{\circ}

wokół początku układu współrzędnych.

Zacznijmy od narysowania tego zadania. Dodatnie obroty są przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, więc nasz obrót powinien wyglądać mniej więcej tak:

Świetnie, oszacowaliśmy położenie

A^{'}

na oko. Teraz musimy jednak znaleźć dokładne współrzędne. Są na to dwa sposoby.

Metoda 1: Podejście rysunkowe

Możemy sobie wyobrazić prostokąt, który ma jeden wierzchołek w początku układu współrzędnych, a przeciwny wierzchołek w punkcie

A

Obrót o

90^{\circ}

jest jak przewrócenie prostokąta na bok:

Widzimy teraz, że obraz punktu $A (3, 4)$ ‍ po obrocie to $A^{'} (- 4, 3)$ ‍.

Zauważ, że łatwiej jest obracać punkty leżące na osiach, a to pomaga nam znaleźć obraz punktu

A

Punkt	$(3, 0)$ ‍	$(0, 4)$ ‍	$(3, 4)$ ‍
Obraz	$(0, 3)$ ‍	$(- 4, 0)$ ‍	$(- 4, 3)$ ‍

Metoda 2: Podejście algebraiczne

Przyjrzyjmy się bliżej punktom

A

A^{'}

Punkt	Współrzędna $x$ ‍	Współrzędna $y$ ‍
$A$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
$A^{'}$ ‍	$- 4$ ‍	$3$ ‍

Zauważamy interesujące zjawisko: Współrzędna

x

punktu

A

staje się współrzędną

y

punktu

A^{'}

, a przeciwieństwo współrzędnej

y

punktu

A

staje się współrzędną

x

punktu

A^{'}

Możemy przedstawić to matematycznie w ten sposób:

$R_{(0, 0), 90^{\circ}} (x, y) = (- y, x)$ ‍

Okazuje się, że jest to prawdą dla dowolnego punktu, nie tylko dla punktu

A

. Tutaj jest kilka przykładów:

Ponadto okazuje się, że obroty o

180^{\circ}

czy

- 90^{\circ}

mają podobne wzory:

$R_{(0, 0), 180^{\circ}} (x, y) = (- x, - y)$ ‍

$R_{(0, 0), - 90^{\circ}} (x, y) = (y, - x)$ ‍

Możemy tego użyć do obrócenia dowolnego punktu podstawiając jego współrzędne do odpowiedniego równania.

Twoja kolej!

Zadanie 1

Narysuj obraz punktu $B (- 7, - 3)$ ‍ po obrocie $R_{(0, 0), - 90^{\circ}}$ ‍.

[Potrzebuję pomocy! Chcę zobaczyć rozwiązanie.]

Zadanie 2

Narysuj obraz punktu $C (5, - 6)$ ‍ po obrocie $R_{(0, 0), 180^{\circ}}$ ‍.

[Potrzebuję pomocy! Chcę zobaczyć rozwiązanie.]

Metoda graficzna a metoda algebraiczna

W zasadzie każdy może wybrać metodę, jaka mu najbardziej pasuje. Każdy lubi co innego!

Metoda algebraiczna wymaga mniej pracy i czasu, jednak musisz zapamiętać te wzory. Metoda graficzna jest zawsze do dyspozycji, jednak zajmuje więcej czasu.

Część 2: Rozszerzenie do dowolnej wielokrotności $90^{\circ}$ ‍

Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu

Chcemy znaleźć obraz

D^{'}

dla punktu

D (- 5, 4)

po obrocie

270^{\circ}

wokół początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Ponieważ obrót o

270^{\circ}

da taki sam efekt co obrót o

90^{\circ}

trzy razy, możemy rozwiązać to zadanie graficznie wykonując trzy kolejne obroty o

90^{\circ}

Ale zaraz! Możemy po prostu wykonać obrót o

- 90^{\circ}

zamiast o

270^{\circ}

. Te obroty nazywane są równoważnymi. Przekonaj się:

Z tego samego powodu możemy też użyć wzoru

R_{(0, 0), - 90^{\circ}} (x, y) = (y, - x)

$R_{(0, 0), 270^{\circ}} (- 5, 4) = (4, 5)$ ‍

Prześledźmy jeszcze jedno przykładowe zadanie

Chcemy znaleźć obraz punktu

(- 9, - 7)

po obrocie o

810^{\circ}

wokół początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Obrót o

810^{\circ}

to obrót o

360^{\circ}

wykonany dwa razy, a następnie dodany jeszcze obrót o

90^{\circ}

(ponieważ

810 = 2 \cdot 360 + 90

Obrót o

360^{\circ}

przenosi każdy punkt z powrotem w to samo miejsce. Mówiąc prościej - nic się nie zmienia.

[Potrzebuję więcej wyjaśnień.]

Tak więc obrót o

810^{\circ}

to to samo, co obrót o

90^{\circ}

. Możemy więc po prostu użyć wzotu

R_{(0, 0), 90^{\circ}} (x, y) = (- y, x)

$R_{(0, 0), 810^{\circ}} (- 9, - 7) = (7, - 9)$ ‍

Twoja kolej!

Zadanie 1

Narysuj obraz punktu $E (8, 6)$ ‍ po obrocie $R_{(0, 0), - 270^{\circ}}$ ‍.

[Potrzebuję pomocy! Chcę zobaczyć rozwiązanie.]

Zadanie 2

Który obrót jest równoważny do obrotu $R_{(0, 0), - 990^{\circ}}$ ‍?

[Potrzebuję pomocy! Chcę zobaczyć rozwiązanie.]

Część 3: Obroty wielokątów

Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu

Zastanówmy się nad czworokątem

D E F G

narysowanym poniżej. Narysujmy jego obraz,

D^{'} E^{'} F^{'} G^{'}

, po obrocie

R_{(0, 0), 270^{\circ}}

Rozwiązanie

Podobnie jak w przypadku przesunięć, kiedy obracamy wielokąt, musimy wykonać tylko obrót jego wierzchołków, a następnie połączyć ich obrazy po obrocie, żeby ponownie powstał wielokąt.

[Jak wyglądałby obrót o -90°?]

Twoja kolej!

Narysuj obraz $△ H I J$ ‍ poniżej, po obrocie $R_{(0, 0), 90^{\circ}}$ ‍.

[Potrzebuję pomocy! Chcę zobaczyć rozwiązanie.]

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Geometria na poziomie liceum: krok po kroku

Kurs: Geometria na poziomie liceum: krok po kroku > Rozdział 1

Wprowadzenie

Część 1: Obroty punktów o 90∘‍ , 180∘‍ i −90∘‍

Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu

Metoda 1: Podejście rysunkowe

Metoda 2: Podejście algebraiczne

Twoja kolej!

Zadanie 1

Zadanie 2

Metoda graficzna a metoda algebraiczna

Część 2: Rozszerzenie do dowolnej wielokrotności 90∘‍

Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu

Rozwiązanie

Prześledźmy jeszcze jedno przykładowe zadanie

Rozwiązanie

Twoja kolej!

Zadanie 1

Zadanie 2

Część 3: Obroty wielokątów

Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu

Rozwiązanie

Twoja kolej!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Część 1: Obroty punktów o $90^{\circ}$ ‍, $180^{\circ}$ ‍ i $- 90^{\circ}$ ‍

Część 2: Rozszerzenie do dowolnej wielokrotności $90^{\circ}$ ‍