Główna zawartość
Geometria na poziomie liceum: krok po kroku
Kurs: Geometria na poziomie liceum: krok po kroku > Rozdział 1
Lekcja 4: Obroty- Obroty punktów na płaszczyźnie
- Obroty punktów na płaszczyźnie
- Wyznaczanie kąta obrotu
- Wyznaczanie kąta obrotu
- Określanie obrotów
- Obrót wielokąta dookoła początku układu współrzędnych
- Obrót wielokąta dookoła początku układu współrzędnych
- Obroty figur
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Obrót wielokąta dookoła początku układu współrzędnych
Jak narysować obraz figury po obrocie wokół początku układu współrzędnych o dowolną wielokrotność 90°? Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Wprowadzenie
W tym artykule poćwiczymy obracanie figur. Mówiąc w języku matematyki, nauczymy się jak rysować obraz danej figury po wskazanym obrocie.
W tym artykule skupimy się na obrotach o kąty będące wielokrotnościami 90, degrees, zarówno dodatnie (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) jak i ujemne (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).
Część 1: Obroty punktów o 90, degrees, 180, degrees i minus, 90, degrees
Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu
Chcemy znaleźć obraz A, prime dla punktu A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis po obrocie 90, degrees wokół początku układu współrzędnych.
Zacznijmy od narysowania tego zadania. Dodatnie obroty są przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, więc nasz obrót powinien wyglądać mniej więcej tak:
Świetnie, oszacowaliśmy położenie A, prime na oko. Teraz musimy jednak znaleźć dokładne współrzędne. Są na to dwa sposoby.
Metoda 1: Podejście rysunkowe
Możemy sobie wyobrazić prostokąt, który ma jeden wierzchołek w początku układu współrzędnych, a przeciwny wierzchołek w punkcie A.
Obrót o 90, degrees jest jak przewrócenie prostokąta na bok:
Widzimy teraz, że obraz punktu A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis po obrocie to A, prime, left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis.
Zauważ, że łatwiej jest obracać punkty leżące na osiach, a to pomaga nam znaleźć obraz punktu A:
| Punkt | left parenthesis, 3, comma, 0, right parenthesis | left parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesis | left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis |
|---|---|---|---|
| Obraz | left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis | left parenthesis, minus, 4, comma, 0, right parenthesis | left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis |
Metoda 2: Podejście algebraiczne
Przyjrzyjmy się bliżej punktom A i A, prime:
| Punkt | Współrzędna x | Współrzędna y |
|---|---|---|
| A | start color #01a995, 3, end color #01a995 | start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff |
| A, prime | minus, start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff | start color #01a995, 3, end color #01a995 |
Zauważamy interesujące zjawisko: Współrzędna x punktu A staje się współrzędną y punktu A, prime, a przeciwieństwo współrzędnej y punktu A staje się współrzędną x punktu A, prime.
Możemy przedstawić to matematycznie w ten sposób:
Okazuje się, że jest to prawdą dla dowolnego punktu, nie tylko dla punktu A. Tutaj jest kilka przykładów:
Ponadto okazuje się, że obroty o 180, degrees czy minus, 90, degrees mają podobne wzory:
Możemy tego użyć do obrócenia dowolnego punktu podstawiając jego współrzędne do odpowiedniego równania.
Twoja kolej!
Zadanie 1
Zadanie 2
Metoda graficzna a metoda algebraiczna
W zasadzie każdy może wybrać metodę, jaka mu najbardziej pasuje. Każdy lubi co innego!
Metoda algebraiczna wymaga mniej pracy i czasu, jednak musisz zapamiętać te wzory. Metoda graficzna jest zawsze do dyspozycji, jednak zajmuje więcej czasu.
Część 2: Rozszerzenie do dowolnej wielokrotności 90, degrees
Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu
Chcemy znaleźć obraz D, prime dla punktu D, left parenthesis, minus, 5, comma, 4, right parenthesis po obrocie 270, degrees wokół początku układu współrzędnych.
Rozwiązanie
Ponieważ obrót o 270, degrees da taki sam efekt co obrót o 90, degrees trzy razy, możemy rozwiązać to zadanie graficznie wykonując trzy kolejne obroty o 90, degrees:
Ale zaraz! Możemy po prostu wykonać obrót o minus, 90, degrees zamiast o 270, degrees. Te obroty nazywane są równoważnymi. Przekonaj się:
Z tego samego powodu możemy też użyć wzoru R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
Prześledźmy jeszcze jedno przykładowe zadanie
Chcemy znaleźć obraz punktu left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis po obrocie o 810, degrees wokół początku układu współrzędnych.
Rozwiązanie
Obrót o 810, degrees to obrót o 360, degrees wykonany dwa razy, a następnie dodany jeszcze obrót o 90, degrees (ponieważ 810, equals, 2, dot, 360, plus, 90).
Obrót o 360, degrees przenosi każdy punkt z powrotem w to samo miejsce. Mówiąc prościej - nic się nie zmienia.
Tak więc obrót o 810, degrees to to samo, co obrót o 90, degrees. Możemy więc po prostu użyć wzotu R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
Twoja kolej!
Zadanie 1
Zadanie 2
Część 3: Obroty wielokątów
Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu
Zastanówmy się nad czworokątem D, E, F, G narysowanym poniżej. Narysujmy jego obraz, D, prime, E, prime, F, prime, G, prime, po obrocie R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 270, degrees, end subscript.
Rozwiązanie
Podobnie jak w przypadku przesunięć, kiedy obracamy wielokąt, musimy wykonać tylko obrót jego wierzchołków, a następnie połączyć ich obrazy po obrocie, żeby ponownie powstał wielokąt.
Twoja kolej!
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji