Pole powierzchni sześciokąta foremnego

Figura ABCDEF to sześciokąt foremny. Sześciokąt to figura o 6 bokach. Można je policzyć, więc nie musicie wierzyć na słowo. Przymiotnik „foremny” oznacza że wszystkie boki mają tę samą długość i wszystkie kąty są przystające, czyli identyczne. Znamy też długość jednego z boków a więc wszystkich, bo to sześciokąt foremny. Jest równa dwa pierwiastki z trzech (2√3). Ten bok ma długość 2√3… ten taką samą… i tak dalej. Wszystkie boki są równe. Mamy obliczyć pole tego sześciokąta. Sześciokąta ABCDEF. Najlepszy sposób to podzielić go na trójkąty. Ta metoda działa w przypadku każdego wielokąta ale z figurami foremnymi jest wyjątkowo łatwa. Zwłaszcza z sześciokątem foremnym. Zaznaczmy ten punkt. Niech to będzie punkt G. To jakby środek sześciokąta. Nie jest środkiem, bo musiałby być równo odległy od wszystkiego, a to niemożliwe. Wystarczy, że jest równo odległy od wierzchołków. Odcinek GD… jest taki sam jak GC… taki sam jak GB… taki sam jak GA… taki sam jak GF… i taki sam jak GE. Narysuję te odcinki. To jest GE… to jest GD… GC… Wszystkie mają równą długość. Dlatego nazwałem punkt G środkiem tego wielokąta. Ten odcinek jest równy temu… temu… temu… temu… i temu. Wiemy też, że gdybyśmy okrążyli ten środek w ten sposób pokonalibyśmy 360 stopni. Oraz że wszystkie te trójkąty są przystające. Można to udowodnić. Dwa boki każdego z nich mają równą długość bo punkt G jest geometrycznym środkiem. Trzeci bok również ma równą długość 2√3. Zatem na mocy zasady bok-bok-bok te trójkąty są przystające. A skoro są przystające to ten wewnętrzny kąt przy punkcie G jest identyczny w każdym z tych 6 trójkątów. Nazwijmy go „x”. To jest x... to jest x... to jest x... to jest x... i to jest x. Ich suma to pełne koło, 360 stopni. I jest ich 6. 6 x = 360 stopni Dzielimy obie strony przez 6 i otrzymujemy: x = 60 stopni Wszystkie kąty mają 60 stopni. Teraz coś ciekawego. Wiemy, że te trójkąty… na przykład trójkąt GBC, ale dotyczy to każdego… Wyszło nam koło fortuny. Wiemy, że to trójkąt RÓWNORAMIENNY, bo ten bok jest równy temu. Mając tę informację możemy obliczyć pozostałe kąty ponieważ w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Ten jest równy temu. Nazwijmy je „y”. Zatem y + y, czyli 2y… dodać 60 stopni… musi się równać 180… bo tyle wynosi suma kątów każdego trójkąta. Odejmuję 60 od obu stron i zostaje 2 y = 120 Dzielę przez 2 i mamy y = 60 To ciekawe, bo wyszło na to, że WSZYSTKIE kąty w tych trójkątach są równe. A kiedyś, przy okazji omawiania trójkątów udowodniliśmy że jeśli w trójkącie wszystkie kąty wynoszą 60 stopni to mamy do czynienia z trójkątem równobocznym w którym wszystkie BOKI są równe. Skoro ten bok ma długość 2√3 to także ten… i ten. Wszystkie zielone odcinki mają tę długość i, o czym już wcześniej wiedzieliśmy także wszystkie żółte odcinki mają długość 2√3. Możemy wykorzystać tę informację do obliczenia… Właściwie nie trzeba tego liczyć, co pokażę za chwilę… …do obliczenia pola jednego trójkąta, które pomnożymy przez 6. Spróbujmy obliczyć pole tego trójkąta. Długość DC wynosi 2√3. Spuszczamy wysokość… W taki sposób… Wiemy jednocześnie, że jest to trójkąt równoboczny. Te trójkąty są zatem symetryczne. Tu są kąty proste… a tu jest 60 stopni. Jeśli potraktujemy te trójkąty osobno kąty sumują się do 180. Więc tu musi być 30… i tu też. Mają takie same kąty i jeden wspólny bok, więc są przystające. Chcemy obliczyć pole tego dużego trójkąta. Zrobimy to obliczając pole tego mniejszego trójkąta i mnożąc je przez dwa. Albo od razu przez 12, aby otrzymać pole sześciokąta. Jak obliczyć to pole? Podstawa będzie równa połowie boku. Ten odcinek… Opiszmy ten punkt jako H… DH = √3 I mamy do czynienia z kątami: 30 60 90. Przerysuję go tutaj. Tu jest kąt 30 stopni… tu 60 stopni… a tu 90 stopni. Ten odcinek ma długość √3. Wiemy również, że ten ma długość 2√3. Ale to nam niepotrzebne. Musimy wyliczyć tę wysokość a wiadomo, że w trójkącie 30-60-90 dłuższa przyprostokątna ma długość √3 razy długość krótszej przyprostokątnej. Więc to będzie √3 * √3. A to się równa po prostu 3. Zatem ta wysokość ma długość 3. Obliczmy pole tego trójkąta. Czyli tego. 1/2 * podstawa * wysokość Pole tego wycinka to 1/2 razy ta podstawa… Właściwie to zostawmy ten trójkąt i policzmy ten większy – GDC. Wymażę to, bo znamy już jego podstawę i wysokość. Pole trójkąta GDC… Teraz interesuje mnie całe to pole. …jest równe 1/2 * podstawa * wysokość Co jest podstawą? Jeden z boków sześciokąta. Cały ten odcinek równy 2√3. 1/2 * 2√3 *… I teraz wysokość, którą wyliczyliśmy tutaj. Wysokość jest równa 3, więc razy 3. 1/2 i 2 się znoszą… i zostają 3√3. To pole jednego z takich trójkątów. Aby obliczyć pole całego sześciokąta, musimy pomnożyć je przez 6 bo trójkątów jest 6. Pole całości jest więc równe: 6 * 3√3 czyli 18√3. I koniec.